2020學(xué)年廣東省汕頭市高考模擬試題數(shù)學(xué)文

1、2020年廣東省汕頭市高考模擬試題數(shù)學(xué)文一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，B=2，3，則(CUA)B=()A.3B.4，5C.1，2，3D.2，3，4，5解析：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，CUA=3，4，5，B=2，3，則(CUA)B=2，3，4，5.答案：D2.已知向量=(1，2)，2+=(3，2)，則=()A.(1，2)B.(1，-2)C.(5，6)D.(2，0)解析：=(1，2)，2+=(3，2)，則=(2+)-2=(3，2)-2(1，2)=(3，2)-

2、(2，4)=(3-2，2-4)=(1，-2).答案：B.3.已知i是虛數(shù)單位，若(2-i)·z=i3，則z=()A.-IB.-+iC.-iD.+i解析：(2-i)·z=i3，(2+i)(2-i)z=-i(2+i)，5z=-2i+1，z=-i，答案：A4.從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為()A.B.C.D.解析：從數(shù)字1，2，3中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，基本事件總數(shù)n=A23=6，則這個(gè)兩位數(shù)大于30包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2，這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為P=.答案：B.5.已知cos(+)=，且(，)，則tan=()A.

3、B.C.-D.±解析：cos(+)=；sin=-；又(，)，cos=-=-，tan=.答案：B6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x-)(xR)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上是增函數(shù)D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)解析：對(duì)于函數(shù)f(x)=sin(2x-)=-cos2x，它的最小正周期為=，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故A、B正確；在區(qū)間0，上，2x0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上是減函數(shù)；當(dāng)x=時(shí)，f(x)=0，不是最值，故函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)，答案：D.7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，

4、Sn=2an+1，則當(dāng)n1時(shí)，Sn=()A.()n-1B.2n-1C.()n-1D.()解析：Sn=2an+1，a1=1，a1=2a2，解得a2=.當(dāng)n2時(shí)，Sn-1=2an，an=2an+1-2an，化為.數(shù)列an從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為.Sn=2an+1=2××()n-1=()n-1.答案：A.8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出P的值為()A.2B.3C.4D.5解析：A=2，P=1，S=0，滿足條件S2，則P=2，S=，滿足條件S2，則P=3，S=，滿足條件S2，則P=4，S=不滿足條件S2，退出循環(huán)體，此時(shí)P=4.答案：C9. 某幾何體的三視

5、圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為()A.4B.12C.24D.48解析：由三視圖可知幾何體為三棱錐P-ABC，PA平面ABC，ABBC，PA=AB=BC=2，取PC中點(diǎn)O，AC中點(diǎn)D，連結(jié)OA，OD，BD，OB，則AC=2，PC=2.OP=OC=，OA=PC=，BD=AC=，OD=PA=1，OB=，OA=OB=OC=OP，O是棱錐P-ABC外接球的球心，外接球半徑r=OA=，外接球表面積S=4r2=12.答案：B10.下列函數(shù)中，在(-1，1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是()A.y=log2xB.y=2x-1C.y=x2-2D.y=-x3解析：y=log2x在(-1，1)有沒(méi)有意義的情況，故A

6、不對(duì)，y=x2-1在(-1，0)單調(diào)遞減，故C不對(duì)，y=-x3在(-1，1)單調(diào)遞減，故D不對(duì)，故A，C，D都不對(duì)，y=2x-1，單調(diào)遞增，f(-1)0，f(1)0，在(-1，1)內(nèi)存在零點(diǎn).答案：B11.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=則gf(-7)=()A.3B.-3C.2D.-2解析：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=設(shè)x0，則-x0，則f(-x)=log2(-x+1)，f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1)，g(x)=-log2(-x+1)(x0)，f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3，g(-3)=-log2(3

7、+1)=-2.答案：D12.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f(x)-f(-x)=0，當(dāng)x-1，0時(shí)，f(x)=x2，若g(x)=f(x)-logax在x(0，+)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()A.3，5B.4，6C.(3，5)D.(4，6)解析：f(x)-f(-x)=0，f(x)=f(-x)，f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示：g(x)=f(x)-logax在x(0，+)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，y=f(x)和y=logax的圖象在(0，+)上只有三個(gè)交點(diǎn)，解得3a5.答案：C.二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分

