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文檔簡介
1、高二數(shù)學(xué)橢圓知識精講(一)橢圓的定義:1、橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離之和等于定長(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn) 、叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。對橢圓定義的幾點(diǎn)說明:(1)“在平面內(nèi)”是前提,否則得不到平面圖形(去掉這個條件,我們將得到一個橢球面);(2)“兩個定點(diǎn)”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個定點(diǎn)”,學(xué)習(xí)時注意區(qū)分;(3)作為到這兩個定點(diǎn)的距離的和的“常數(shù)”,必須滿足大于| F1F2|這個條件。若不然,當(dāng)這個“常數(shù)”等于| F1F2|時,我們得到的是線段F1F2;當(dāng)這個“常數(shù)”小于| F1F2|時,無軌跡。這兩種特殊情況,同學(xué)們必須注意。(4)下面我們對橢圓
2、進(jìn)行進(jìn)一步觀察,發(fā)現(xiàn)它本身具備對稱性,有兩條對稱軸和一個對稱中心,我們把它的兩條對稱軸與橢圓的交點(diǎn)記為A1, A2, B1, B2,于是我們易得| A1A2|的值就是那個“常數(shù)”,且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那個“常數(shù)”。同學(xué)們想一想其中的道理。(5)中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在x軸上,y 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為:相同點(diǎn)是:形狀相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,。不同點(diǎn)是:兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同(第一個橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)和(c,0),第二個橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)和(0,c)。橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上標(biāo)準(zhǔn)
3、方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大。(二)橢圓的幾何性質(zhì):橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類:一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì),如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo);一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì),如長、短軸長、焦距、離心率對于第一類性質(zhì),只要的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換,就可以得出的有關(guān)性質(zhì)??偨Y(jié)如下:幾點(diǎn)說明:(1)長軸:線段,長為;短軸:線段,長為;焦點(diǎn)在長軸上。(2)對于離心率e,因為a>c>0,所以0<e<1,離心率反映了橢圓的扁平程度。由于,所以越趨近于1,越趨近于,橢圓越扁平;越趨近于0,越趨近于,橢圓越圓。(3)觀察下圖,所以,所以橢圓的離
4、心率e = cosOF2B2(三)直線與橢圓: 直線:(、不同時為0) 橢圓:那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢?將兩方程聯(lián)立得方程組,通過方程組的解的個數(shù)來判斷直線和橢圓交點(diǎn)的情況。方法如下: 消去得到關(guān)于的一元二次方程,化簡后形式如下, (1)當(dāng)時,方程組有兩組解,故直線與橢圓有兩個交點(diǎn); (2)當(dāng)時,方程組有一解,直線與橢圓有一個公共點(diǎn)(相切); (3)當(dāng)時,方程組無解,直線和橢圓沒有公共點(diǎn)。 注:當(dāng)直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)時,設(shè)其坐標(biāo)為,那么線段的長度(即弦長)為,設(shè)直線的斜率為,可得:,然后我們可通過求出方程的根或用韋達(dá)定理求出。例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個焦點(diǎn)的坐
5、標(biāo)分別是(4,0),(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10;(2)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(,);(3)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過點(diǎn)A(,2)和B(2,1)分析:根據(jù)題意,先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置,后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出橢圓中的a、b即可。若判斷不出焦點(diǎn)在哪個軸上,可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。解析:(1)因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10,2c8,a5,c4b2a2c252429所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義知,2a又c2,b2a2c21046所以所求的橢
6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(3)解法一:若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)所求橢圓方程為1(ab0)由A(,2)和B(2,1)兩點(diǎn)在橢圓上可得:解之得若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)所求橢圓方程為1(ab0),同上可解得,不合題意,舍去。故所求的橢圓方程為1解法二:設(shè)所求橢圓方程為mx2ny21(m0,n0且mn)。由A(,2)和B(2,1)兩點(diǎn)在橢圓上可得即,解得故所求的橢圓方程為1點(diǎn)評:(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,首先應(yīng)明確橢圓的焦點(diǎn)位置,再用待定系數(shù)法求a、b。(2)第(3)小題中的橢圓是存在且惟一的,為計算簡便,可設(shè)其方程為mx2ny21(m0,n0),不必考慮焦點(diǎn)位置,直接可求得方程想一想,為什么?例2已知B、C是兩個定點(diǎn),
7、|BC|6,且ABC的周長等于16,求頂點(diǎn)A的軌跡方程。分析:在解析幾何里,求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程,要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,常常需要畫出草圖。如圖所示,由ABC的周長等于16,|BC|6可知,點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù),即|AB|AC|16610,因此,點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖。解析:如圖所示,建立坐標(biāo)系,使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、,原點(diǎn)與BC的中點(diǎn)重合。由已知|AB|AC|BC|16,|BC|6,有|AB|AC|10,即點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓,且2c6,2a10,c3,a5,b2523216。由于點(diǎn)A在直線BC上時,即y0時,A、
8、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,所以點(diǎn)A的軌跡方程是1(y0)。點(diǎn)評:橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用,另外,求出曲線的方程后,要檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意,如果有不符合題意的點(diǎn),應(yīng)在方程后注明,常用限制條件來注明。例3一動圓與已知圓O1:(x3)2y21外切,與圓O2:(x3)2y281內(nèi)切,試求動圓圓心的軌跡方程。分析:兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān),可以找到動圓圓心滿足的條件。解析:兩定圓的圓心和半徑分別為O1(3,0),r11;O2(3,0),r29設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)條件可得|MO1|1R,|MO2|9R|MO1|MO2|10由橢圓的定義知:
