定積分的近似計算方法

1、 定積分的近似計算方法 摘要 本文主要討論了一元函數(shù)常見的數(shù)值積分方法,例如插值型求積公式、龍貝格求積公式、高斯求積公式等近似計算方法,在用這些方法計算定積分時,會產(chǎn)生一些誤差,為了減少誤差, 可以利用復化求積公式、復化高斯公式等.本文圍繞這些方法,系統(tǒng)介紹它們的計算公式以及截斷誤差,并用例題分析它們產(chǎn)生誤差的大小、計算量等.關(guān)鍵詞 插值型積分 龍貝格積分 高斯積分 誤差分析 近似計算 1引言 在計算定積分的值時,常常根據(jù)微積分學基本定理求出的一個原函數(shù),再用牛頓-萊布尼茨公式求的積分,.但在實際應用中,這種方法只限于解決一小部分定積分的求值問題.當函數(shù)沒有具體表達式,只是一些實驗測得數(shù)據(jù)形成

2、的表格或圖形或者是無法用初等函數(shù)表示,例如,等等,這就需要我們用一些近似方法求的積分值.與數(shù)值積分一樣,把積分區(qū)間細分,在每個小區(qū)間上,找到簡單函數(shù)來近似代替,且的值容易求的.這樣就把計算復雜的轉(zhuǎn)化為求簡單的積分值.因此,定積分的近似計算實質(zhì)上是就是被積函數(shù)的近似計算問題.2常見數(shù)值方法 2.1牛頓-科茨數(shù)值方法牛頓-科茨求積公式是求積節(jié)點等距離分布的插值型求積公式.利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值積分公式是最常用、最基本的方法,具體做法是： 給定區(qū)間上一組節(jié)點,以及節(jié)點處函數(shù),作的次拉格朗日多項式 , 其中 ,將插值公式第1頁 共17頁 . 其中 ,依賴于變量, 上式積分得 若記 . (1) , (

3、2)則有 (3)稱式(3)為插值求型公式,其中. 與無關(guān),叫求積系數(shù), 為求積節(jié)點, 為求積公式余項,其中求積系數(shù)由(1)決定. 2.1.1梯形求積公式1梯形公式當插值節(jié)點分別選取區(qū)間端點時,由式(3)分別求出求積系數(shù) , .從而的求積公式 . (4)稱求積公式(4)為梯形求積公式,簡稱梯形公式.第2頁 共17頁 2梯形公式截斷誤差: . (5) 3梯形求積公式的代數(shù)精度:1當時,式(5)中 .精確成立.2.1.2 辛普森求積公式 1辛普森求積公式 當選取節(jié)點為時,由式(1)求下列求積系數(shù) , . . 從而求積公式 . （6）稱式(6)為拋物線積分公式或辛普森積分公式.2拋物線求積公式誤差估計

4、 定理1.若在上有四階連續(xù)導數(shù),則拋物線公式(6)的余項為: . (7)3拋物線公式的代數(shù)精度為3. 易驗證,當時,式(6)精確成立,而當時,式(6)不能精確成立. 2.1.3 牛頓-科茨公式 1牛頓-科茨公式第3頁 共17頁 在等距離節(jié)點下,其中. .作為變量替換,那么由求積公式(1),得系數(shù): (8) 則 (9) 于是差值求積公式為: (10)稱公式(10)為牛頓-科茨求積公式,其中稱為科茨系數(shù).顯然,科茨系數(shù)與被積函數(shù)及積分區(qū)間無關(guān),它指依賴于,且為多項式積分.因此,只要給出,就能看出,并寫出相應地牛頓-科茨公式.2牛頓-科茨公式的截斷誤差與代數(shù)精度. 當與情況分析牛頓-科茨公式的截斷誤

5、差為 牛頓-科茨公式的截斷誤差還可以寫成 為奇數(shù)） (11)其中,且不依賴于,對為任何并不超過次多項式,均有,因而,即精確成立,也就是說,牛頓-科茨公式的代數(shù)精度至少為,牛頓-科茨公式在為偶數(shù)時,至少具有次代數(shù)精度,在為奇數(shù)情況時,至少具有次代數(shù)精度.2.1.4復化梯形求積公式第4頁 共17頁將區(qū)間等分,節(jié)點為 (步長),)在每個小區(qū)間上采用梯形公式(4)得 (12) 稱式(12)為復化梯形公式.復化梯形公式余項為 (13)2.1.5復化辛普森求積公式在每個小區(qū)間上,辛普森公式(6)得 （14） 記 (15)式中,為的中點,即.式(15)稱為復化辛普森公式,其余項為 , 故 (16) 為復化辛