8、20分.13. 設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為 .解析：由z=x+3y+m得y=-x+-，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分)：平移直線y=-x+-由圖象可知當(dāng)直線y=-x+-經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-x+-的截距最大，此時(shí)z也最大，由解得即A(2，2)，將A代入目標(biāo)函數(shù)z=x+3y+m，得2+3×2+m=4.解得m=-4，答案：-4.14.已知直線l：y=kx+b與曲線y=x3+3x-1相切，則斜率k取最小值時(shí)，直線l的方程為 .解析：由y=x3+3x+1，得y=3x2+3，則y=3(x2+1)3，當(dāng)y=3時(shí)，x=0，此時(shí)f(0)=1，斜率k最小時(shí)

9、直線l的方程為y-1=3(x-0)，即3x-y+1=0.答案：3x-y+1=0.15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比q=2，若存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，則的最小值為 .解析：正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比q=2，存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，=4a1，a10，2m+n-2=24，m+n=6.則，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時(shí)取等號(hào).的最小值為.答案：16.下列有關(guān)命題中，正確命題的序號(hào)是 .命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x1”；命題“xR，x2+x-10”的否定是“ xR，x2+x-10”；命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是假命題.若“p或q為真命題，則p，q至

10、少有一個(gè)為真命題.”解析：命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x21，則x1”；故錯(cuò)誤；命題“xR，x2+x-10”的否定是“xR，x2+x-10”；故錯(cuò)誤；命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題是若sinxsiny，則xy，是真命題，故錯(cuò)誤；若“p或q為真命題，則p，q至少有一個(gè)為真命題.”正確；答案：.三、解答題.本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和驗(yàn)算步驟.17.在ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，b=，c=1，cosB=.(1)求sinC的值；(2)求ABC的面積.解析：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，由正弦定理可得sinC

11、的值.(2)由cb，可得C為銳角，由(1)可得cosC，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，利用三角形面積公式即可得解.答案：(1)b=，c=1，cosB=.sinB=，由正弦定理可得：sinC=.(2)cb，C為銳角，由(1)可得：cosC=，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=，SABC=bcsinA=××1×=.18. 已知an是公差d0的等差數(shù)列，a2，a6，a22成等比數(shù)列，a4+a6=26；數(shù)列bn是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列，且b3=a2，b5=a6.()求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；()求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)

12、和Tn.解析：()利用等差中項(xiàng)及a4+a6=26可知a5=13，進(jìn)而通過(guò)a2，a6，a22成等比數(shù)列計(jì)算可知d=3，利用q2=及=4可知q=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；()通過(guò)(I)可知an·bn=(3n-2)·2n-1，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論.答案：()an是公差d0的等差數(shù)列，且a4+a6=26，a5=13，又a2，a6，a22成等比數(shù)列，(13+d)2=(13-3d)(13+17d)，解得：d=3或d=0(舍)，an=a5+(n-5)d=3n-2；又b3=a2，b5=a6，q2=4，q=2或q=-2(舍)，又b3=a2=4，bn=b3·qn-3=4

13、3;2n-3=2n-1；()由(I)可知，an·bn=(3n-2)·2n-1，Tn=1·20+4·21+7·22+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1，2Tn=1·21+4·22+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n，錯(cuò)位相減得：-Tn=1+3(21+22+2n-1)-(3n-2)·2n=1+3·-(3n-2)·2n=-5-(3n-5)·2n，Tn=5+(3n-5)·2n.19.某區(qū)工商局、消費(fèi)者協(xié)會(huì)在3月15號(hào)舉行了以

14、“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng)，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí).組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組20，30)，第2組30，40)，第3組40，50)，第4組50，60)，第5組60，70，得到的頻率分布直方圖如圖所示.()若電視臺(tái)記者要從抽取的群眾中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第4組的概率；()已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取3名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求至少有兩名女性的概率.解析：()設(shè)第2組30，40)的頻率為f2，利用概率和為1，求解即可.()設(shè)第1組30，40)的頻數(shù)n1，求出n1，記第1組中的男性為

15、x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4列出隨機(jī)抽取3名群眾的基本事件，列出至少有兩名女性的基本事件，然后求解至少有兩名女性的概率.答案：()設(shè)第2組30，40)的頻率為f2=1-(0.005+0.01+0.02+0.03)×10=0.35；第4組的頻率為0.02×10=0.2.所以被采訪人恰好在第2組或第4組的概率為P1=0.35+0.2=0.55.()設(shè)第1組30，40)的頻數(shù)n1，則n1=120×0.005×10=6.記第1組中的男性為x1，x2，女性為y1，y2，y3，y4.隨機(jī)抽取3名群眾的基本事件是：(x1，x2，y1)，(x1，x2，y2)

