2020學(xué)年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)數(shù)學(xué)一、填空題(本大題共12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分)1.已知集合A=1，2，3，4，集合B=3，4，5，則AB= .解析：利用交集定義直接求解.集合A=1，2，3，4，集合B=3，4，5，AB=3，4.答案：3，4.2.若排列數(shù)，則m= .解析：利用排列數(shù)公式直接求解.排列數(shù)，由排列數(shù)公式得，m=3.答案：3.3.不等式的解集為 .解析：根據(jù)分式不等式的解法求出不等式的解集即可.由得：，故不等式的解集為：(-，0).答案：(-，0).4.已知球的體積為36，則該球主視圖的面積等于 .解析：球的體積為36，設(shè)球的半徑為

2、R，可得R3=36，可得R=3，該球主視圖為半徑為3的圓，可得面積為R2=9.答案：9.5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|= .解析：由，得z2=-3，設(shè)z=a+bi(a，bR)，由z2=-3，得(a+bi)2=a2-b2+2abi=-3，即，解得：.z=±i.則|z|=.答案：.6.設(shè)雙曲線(b0)的焦點(diǎn)為F1、F2，P為該雙曲線上的一點(diǎn)，若|PF1|=5，則|PF2|= .解析：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，其中a=3，則有|PF1|-|PF2|=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或-1(舍)，故|PF2|=11.答案：11.7.如圖，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)

3、D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為(4，3，2)，則的坐標(biāo)是 .解析：如圖，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，的坐標(biāo)為(4，3，2)，A(4，0，0)，C1(0，3，2)，=(-4，3，2).答案：(-4，3，2).8.定義在(0，+)上的函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x)，為奇函數(shù)，則f-1(x)=2的解為 .解析：若為奇函數(shù)，可得當(dāng)x0時(shí)，-x0，即有g(shù)(-x)=3-x-1，由g(x)為奇函數(shù)，可得g(-x)=-g(x)，則g(x)=f(x)=1-3-x，x0，由定義在

4、(0，+)上的函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x)，且f-1(x)=2，可由f(2)=1-3-2=，可得f-1(x)=2的解為x=.答案：.9.已知四個(gè)函數(shù)：y=-x，y=x3，從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為 .解析：給出四個(gè)函數(shù)：y=-x，y=x3，從四個(gè)函數(shù)中任選2個(gè)，基本事件總數(shù)，事件A：“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”包含的基本事件有：，共2個(gè)，事件A：“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為P(A).答案：.10.已知數(shù)列an和bn，其中an=n2，nN*，bn的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意nN*，bn的第an項(xiàng)等于an

5、的第bn項(xiàng)，則 .解析：an=n2，nN*，若對(duì)于一切nN*，bn中的第an項(xiàng)恒等于an中的第bn項(xiàng)，.b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16.b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2.答案：2.11.設(shè)a1、a2R，且，則|10-1-2|的最小值等于 .解析：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可知sin1，sin22的范圍在-1，1，sin1=-1，sin22=-1.則：1=+2k1，k1Z.22=+2k2，即2=+k2，k2Z.那么：1+2=(2k1+k2)-，k1、k2Z.|10-1-2|=|10+-(2k1+k2)|的最小值為.答案：.12.如圖，用35個(gè)單位正方形

6、拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)P1、P2、P3、P4以及四個(gè)標(biāo)記為“”的點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)處，設(shè)集合=P1，P2，P3，P4，點(diǎn)P，過(guò)P作直線lP，使得不在lP上的“”的點(diǎn)分布在lP的兩側(cè).用D1(lP)和D2(lP)分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“”的點(diǎn)到lP的距離之和.若過(guò)P的直線lP中有且只有一條滿足D1(lP)=D2(lP)，則中所有這樣的P為 .解析：設(shè)記為“”的四個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D，線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，易知EFGH為平行四邊形，如圖所示：四邊形ABCD兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于點(diǎn)P2，即符合條件的直線lP一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2，因此：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2的直線有無(wú)數(shù)條； 同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1和

7、P2的直線僅有1條，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P3和P2的直線僅有1條，同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P4和P2的直線僅有1條，所以符合條件的點(diǎn)為P1、P3、P4.答案：P1、P3、P4.二、選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)13.關(guān)于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式D為( )A.B.C.D.解析：利用線性方程組的系數(shù)行列式的定義直接求解.關(guān)于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式：D=.答案：C.14.在數(shù)列an中，an=()n，nN*，則( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在解析：數(shù)列an中，an=()n，nN*，則根據(jù)極限的定義，.答案：B.15.已知a、b、c為實(shí)常數(shù)，數(shù)列xn的通項(xiàng)xn=an2+bn+c，nN