6、普森的截斷誤差. 2.1.6復化科茨求積公式 將區(qū)間等分, ,為正整數(shù),在每個子區(qū)間上用科茨求積公第5頁 共17頁第6頁 共17頁式得到復化求積公式: (17)其中 , 其截斷誤差為. 2.1.7 變步長復化求積方法復化求積公式雖然計算簡單,也達到了提高精度的目的,但為了滿足精度要求必須顧及誤差,利用誤差公式往往很困難,因為誤差表達式中含有未知函數(shù)的導數(shù),而估計各階導數(shù)的最大值不太容易.我們可以采取把積分的區(qū)間細分的辦法,在計算積分時將步長逐步折半,利用前后兩次結(jié)果進行誤差估計,如此繼續(xù),直到相鄰兩次結(jié)果相差不大,取最小的步長算出的結(jié)果為積分值,這種方法稱為變步長積分法.以復化梯形公式為例,把

7、區(qū)間分成等分,設復化梯形公式的近似值為,原積分值為,由復化梯形公式誤差公式(14)知: 再把區(qū)間分成等分,得近似值,則 假定在上變化不大,既有.由上式得 . 于是 (18)式(18)表明若用作為的近似值,其截斷誤差約為 (19) 2.2 龍貝格求積公式龍貝格積分法的基本思想是采用復化梯形求積方法不斷折半步長過程中,在積分結(jié)果中加入時候誤差估計值進行補償,使積分計算的收斂性加速,就可以加工出精度較高的積分結(jié)果.由式(19), 的誤差大致為,因此,可用這個誤差值作為的一種補償,加到上,則可得到積分準確值,比的更好近似值. (20)式(20)左端時 記 恰好為上應用辛普生公式(16)的結(jié)果.在每個小

8、區(qū)間應用辛普生公式: 代入式(20)的左端得 從而復化辛普森公式與復化梯形公式公式有以下關(guān)系式 (21)類似也可以推證,在辛普森序列基礎上,利用以下關(guān)系式 (22)第7頁 共17頁可以造出收斂速度更快的科茨序列將此推行下去,在科茨序列基礎上,通過 (23)構(gòu)造出收斂速度比科茨序列更快的龍貝格序列.以上這種通過逐步構(gòu)造龍貝格序列的積分近似值法就稱為龍貝格積分法.2.3高斯求積公式 由定理知,插值型求積公式的代數(shù)精度與求積節(jié)點的個數(shù)有關(guān),具有個節(jié)點的插值型求積公式至少具有次代數(shù)精度.不僅如此,代數(shù)精度與節(jié)點的選取有關(guān),在構(gòu)造牛頓-科茨求積公式時,為了簡化處理過程,限定用等分節(jié)點作為求積節(jié)點,這樣做

9、,雖然公式確實得到簡化,但同時也限制了公式的代數(shù)精度.設積分本段討論如下求積公式 (24) 對任意積分區(qū)間,通過變 可以轉(zhuǎn)換到區(qū)間上,這時 此時,求積公式寫為 若一組節(jié)點使插值型求積公式(24)具有次代數(shù)精度,則稱此組節(jié)點為高斯點,并稱相應求積公式(24)為高斯求積公式. 2.3.1 高斯求積公式的余項 其中 ,且不依賴于. 2.3.2 復化高斯求積公式第8頁 共17頁 復化高斯求積公式的基本思想是:將積分區(qū)間分成個等長小區(qū)間,然后在低階()高斯求積公式算出近似值,最后將他們相加的積分的近似值,即 (25)其中,與可由書中表中查出.3 應用3.1插值型積分的應用例1 用牛頓-科茨公式()計算積

10、分. 解 時 例2 利用復化梯形求積公式計算積分 解 設,分點個數(shù)為1,2,4,5時,求出相應積分, 列表如下:=1的計算結(jié)果見表1-1所列10.50.00.51.00.80.45=2的表格如下20.250.000.250.501.000.9417650.800.460294 =4時計算結(jié)果如下表40.1250.000.1250.250.3750.501.000.98461540.94117650.8767120.800.462813= 5時計算結(jié)果如下50.10.00.10.20.30.40.51.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.463114第10