9、M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且a5,c3。b2a2c225916故動圓圓心的軌跡方程為1。點(diǎn)評:正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件,合理地消去變量R,運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵,這種求軌跡方程的方法叫做定義法。例4已知P是橢圓1上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是兩個焦點(diǎn),且F1PF230°,求PF1F2的面積。分析:如圖所示,已知P30°,要求PF1F2的面積,如用|F1F2|·|yP|,因為求P點(diǎn)坐標(biāo)較繁,所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°較好,為此必須先求出|PF1|·|PF2|,從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30&
10、#176;角的兩邊的乘積。解析:由方程1,得a5,b4,c3,|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|(2)|PF1|·|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664,|PF1|·|PF2|64(2)|PF1|·|PF2|·sin30°
11、183;64(2)·16(2)例5橢圓ax2by21與直線xy1相交于P、Q兩點(diǎn),若|PQ|2,且PQ的中點(diǎn)C與橢圓中心連線的斜率為,求橢圓方程。分析:該題是求橢圓方程,即利用題設(shè)中的兩個獨(dú)立條件,求出a、b之值即可解析:由得(ab)x22bxb10設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1x2,x1x2|PQ|·ab 又PQ的中點(diǎn)C(,1),即C(,)kOC 由得a,b所求橢圓方程為1例6中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個焦點(diǎn)是F(0,),又這個橢圓被直線l:y3x2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,求該橢圓方程。分析:本題中涉及到弦的中點(diǎn)及弦所在直線的斜率,故可采用“平方差法”。解析:
12、據(jù)題意,此橢圓為焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓,設(shè)其方程為1(ab0)設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則有:1,兩式相減得:0即3 a23b2 又因為橢圓焦點(diǎn)為F(0,) c則a2b250 由解得:a275,b225該橢圓方程為1例7設(shè)P是橢圓(ab0)上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn),且F1PF2=90°,求證:橢圓的離心率e證明:P是橢圓上的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn),由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中, 由2,得|PF1|·|PF2|=2(a2c2) 由和,據(jù)韋達(dá)定理逆定理,知|PF1|·|PF2|是方程
13、z23az+2(a2c2)=0的兩根,則=4a28(a2c2)0,()2,即e1. 如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是A. (0,)B. (0,2)C. (1,)D. (0,1)2. 已知橢圓1,F(xiàn)1、F2分別為它的兩焦點(diǎn),過F1的焦點(diǎn)弦CD與x軸成角(0,則F2CD的周長為A. 10B. 12C. 20D. 不能確定3. 橢圓1的一個焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是A. ±B. ±C. ±D. ±4. 設(shè)橢圓1的兩焦點(diǎn)分別是F1和F2,P為橢圓上一點(diǎn),并且PF1PF2,則|PF
14、1|PF2|等于A. 6B. 2C. D. 5. 直線yx與橢圓y21相交于A、B兩點(diǎn),則|AB|等于A. 2B. C. D. 6. 點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn),且F1PF260°,則F1PF2的面積為_。7. ABC的兩頂點(diǎn)B(8,0),C(8,0),AC邊上的中線BM與AB邊上的中線CN的長度之和為30,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_。 8. F1、F2為定點(diǎn),|F1F2|6,動點(diǎn)M滿足|MF1|MF2|6,則M點(diǎn)的軌跡是_。9. 以兩坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)P(,4)和Q(,3),則此橢圓的方程是_。10. 在橢圓1內(nèi),過點(diǎn)(2,1)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程是_。11
15、. ABC的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0,6)和C(0,6),另兩邊AB、AC的斜率的乘積是,求頂點(diǎn)A的軌跡方程。12. 在面積為1的PMN中,tanM,tanN2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出以M、N為焦點(diǎn)并且過點(diǎn)P的橢圓方程。參考答案1. 解析:將方程x2ky22化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,又焦點(diǎn)在y軸上,>2,解之得0<k<1。2. 解析:由橢圓方程知a5,|CF1|CF2|2a10,|DF1|DF2|2a10,則F2CD的周長|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020。3. 解析:由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易知c3,不妨設(shè)F1(3,0)、F2(3,0),因為線段PF
16、1的中點(diǎn)在y軸上,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知xP3,由橢圓方程1解得yp±,故M點(diǎn)縱坐標(biāo)為±。4. 解析:從方程中可得a3,b2,c5|PF1|PF2|2a6,(|PF1|PF2|)2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|180由已知PF1PF2,|PF1|2|PF2|2(2c)2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|2 答案:B5. 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由方程組得1x±y±,即A(),B(,)由
17、兩點(diǎn)間距離公式可得|AB| 6. 解析:設(shè)|PF1|m,|PF2|n,在F1PF2中,由余弦定理有m2n22mncos60°|F1F2|2122,即m2n2mn144 由橢圓定義知mn20,則m2n22mn400 由得,3mn256,故mn因此,7. 解析:如圖所示,設(shè)B、C為BC的兩個三等分點(diǎn),則B(24,0),C(24,0),連接AB,AC,設(shè)A(x,y),BM、CN又分別為ACB與ABC的中位線。|AB|2|BM|,|AC|2|CN|AB|AC|2(|BM|CN|)60由橢圓定義,動點(diǎn)A到兩定點(diǎn)B、C的距離的和為定長60,所以點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn),中心在原點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動。2a60,a30由|BC|48,得c24b2a2c2900576324 則點(diǎn)A的軌跡方程是1(y0) 8. 解析:盡管動點(diǎn)M滿足|MF1|MF2|2a6,但2a|F1F2|,M點(diǎn)軌跡應(yīng)為F1、F2兩點(diǎn)間的線段。答案:F1、F2兩點(diǎn)間的線段9. 解析:設(shè)此橢圓方程為mx2ny21(m>0,n>0,mn),把P(,4),Q(,3)代入得解得m1,n,故橢圓方程為x21。10. 解析:設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則有1,1兩式相減得即
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