8、*，則“存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列”的一個(gè)必要條件是( )A.a0B.b0C.c=0D.a-2b+c=0解析：存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列，可得：2a(200+k)2+b(200+k)+c=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c，化為：a=0.使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列的必要條件是a0.答案：A.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：和C2：.P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，w是的最大值.記=(P，Q)|P在C1上，Q在C2上，且=w

9、，則中元素個(gè)數(shù)為( )A.2個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.無(wú)窮個(gè)解析：設(shè)出P(6cos，2sin)，Q(cos，3sin)，02，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，可得最大值及取得的條件，即可判斷所求元素的個(gè)數(shù).橢圓C1：和C2：，P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P(6cos，2sin)，Q(cos，3sin)，02，則=6coscos+6sinsin=6cos(-)，當(dāng)-=2k，kZ時(shí)，w取得最大值6，則=(P，Q)|P在C1上，Q在C2上，且=w中的元素有無(wú)窮多對(duì).答案：D.三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)17.如圖，直三棱柱ABC

10、-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.解析：(1)三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=SABC×AA1=×AB×AC×AA1，由此能求出結(jié)果.答案：(1)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5.三棱柱ABC-A1B1C1的體積：V=SABC×AA1=×AB×AC×AA1=×4×2×5=20.(2)設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線A1M與平面

11、ABC所成角的大小.解析：(2)連結(jié)AM，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，由此能求出直線A1M與平面ABC所成角的大小.答案：(2)連結(jié)AM，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5，M是BC中點(diǎn)，AA1底面ABC，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，直線A1M與平面ABC所成角的大小為.18.已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+，x(0，).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析：(1)由二倍角的余弦公式和余弦函數(shù)的遞增區(qū)間，解不等式可得所求增區(qū)間.答案：(1)函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x+=cos2x+，

12、x(0，)，由2k-2x2k，解得k-xk，kZ，k=1時(shí)，x，可得f(x)的增區(qū)間為，).(2)設(shè)ABC為銳角三角形，角A所對(duì)邊a=，角B所對(duì)邊b=5，若f(A)=0，求ABC的面積.解析：(2)由f(A)=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值.答案：(2)設(shè)ABC為銳角三角形，角A所對(duì)邊a=，角B所對(duì)邊b=5，若f(A)=0，即有cos2A+=0，解得2A=，即A=，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，化為c2-5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，則，即有B為鈍角，c=2不成立，則c=3，ABC的面積為.19.根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第n(n

13、N*)個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn(單位：輛)，其中，bn=n+5，第n個(gè)月底的共享單車的保有量是前n個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.(1)求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量.解析：(1)計(jì)算出an和bn的前4項(xiàng)和的差即可得出答案.答案：(1)前4個(gè)月共投放單車為a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=975，前4個(gè)月共損失單車為b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量為975-30=945.(2)已知該地共享單車停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車容納量Sn=-4(n-46)2+8800(單位：輛).設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大

14、，問(wèn)該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？解析：(2)令anbn得出n42，再計(jì)算第42個(gè)月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論.答案：(2)令anbn，顯然n3時(shí)恒成立，當(dāng)n4時(shí)，有-10n+470n+5，解得n，第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大.當(dāng)n4，an為公差為-10等差數(shù)列，而bn為等差為1的等比數(shù)列，到第42個(gè)月底，單車保有量為.S42=-4×16+8800=8736.87828736，第42個(gè)月底單車保有量超過(guò)了容納量.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：，A為的上頂點(diǎn)，P為上異于上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，M為x正半軸上的動(dòng)點(diǎn).(1)若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐標(biāo).解

15、析：(1)設(shè)P(x，y)(x0，y0)，聯(lián)立，能求出P點(diǎn)坐標(biāo).答案：(1)設(shè)P(x，y)(x0，y0)，橢圓：，A為的上頂點(diǎn)，P為上異于上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，P在第一象限，且|OP|=，聯(lián)立，解得P(，).(2)設(shè)P(，)，若以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求M的橫坐標(biāo).解析：(2)設(shè)M(x0，0)，A(0，1)，P(，)，由P=90°，求出x0=；由M=90°，求出x0=1或x0=；由A=90°，則M點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，不合題意.由此能求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).答案：(2)設(shè)M(x0，0)，A(0，1)，P(，)，若P=90°，則，即，解得x0=.如圖，若M=

