雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi、F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù) (大于零,小于I F1F2 | )的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.兩定點(diǎn)Fi、F2是焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離| F1F2I是焦距,用2c表示,常數(shù)用2 a表示.(1)假設(shè)I MF |-| MF | =2a時(shí),曲線只表示焦點(diǎn) F2所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(2)假設(shè)| MF |-| MF | =-2 a時(shí),曲線只表示焦點(diǎn) F1所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(3)假設(shè)2a =2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線,而是以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線.(4)假設(shè)2a >2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.2.雙曲線

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程:b2=1( a >0,b >0)表示焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線;22匕-t_=1( a >0,b >0)表示焦點(diǎn)在 y軸上的雙曲線 22a b判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,不像橢圓似的比擬x2、y2的分母的大小,而是 x2、y2的系數(shù)的符號(hào),焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程22x y /1 ( a 0,b 0) a b22y x /丹11 ( a 0,b 0)a b圖象a, b,c關(guān)系2. 22a b c范圍|x| a,y R|y| a,x R頂點(diǎn)(a,0)(0,a)對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)成中央對(duì)稱漸近線b y -x aya b離

3、心率e -( 1) a焦點(diǎn)F( c,0)F(0,c)等軸雙曲線：x2-y 2= a2( a旬),它的漸近線方程為 y =塊離心率e= 6.4.直線與雙曲線的位置關(guān)系,可以通過(guò)討論直線方程與雙曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的 個(gè)數(shù)來(lái)確定.(1)通常消去方程組中變量 y (或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式 曲線相交于一個(gè)點(diǎn);0 直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn);直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn).0 直線與雙(2)假設(shè)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,那么直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn),此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線.(3)直線l被雙曲線截得的弦長(zhǎng)ABJ(1 k2)(" X2)2

4、 或(1 F)(yi 力:其中 k是直線l的斜率,(Xi , yi) , (X2, y2)是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A, B的坐標(biāo),且,、2,、2(X1 X2)(X1 x2)4x1x2 , X1 X2 , X1X2 可由韋達(dá)7E理整體給出.二、例題選講例1、中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 X軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等,一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為W,那么雙曲線方程為()1A , x2-y2= 1B. x2-y2 = 2C. x2y2=D . x2-y2 = 222解析：由題意,設(shè)雙曲線方程為X2-y2=1(a>0),那么c= 72a,漸近線y=x,a a,嚕=42,a2=2.,雙曲線方程為x2-y2

5、 = 2.答案：B例2、根據(jù)以下條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.5(1)過(guò)點(diǎn)P(3, J2),離心率e .2(2) F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn),雙曲線離心率為2且F1PF2 60 , Spfr 1273 .解：(1)依題意,雙曲線白實(shí)軸可能在x軸上,也可能在 y軸上,分別討論如下.22如雙曲線的實(shí)軸在 X軸上,設(shè)與匕 1為所求. a bC25a24由點(diǎn)P(3, <2)在雙曲線上,2. 2 1 , b2一 2. 22_2.又a b c ,由、得a 1 ,b2假設(shè)雙曲線的實(shí)軸在y軸上,設(shè)2X-2 a24 1為所求. b2同理有亍IM A222.、 一 2a b c .解

6、之,得b17 一人人,一不合,舍去.2.雙曲線的實(shí)軸只能在 x軸上,所求雙曲線方程為4y22設(shè)雙曲線方程為2 y_ b21,因訐2 2c,2 ,由雙曲線的定義,得PFiPF22a由余弦,得(2c)2PFiPF22 PFi PF2cos F1PF2(PF2PF2)2 2 PF PF2 (1 cos60),4c21 .PF1 PF2 .又 Sp¥2 #周 |PFzSin601273, PFi PF248.48,16,2i 22- , , 、*x得a2 4, b2 12 . 所求雙曲線的方程為 一 42y12、穩(wěn)固測(cè)試題到兩定點(diǎn)F1A,橢圓3,0、F2 3,0的距離之差的絕對(duì)值等于B.線段

7、C,雙曲線6的點(diǎn)M的軌跡D.兩條射線2.方程A.2xr-13.雙曲線2_ _y_k rnkk 12x-2m 121表示雙曲線,那么k的取值范圍是4.A.雙曲線B.2y2 mB.2 x-2- aC. k 01的焦距是2,22_ yk b2 kC. 821與雙曲線三aD.與m有關(guān)A.相同的虛軸B.相同的實(shí)軸2 y b2C.相同的漸近線D.相同的焦點(diǎn)225.過(guò)雙曲線L169A. 281左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6,那么ABF2 F2為右焦點(diǎn)的周長(zhǎng)是A B. 22C. 14226雙曲線:一方=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為A .2.3B. 2C. 3x22解析：雙曲線：一為=1的焦點(diǎn)為4,0或一4,0.漸近線方

