2020學(xué)年上海市楊浦區(qū)高考一模數(shù)學(xué)

1、2020年上海市楊浦區(qū)高考一模數(shù)學(xué)一、填空題(本大題滿分54分)共12小題，1-6題每題4分，7-12題每題5分1.若“ab”，則“a3b3”是_命題(填：真、假)解析：函數(shù)f(x)=x3在R是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)ab，一定有a3b3，故是真命題.答案：真.2.已知A=(，0，B=(a，+)，若AB=R，則a的取值范圍是_.解析：若AB=R，A=(，0，B=(a，+)，必有a0.答案：a0.3.z+2=9+4i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=_.解析：設(shè)z=x+yi(x，yR)，z+2=9+4i，x+yi+2(xyi)=9+4i，化為：3xyi=9+4i，3x=9，y=4，解得x=3，y=4.答案：5.

2、4.若ABC中，a+b=4，C=30°，則ABC面積的最大值是_.解析：在ABC中，C=30°，a+b=4，ABC的面積，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).答案：1.5.若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)，則a=_.解析：函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)，a=2.答案：2.6.過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是_.解析：設(shè)截面的圓心為Q，由題意得：OAQ=60°，QA=1，S=·12=.答案：.7.拋擲一枚均勻的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的數(shù)字依

3、次記作a，b，c，則a+bi(i為虛數(shù)單位)是方程x22x+c=0的根的概率是_.解析：拋擲一枚均勻的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的數(shù)字依次記作a，b，c，基本事件總數(shù)n=6×6×6=216，a+bi(i為虛數(shù)單位)是方程x22x+c=0的根，(a+bi)22(a+bi)+c=0，即，a=1，c=b2+1，a+bi(i為虛數(shù)單位)是方程x22x+c=0的根包含的基本事件為：(1，1，2)，(1，2，5)，a+bi(i為虛數(shù)單位)是方程x22x+c=0的根的概率是.答案：.8.設(shè)常數(shù)a0，展開(kāi)式中x6的系數(shù)為4，則=_.解析：常數(shù)a0，展開(kāi)式中x6的系數(shù)為4，

4、當(dāng)時(shí)，r=2，解得，.答案：.9.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為(2，1)，則原點(diǎn)O到直線l的距離為_(kāi).解析：直線的方向向量為(2，1)，所以直線的斜率為：，直線方程為：x+2y+=0，由點(diǎn)到直線的距離可知：；答案：1.10.若雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，且雙曲線與拋物線y=x2的準(zhǔn)線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).解析：拋物線y=x2的準(zhǔn)線：，雙曲線與拋物線y=x2的準(zhǔn)線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可得雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)在y軸上.雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，可得，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.答案：.11.平面直角坐標(biāo)系中，給出點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，若直線x+my1=0存在點(diǎn)

5、P，使得|PA|=2|PB|，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析：設(shè)P(1my，y)，|PA|=2|PB|，|PA|2=4|PB|2，(1my1)2+y2=4(1my4)2+y2，化簡(jiǎn)得(m2+1)y2+8my+12=0則=64m248m2480，解得m或m，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m或m.答案：m或m.12.函數(shù)y=f(x)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在x2，0時(shí)，f(x)=2x+1，若存在x1，x2，xn滿足0x1x2xn，且|f(x1)f(x2)|+|f(x2)f(x1)|+|f(xn1f(xn)|=2016，則n+xn的最小值為_(kāi).解析：函數(shù)y=f(x)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在x2，0時(shí)，

6、f(x)=2x+1，函數(shù)的值域?yàn)?，1，對(duì)任意xi，xj(i，j=1，2，3，m)，都有|f(xi)f(xj)|f(x)maxf(x)min=4，要使n+xn取得最小值，盡可能多讓xi(i=1，2，3，m)取得最高點(diǎn)，且f(0)=1，f(2)=3，0x1x2xm，|f(x1)f(x2)|+|f(x2)f(x3)|+|f(x n1)f(xn)|=2016，n的最小值為，相應(yīng)的xn最小值為1008，則n+xn的最小值為1513.答案：1513.二、選擇題(本大題共4題，滿分20分)13.若與都是非零向量，則“”是“”的( )A.充分但非必要條件B.必要但非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條

7、件解析：“”“”“”“”，故“”是“”的充要條件.答案：C14.行列式中，元素7的代數(shù)余子式的值為( )A.15B.3C.3D.12解析：行列式，元素7的代數(shù)余子式為：D13=(1)4=2×65×3=3.答案：B.15.一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是( )A.5800B.6000C.6200D.6400解析：一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，當(dāng)另外兩名員工的工資都小于530

8、0時(shí)，中位數(shù)為，當(dāng)另外兩名員工的工資都大于6500時(shí)，中位數(shù)為，8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為5400，6300，8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.答案：D.16.若直線通過(guò)點(diǎn)P(cos，sin)，則下列不等式正確的是( )A.a2+b21B.a2+b21C.D.解析：直線通過(guò)點(diǎn)P(cos，sin)，bcos+asin=ab，其中，a2+b2a2b2，答案：D三、解答題(滿分76分)共5題17.某柱體實(shí)心銅制零件的截面邊長(zhǎng)是長(zhǎng)度為55毫米線段AB和88毫米的線段AC以及圓心為P，半徑為PB的一段圓弧BC構(gòu)成，其中BAC=60°.(1)求半徑PB的長(zhǎng)度；(2)現(xiàn)知該零件的厚度

