數(shù)字信號處理,中山大學(xué)Chapter 5_第1頁
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1、第五章第五章 時時 頻頻 分分 析析 v 5.1 引言引言 v 5.2 短時傅里葉變換短時傅里葉變換v 5.3 小波變換小波變換v 5.4 Wigner-Ville分布分布v 5.5 Cohen類時頻分布類時頻分布5.1 引引 言言n引言n解析信號n瞬時頻率n不確定原理1、引言nFourier變換和反變換對信號或頻譜的全局變換。對時變信號,由傅立葉變換求出的頻率將不能反映出信號頻率隨時間變化的特性。 *22,( ),( ),defjftjftf xg xf x gx dxS fs tes tS fe-101Real partSignal in time0797515951Linear scal

2、eEnergy spectral density5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz1121232sin(), 01( )sin(),1sin(),1nnNx nn NnNnNnN2、解析信號n對于實信號s(t),它的Hilbert變換為: 11ss ts th ts tdtt jtz ts tjs ta t e 22a ts ts t arctans tts t由此可得解析信號為: 幅值和相位分別為: Hilbert變換器的

3、傳輸函數(shù)為 0( )000jfH ffjf或者 H(f)=-j sgn(f) 式中 10sgn( )0010ffffZ(f)=S(f)+jH(f)S(f)=S(f)1+jH(f) 得到 2 ( )0( )( )000S ffZ fS fff 上式表明, 解析信號的頻譜只分布在正頻率范圍,是由實信號頻譜的正的部分乘以2構(gòu)成的; 負(fù)頻率部分為0。 3、瞬時頻率n瞬時頻率:表征了信號在局部時間點上的瞬態(tài)頻率特性,整個持續(xù)期上的瞬時頻率反映了信號頻率的時變規(guī)律。 dttdt4、不確定原理n對于能量有限信號,其時寬和帶寬的乘積總能滿足下面的不等式,即41ft式中,t表示信號有效持續(xù)時間,f表示信號的有效

4、帶寬。 對于窗函數(shù),它的時間寬度和在頻率域的寬度不能同時任意小。也就是說, 頻域分辨率和時域分辨率不能同時任意小, 即不可能存在既是帶限又是時限的信號波形。 *-j2*j2j2,STFT ( ,)( )() e(),e, ()e,( )fuzfufut ft fz u g utduz u g utz ug utz ugu tg ut不斷地移動 ,即不斷地移動窗函數(shù)的中心位置,取出信號在分析時間點 附近的傅立葉變換(稱之為“局部頻譜”)。5.2 短時傅里葉變換短時傅里葉變換 1( )1,STFT ( ,)zg uuG fft fZfSTFTFT例 、若,則,則即減為簡單的,不能給出任何時間定位信

5、息。-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz圖2.1.3 窗函數(shù)無限寬時STFT缺少時域定位功能注:見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.1.3 -j22( )STFT ( ,)( )eSTFT ( ,)( )ftzzg uut fz tSTFTt fz tSTFT例 、令,則可實現(xiàn)時域的準(zhǔn)確定位,即的時間中心

6、就是的時間中心,但無法實現(xiàn)頻域的定位。-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz圖2.1.4窗函數(shù)無限窄時STFT缺少頻域定位功能 注:見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖2.1.4v 由于受不定原理的制約,窗函數(shù)的有效時寬和帶寬不可能同時任意小,窗寬應(yīng)該與信號的局域平穩(wěn)長度相適應(yīng)。v 對時間分辨率和頻率分辨率只能取

7、一個折中,一個提高了,另一個就必然要降低,反之亦然。 *z t g tZfG fn譜圖:一般把短時傅里葉變換模的平方稱為譜圖,它是一種能量分布函數(shù),不服從線性疊加原理,兩個信號之和的譜圖并不等于它們分別的譜圖的和,還存在第三項即交叉項。22*-j2SPEC ( ,) |STFT ( ,)|( )() efuxxttz u g utdu121212121222222STFT ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)2STFT ( ,) STFT ( ,) cos( ,)( ,)xxxx