11、頁 共17頁 例3 利用復化求積公式,問積分區(qū)間為多少等分才能得證有5位有效數(shù)字？ 解 由式（14）知 有,當時,在,所以 由于的準確值具有一位整數(shù),所以要使近似值具有5位有效數(shù)字,必須滿足 取對數(shù)有 .即將區(qū)間19等分可滿足給定的精度要求. 例4 利用復化拋物線求積公式計算 .解 設,取=1,2, 3時,公式當=1,2,3時結(jié)果如下表所示當=1時10.251.00.94117650.800.463725第11頁 共17頁當=2時20.1251.00.98461540.94117650.87671230.800.463653當=3時30.83331.00.99310340.9729730.94

12、11760.90.852070.80.4636 例5 用復化梯形公式,辛普森公式和科茨公式計算積分的近似值. 解按精度要求確定分多少等分,即確定步長,要使,只需令,則 所以只要取=4即可, 當時,在每個子區(qū)間上用式(25）,或(14),或(17),結(jié)果第12頁 共17頁3.2 龍貝格積分公式應用 例6 用龍貝格算法計算積分的近似值,要求誤差小于. 解 步驟如下: 得 計算由此得 . (3)算出從而 (4)計算從而得到: , (5)再計算 從而得到: , , 所以 第 14 頁 共 18 頁3.3高斯求積公式的應用例7 用兩點復化高斯求積公式計算要求允許誤差 解 在本算法中取時,其中 =2時,

13、=, =3時, =. 3.4 幾種方法的比較分析例8 計算積分，精確到0.001.(1)利用矩形公式計算, 因為對于,有(如果1<<2),所以按照公式 . 0<<. 如果取=10,則我們公式的余項的余數(shù)得,我們還必須加進由于在計算函數(shù)值實行四舍五入所產(chǎn)生的誤差的界限相差于0.16,為了這個目的只要計算的值到四位小數(shù)精確到0.00005就夠了.我們有第14頁 共17頁 和6.9284 (2) 按照梯形公式作同樣的計算,在這種情況下,作公式 在這兒也試一試取=10,雖然此時僅可以證,縱坐標是 和 (3) 用辛普森公式做同樣的計算 作公式 并且=5時有.實行計算到五位數(shù)字,精

14、確到0.000005第15頁 共17頁 . 由此可見，用辛普森公式計算得到的值誤差最小，計算量相對一般；而用矩形公式計算得到的值誤差較大，計算量也比較大；用梯形公式計算的值誤差比用矩形公式得到的值要誤差小，計算量也是如此.所以我們計算定積分時用辛普森公式往往得到的值誤差小，而對沒有要求誤差大小的，則可以選擇辛普森或者是梯形公式，因為這兩種方法計算量相對較小. 結(jié) 束 語 本文只討論了一些一維數(shù)值積分方法及其它們的應用,誤差分析等有關(guān)內(nèi)容.其中最常用的方法是插值型積分以及復化方法、龍貝格積分方法和高斯積分方法,并討論了相關(guān)求積方法的代數(shù)精度和誤差分析,并給出了一些例題,分析各種方法的近似值,得出

15、誤差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,對于高維數(shù)值積分方法本文便不再討論. 參考文獻 1 華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析（第一版）M，北京:高等教育出版社,2001.2 李慶陽,關(guān)治,白峰杉，數(shù)值計算原理（第二版）M，北京: 清華大學出版社, 2008.3 肖筱南，現(xiàn)代數(shù)值計算方法（第一版）M，北京: 北京大學出版社, 1999.4 菲赫金格爾茨，微積分學教程（第三版）M，北京: 高等教育出版社, 2005. 5 裴禮文，數(shù)學分析中的典型問題與方法（第一版）M ，北京: 北京大學出版社,2004.6 李桂成，計算方法（第三版）M，北京: 高等教育出版社,2010.7 Yin Yuezhu ,Ya

16、ng Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 by Symmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)第 18 頁 共 18 頁The Approximate Numerical Method of the Definite IntegralAbstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper foc