16、，(x1，x2，y3)，(x1，x2，y4)(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共20種.其中至少有兩名女性的基本事件是：(x1，y2，y1)，(x1，y3，y2)，(x1，y1，y3)，(x1，y4，y1)，(x1，y2，y4)，(x1，y3，y4)，(x2，y2，y1)，(x2，y

17、3，y2)，(x2，y1，y3)，(x2，y4，y1)，(x2，y2，y4)，(x2，y3，y4)，(y1，y2，y3)，(y1，y2，y4)，(y2，y3，y4)，(y1，y3，y4)共16種.所以至少有兩名女性的概率為P2=.20.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，ABC=90°，AB=4，AA1=6，點(diǎn)M時(shí)BB1中點(diǎn).(1)求證；平面A1MC平面AA1C1C；(2)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離.解析：(1)以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面A1MC平面AA1C1C.(2)由=(0，0，6)，

18、平面A1MC的法向量=(3，-3，4)，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A1MC的距離.答案：(1)以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意A1(0，4，6)，M(0，0，3)，C(4，0，0)，A(0，4，0)，=(0，4，3)，=(4，0，-3)，=(0，0，6)，=(4，-4，0)，設(shè)平面A1MC的法向量為n=(x，y，z)，則取x=3，得=(3，-3，4)，設(shè)平面AA1C1C的法向量=(a，b，c)，則取a=1，得=(1，1，0)，·=0，平面A1MC平面AA1C1C.(2)=(0，0，6)，平面A1MC的法向量=(3，-3，4)，點(diǎn)A到平面A1

19、MC的距離：d=.21.已知函數(shù)f(x)=lnx-(1+a)x2-x.(1)討論 函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：對(duì)任意的x(0，+)，有f(x)-(1+a)x2-a+1.解析：(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明+lnx-x0成立，即證x-lnx.令g(x)=，h(x)=x-lnx，由導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最大值和h(x)的最小值，由g(x)的最大值小于h(x)的最小值得答案.答案：(1)由f(x)=lnx-(1+a)x2-x，得f(x)=(x0)，當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函

20、數(shù)，當(dāng)x(1，+)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)a-時(shí)，-2(1+a)0，-2(1+a)x2-x+10，即f(x)0，f(x)在(0，+)上為增函數(shù)；當(dāng)-a-1時(shí)，-2(1+a)0，二次方程-2(1+a)x2-x+1=0有兩根，0x1=x2=，當(dāng)x(0，x1)，x(x2，+)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(x1，x2)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)a-1時(shí)，-2(1+a)0，二次方程-2(1+a)x2-x+1=0有兩根，x1=0，x2=0，當(dāng)x(0，x2)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(x2，+)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù).(2)要證f(x)-(1+a)x2-

21、a+1，即證lnx-(1+a)x2-x-(1+a)x2-a+1，即+lnx-x1-a，a1，1-a0，也就是證+lnx-x0，即證x-lnx.令g(x)=，則g(x)=，當(dāng)x(0，e)時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(e，+)時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，g(x)max=g(e)= ；令h(x)=x-lnx，h(x)=1-，當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)0，h(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(1，+)時(shí)，h(x)0，h(x)為增函數(shù)，h(x)min=h(1)=1，x-lnx成立，故對(duì)任意的x(0，+)，有f(x)-(1+a)x2-a+1.22.選修4-1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與O相切，A為

22、切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CDAP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF·EC.(1)求證：CE·EB=EF·EP；(2)若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長(zhǎng).解析：(I)由已知可得DEFCED，得到EDF=C.由平行線的性質(zhì)可得P=C，于是得到EDF=P，再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明EDFEPA.于是得到EA·ED=EF·EP.利用相交弦定理可得EA·ED=CE·EB，進(jìn)而證明結(jié)論；(II)利用(I)的結(jié)論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB·PC，即可得出PA.答案：(I)DE2=EF·EC，DEF公用，DEFCED，EDF=C.又弦CDAP，P=C，EDF=P，DEF=PEAEDFEPA.，EA·ED=EF·EP.又EA·ED=CE·EB，CE·EB=EF·EP；(II)DE2=EF·EC，DE=3，EF=2.32=2EC，CE=.CE：BE=3：2，BE=3.由(I)可知：CE·EB=EF·EP，×3=2EP，解得EP=，BP=EP-EB=·3=