8、xxxxxxxxxtatbttatbttatbtabtttt ),(STFT(Arg),(),(STFT(Arg),(2211ttttxxxx5.3 小波變換n引言n連續(xù)小波變換1、 引 言 傳統(tǒng)的傅里葉變換相比,小波變換是一個時間和尺度上的局域變換;加窗傅立葉變換是以固定的滑動窗對信號進行分析,隨著窗函數(shù)的滑動,可以表征信號的局域頻率特性。 小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進行分解,運用小波基,可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化 。 因此小波變換被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 短時傅立葉變換在時頻平面各處的分辨率都相同,可以用時頻平面的相等網(wǎng)格表示。注:見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處

9、理圖6.5.1 小波基函數(shù)的包絡(luò)隨尺度參數(shù)的變化而變化,可以實現(xiàn)時頻平面的多分辨率分析。注:見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處理圖6.5.22、連續(xù)小波變換(CWT) 連續(xù)小波變換的定義 設(shè)x(t)是平方可積函數(shù),記作 ,則x(t)的連續(xù)小波變換可以定義為: )()(2RLtx*1( , )( )d( ),( )0sabtbWT a bs tts ttaaa其中,a0 被稱為尺度因子,b反映小波函數(shù)在變換中的位移,(t)稱為基小波或“母小波函數(shù)”, 是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一組函數(shù),稱為小波基函數(shù),或簡稱小波基。 ( )abt,1( )()a btbtaa 定義式的說明: (1) 基小波函數(shù)可能為復(fù)函數(shù),

10、例如Morlet小波的表達(dá)式為 tjTtt02ee)(/它是在高斯包絡(luò)下的負(fù)指數(shù)函數(shù)。 (2)時移b的作用是確定對x(t)分析的時間位置,即時間中心; (3) 尺度因子a的作用是將基小波作伸縮變換,在不同的尺度因子下,小波的持續(xù)時間隨a的加大而增寬。 (4) 在ab前面所加的因子的作用是保證在不同的尺度因子下的小波函數(shù)的能量保持一致。 設(shè)E=|(t)|2 dt作為基本小波的能量,則對基本小波進行移位和伸縮后得到的ab(t)的能量為 a/1 22211dddtbtbEttttEaaaa 連續(xù)小波變換的頻率域表達(dá)式 在定義了連續(xù)小波變換后, 對該表達(dá)式進行傅里葉變換, *j,1WT ( , )(

11、),( )( )()ed22bxa baa bSS a ,1( )()( )()FTj ba ba btbtaaeaa 由Parseval定理 如果()是幅頻特性比較集中的帶通函數(shù),則小波變換便具有表征待分析信號S()頻域上局部性質(zhì)的能力。n 小波變換的特點小波變換的特點 小波變換的時頻關(guān)系受不確定原理的制約,在時頻平面上的分析窗是可調(diào)的,但分析窗的面積保持不變。 采用不同的尺度a作處理時,各個(a)的中心頻率和帶寬都不一樣,但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的,即“中心頻率帶寬”為常數(shù)。 當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時,實際上是用高頻小波對信號作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時,實際上是用

12、低頻小波對信號作概貌觀察。 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間 020202t(1/2)a(1)a(2)a/22/2tt注:見胡廣書現(xiàn)代信號處理教程圖9.2.2注:見張賢達(dá)現(xiàn)代信號處理圖6.5.3221( , )( )()xtbWT a bx tdtaa 信號的“尺度圖(scalogram)”定義如下,它也是一種能量分布,但它是隨位移b和尺度a的能量分布,不是簡單的隨的能量分布。由于尺度a間接對應(yīng)頻率,故尺度圖實質(zhì)上也是一種時頻分布。),( t5.4 Wigner-Ville分布(WVD)n時頻分布的一般理論nWVD的定義引言n線性時頻分析方法(STFT,Gabor變換,WT)使用時間和

13、頻率的聯(lián)合函數(shù)描述信號的頻譜隨時間的變化情況;n非線性時頻分析方法(時頻分布)使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)描述信號的能量密度隨時間變化的情況。時頻分布的定義 22,22,jjRz t ztdtPRedRz tztdtR tutz uzuduP tR ted*相關(guān)函數(shù):功率譜:對非平穩(wěn)信號,加窗后得局部相關(guān)函數(shù):時變功率譜(信號能量的時頻分布):二次疊加原理設(shè) 1 122( )( )( )z tc z tc z t則 12122122*121 2,12,( ,) |( ,) |( ,)( ,)( ,)zzzz zzzP tcP tcPtc c Ptc c Pt式中: 和 分別稱為z1(t)和z2(t