9、為3毫米，試求該零件的重量(每1個(gè)立方厘米銅重8.9克，按四舍五入精確到0.1克).V柱=S底·h.解析：(1)在ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半徑PB的長(zhǎng)度；(2)求出V柱=S底·h，即可求該零件的重量.答案：(1)AB=55，AC=88，BP=R，BAC=60°.AP=88R，在ABP中，由余弦定理可得：BP2=AB2+AP22AB·AP·cosBAC，可得：R2=552+(88R)22×55×(88R)×cos60°，解得：R=49mm.(2)在ABP中，AP=8849=39mm，AB=55，

10、BP=49，sinBPA0.972.BPA=arcsin0.972.V柱=S底·h=(SABP+S扇形BPC) ·h=該零件的重量=÷1000×8.982.7. 18.如圖所示，l1，l2是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段，點(diǎn)A，B在直線l1上，且位于M點(diǎn)的兩側(cè)，C在l2上，AM=BM=NM=CN(1)求證：異面直線AC與BN垂直；(2)若四面體ABCN的體積VABCN=9，求異面直線l1，l2之間的距離.解析：(1)欲證ACNB，可先證BN面ACN，根據(jù)線面垂直的判定定理只需證ANBN，CNBN即可；(2)判斷異面直線的距離，利用體積公式求解即

11、可.答案：(1)證明：由已知l2MN，l2l1，MNl1=M，可得l2平面ABN.由已知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB.又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.ACNB(2)AM=BM=NM=CN，MN是它們的公垂線段，就是異面直線l1，l2之間的距離，由中垂線的性質(zhì)可得AN=BN，四面體ABCN的體積VABCN=9，可得：，MN=3.異面直線l1，l2之間的距離為3.19.如圖所示，橢圓C：，左右焦點(diǎn)分別記作F1，F(xiàn)2，過(guò)F1，F(xiàn)2分別作直線l1，l2交橢圓AB，CD，且l1l2.(1)當(dāng)直線l1的斜率k1與直線BC的斜率k2都存在時(shí)，求證：k1·k2為定值；(2)

12、求四邊形ABCD面積的最大值.解析：(1)由橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AB、CD的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得A、D的坐標(biāo)，求出AD所在直線斜率得答案；(2)由(1)結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得|AB|，再由兩平行線間的距離公式求出邊AB、CD的距離，代入平行四邊形面積公式，利用換元法求得最值.答案：(1)證明：由橢圓C：，得a2=4，b2=1，.設(shè)k1=k，則AB所在直線方程為y=kx+k，CD所在直線方程為y=kxk，聯(lián)立，得(1+4k2)x2+8k2x+12k24=0.解得，不妨取，則同理求得，.則，則；(2)解：由(1)知，.AB、CD的距離，.令1+4k2=t(t1)，則，當(dāng)t=3時(shí)，Smax=

13、4. 20.數(shù)列an，定義an為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中an=an+1an(nN*)(1)若an=n2n，試判斷an是否是等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若a1=1，anan=2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)對(duì)(b)中的數(shù)列an，是否存在等差數(shù)列bn，使得，對(duì)一切nN*都成立，若存在，求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)根據(jù)數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=n2n，結(jié)合新定義，可判定an是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；(2)由anan=2n入手能夠求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)：1Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn10+Cn11+Cn12+Cn1n1)

14、=n·2n1進(jìn)行求解.答案：(1)若an=n2n，試判斷an是等差數(shù)列，理由如下：an=n2n，an=an+1an=(n+1)2(n+1)(n2n)=2n，an+1an=2，且a1=4，an是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；(2)anan=2n.an=an+1an，an+12an=2n，數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即；(3)b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=an，即b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=n·2n1，1Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn10+Cn11+Cn12+Cn1n1)=n·2n1，存在等差數(shù)列bn，bn=n，使得b1Cn1+b

15、2Cn2+bnCnn=an對(duì)一切自然nN都成立.21.對(duì)于函數(shù)f(x)(xD)，若存在正常數(shù)T，使得對(duì)任意的xD，都有f(x+T)f(x)成立，我們稱(chēng)函數(shù)f(x)為“T同比不減函數(shù)”.(1)求證：對(duì)任意正常數(shù)T，f(x)=x2都不是“T同比不減函數(shù)”；(2)若函數(shù)f(x)=kx+sinx是“同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；(3)是否存在正常數(shù)T，使得函數(shù)f(x)=x+|x1|x+1|為“T同比不減函數(shù)”；若存在，求T的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)根據(jù)T同比不減函數(shù)的定義即可證明，(2)根據(jù)T同比不減函數(shù)的定義，分離參數(shù)得到，根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的范圍，(3)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象