16、90°，則，即，解得x0=1或x0=，若A=90°，則M點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，不合題意.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，或1，或.(3)若|MA|=|MP|，直線AQ與交于另一點(diǎn)C，且，求直線AQ的方程.解析：(3)設(shè)C(2cos，sin)，推導(dǎo)出Q(4cos，2sin-1)，設(shè)P(2cos，sin)，M(x0，0)推導(dǎo)出x0=cos，從而4cos-2cos=-5cos，且2sin-sin-1=-4sin，cos=cos，且sin=(1-2sin)，由此能求出直線AQ.答案：(3)設(shè)C(2cos，sin)，A(0，1)，Q(4cos，2sin-1)，又設(shè)P(2cos，sin)，M(x0，0)，|

17、MA|=|MP|，x02+1=(2cos-x0)2+(sin)2，整理得：x0=cos，=(4cos-2cos，2sin-sin-1)，=(cos，-sin)，4cos-2cos=-5cos，且2sin-sin-1=-4sin，cos=cos，且sin=(1-2sin)，以上兩式平方相加，整理得3(sin)2+sin-2=0，sin=，或sin=-1(舍去)，此時(shí)，直線AC的斜率(負(fù)值已舍去)，如圖.直線AQ為.21.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意的x1、x2R，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2).(1)若f(x)=ax3+1，求a的取值范圍.解析：(1)直接由f(x1)-f(x

18、2)0求得a的取值范圍.答案：由f(x1)f(x2)，得f(x1)-f(x2)=a(x13-x23)0，x1x2，x13-x230，得a0.故a的范圍是0，+).(2)若f(x)是周期函數(shù)，證明：f(x)是常值函數(shù).解析：(2)若f(x)是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0R，則有f(x0)=f(x0+Tk)，證明對(duì)任意xx0，x0+Tk，f(x0)f(x)f(x0+Tk)，可得f(x0)=f(x0+nTk)，nZ，再由x0-3Tk，x0-2Tkx0-2Tk，x0-Tkx0-Tk，x0x0，x0+Tkx0+Tk，x0+2Tk=R，可得對(duì)任意xR，f(x)=f(x0)=C，為常數(shù).答案：(2)若

19、f(x)是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0R，則有f(x0)=f(x0+Tk)，由題意，對(duì)任意xx0，x0+Tk，f(x0)f(x)f(x0+Tk)，f(x0)=f(x)=f(x0+Tk).又f(x0)=f(x0+nTk)，nZ，并且x0-3Tk，x0-2Tkx0-2Tk，x0-Tkx0-Tk，x0x0，x0+Tkx0+Tk，x0+2Tk=R，對(duì)任意xR，f(x)=f(x0)=C，為常數(shù).(3)設(shè)f(x)恒大于零，g(x)是定義在R上的、恒大于零的周期函數(shù)，M是g(x)的最大值.函數(shù)h(x)=f(x)g(x).證明：“h(x)是周期函數(shù)”的充要條件是“f(x)是常值函數(shù)”.解析：(3)分充分

20、性及必要性證明.類似(2)證明充分性；必要性先證明f(x)符號(hào)不變，然后分類證明.答案：(3)充分性：若f(x)是常值函數(shù)，記f(x)=c1，設(shè)g(x)的一個(gè)周期為Tg，則h(x)=c1·g(x)，則對(duì)任意x0R，h(x0+Tg)=c1·g(x0+Tg)=c1·g(x0)=h(x0)，故h(x)是周期函數(shù).必要性：若h(x)是周期函數(shù)，記其一個(gè)周期為Th，首先證明f(x)符號(hào)不變.設(shè)集合A=x|g(x)=m，若存在x0R，使得f(x0)=0，則h(x0)=0，且對(duì)任意kZ，有h(x0+kTh)=0，g(x)0，f(x0+kTh)=0，即對(duì)任意xx0+kTh，x0+(k+1)Th，kZ，f(x)=0恒成立，f(x)=0是常值函數(shù)；若存在x1，x2，使得f(x1)0，且f(x2)0，則由題意可知，x1x2，那么必然存在正整數(shù)N1，使得x2+N1Tkx1，f(x2+N1Tk)f(x1)0，且h(x2+N1Tk)=h(x2).又h(x2)=g(x2)f(x2)0，而h(x2+N1Tk)=g(x2+N1Tk)f(x2+N1Tk)0h(x2)，矛盾.綜上，f(x)=0或f(x)0或f(x)0恒成立.1°、若f(x)0恒成立，任取x0A，則必存在N2N，使得x0-N2Thx0-Tg，即x0-