14、)的自時頻分布; 和 分別稱為z1(t)對z2(t)和z2(t)對z1(t)的互時頻分布。這種互時譜形成了二次時頻分布的交叉項。 1zP2zP12,z zP21,zzP 對于有p個分量的信號, 二次疊加原理用下式表示: 設(shè) 1( )( )pkkkz tc z t, 則 2*,111( ,)|( ,)( ,)kklpppzkzklzzkklP tcPtc c Ptkl 共有p個自分量, p(p-1)/2個互分量,且交叉項隨p的增加按二次函數(shù)增加。 信號分量越多,交叉項就越嚴(yán)重。Wigner-Ville分布的定義 *-j,2222W ( ,)ed22zzututz tR tktut z uzudu

15、z tzttz tzt*取時間沖激函數(shù)作窗函數(shù),即則的瞬時相關(guān)函數(shù) 將kz(t,)稱為瞬時自相關(guān)函數(shù),那么WVD就是信號瞬時自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。n z(t)在頻率域的WVD分布定義如下: *j t1W ( , )e222vZvvtZZdvn 對于兩個連續(xù)時間信號x(t)與y(t), 互WVD定義為 *-j,W( ,)e22vx ytx tytdn 同樣, 它們在頻率域的互WVD定義如下: *j,1W( , )e222vtX YvvtXYdv5.5 Cohen類時頻分布n模糊函數(shù)nCohen類時頻分布1、 模糊函數(shù)模糊函數(shù) 對瞬時相關(guān)函數(shù)kz(t,)=z(t+/2)z*(t-/2) 關(guān)于時間

16、t作傅里葉反變換,則得到模糊函數(shù)的時域定義為 *jj( , )e d22t,e dvtzvtzAvz tzttkt模糊函數(shù)在頻率域的定義是 *j1( , )ed222zvvA vZZ *-j*-jj*-j-j*jW ( ,)ed22ed d221eed d2221ee222zv u tvtvutz tztz uzuutuz uzuudvz uzudu -jd1( , )ed d2vtzdvAvv n 模糊函數(shù)和WVD之間的關(guān)系:WVD與模糊函數(shù)的二維Fourier變換等價,只是相差一個常數(shù)因子。 WVD是能量化的時頻表示,存在時間邊緣特性Pz(t)和頻率邊緣特性Pz(w),公式重寫如下: 22

17、( )W ( ,)d| ( )|( )W ( ,)d|( )|zzfzztP ttz tPttZ信號的總能量為 22| ( )| d|( )| dtEz ttZ 模糊函數(shù)是相關(guān)化的時頻表示,將模糊函數(shù)的定義重寫如下: *j*j( , )e d221( , )ed222vtzzAvz tzttvvA vZZ 頻偏邊緣特性*( ,0)d22zAz tztt時延邊緣特性*(0, )d22zvvAvZZ最大值始終在 ,v平面的原點,且該最大值即是信號的能量,221max,0 0| ( )| d|( )| d2zzztAvAz ttZE,dtdtdd12uut1t2tt同一信號AF及WD互項與自項的位置

18、示意圖 n WVD中交叉項的抑制:中交叉項的抑制:對信號求模糊函數(shù),由于模糊函數(shù)的自項始終在 平面的原點處,而交叉項遠(yuǎn)離原點,故可以設(shè)計一個二維低通濾波器,來抑制模糊函數(shù)中的交叉項;對濾波后的模糊函數(shù)作二維傅立葉變換,得到信號的維格納變換,此時的WVD即是抑制了交叉項的新WVD。v,2、 Cohen類時頻分布nCohen將時變的自相關(guān)函數(shù)定義為-j-j vt+-j*-j1t,( , ) ( , )ed2( , )( ,)t,ed( , ) ( , )ed d( ,)(, )ed d22vtzzdefzzzzu vRAvvvvCohenC tRAvvvCohenC tz uzutuuz 其中,稱為核函數(shù)。類時頻分布定義:類分布的另一種定

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