8、程為y=gx或y=寸3x.|4<3+0|1由雙曲線的對(duì)稱性可知,任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等,d= j =2V32,一一 x7.以橢圓一, 3+ 122222222xy,xy,xy, xy,A.1 B .匚 1 C.1-1 D.- 135531381358 .過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線與y-= 1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有()16 9A . 1條B. 2條C. 3條D. 4條解析：如下圖,滿足條件的直線共有3條.9 .經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A( 7, 6衣),B(2j7,3)的雙曲線的方程為()C2 x A.752L 1252222yx xyB.匚 1 C. 175 2525 752D.257510 .

9、雙曲線的離心率為2 ,焦點(diǎn)是(-4,0) , (4,0),那么雙曲線方程為()A.22上-412222222xy/xy/xy/一-=1C.- =1D .- =1124106610人 口 、小 x211 .P是雙曲線162 1上的一點(diǎn),F1,F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),且 F1PF2 120 9那么 PF1F2的面積為 ()DA. 16.3 B. 9 3C. 4.3 D . 3 312 .雙曲線 25x2 16y2 400的實(shí)軸長(zhǎng)等于 ,虛軸長(zhǎng)等于 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,漸近線方程為,離心率等于2213.直線y x 1與雙曲線匕1相交于A,B兩點(diǎn),那么AB =23214 .過(guò)點(diǎn)M(3, 1)且被

10、點(diǎn)M平分的雙曲線 y2 1的弦所在直線方程為 413. 3x 4y 5 015 .雙曲線mx2 y2 1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的 2倍,那么m 1,雙曲線mx2 y2 1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的 2倍,m<0,且雙曲線方程為.m= 1.416 .雙曲線的離心率e=乎,且與橢圓 第十 <=1有共同的焦點(diǎn),求該雙曲線的方程.213 3解：在橢圓中,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(那,0),c=/0,又 e=c=范里幸,a2=8, b2= 2. a a 2雙曲線方程為W=i.822y 1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF290 ,一,x217 .Fi、F2是雙曲線4求F1PF2的面積.2解：.P為雙曲線上y21上

11、的一個(gè)點(diǎn)且F1、F2為焦點(diǎn)4PF1 PF2| 2a 4,|F1F2| 2c 2 展F1PF290 , 在 Rt PF1F2 中,2PF12PF22F1F22020 2PF1HPF216,222hPF1 PF2PF1PF2 2PFj|PF2 16,PF1 PF2 21一S F1PF2一 PF1 PF2 1218 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓,它的中央在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為 F( 73,0),右頂點(diǎn)為一,1D(2,0),設(shè)點(diǎn) A 1,1 . 2(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)假設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;18.(1)由得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c= J3,那么半短軸b=1.

12、2又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y214(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(X0,y 0),X0xo=2x 1V.y= 一r 1 y0-2y2由,點(diǎn)P在橢圓上,得世1)24 1c 1c.線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是(x -)2 4(y -)2 1.2419.橢圓C的焦點(diǎn)F1 ( 2<2 , 0)和F2 (2J2 , 0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線y x 2交 橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo).解：由條件得橢圓的焦點(diǎn)在22xx 9一 y 1.聯(lián)立方程組99x軸上,其中c= 272 ,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：y 1,消去y得,10x2x 236x 27

13、 0.設(shè) A(x1,y1),B( x2,y2),AB 線段的中點(diǎn)為 M(x0,y0)那么：x1內(nèi)所以y0= x0+2=.也就是說(shuō)線段 AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,). 55 520.求兩條漸近線為 x 2y .且截直線x y 3 .所得弦長(zhǎng)為解:設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=. 22、r x -4y = 一 r c聯(lián)立方程組得：,消去y得,3x2-24x+(36+)=0x y 3 018x1 x2一,x0 =528. 3之的雙曲線方程.3設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB ,且人(x1,y1),B(x2,y2),那么:那么:解得:|AB|= ,(rk2)(x1-x2)24xx2. (1 1)(82 4 363 )2=4,所以,所求雙曲線方程是： y2 14x1 x2836x1x23_ 22412(36) 08(12) 8.33321.中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1, F2,且| F1F2 | 2扇,橢圓的半長(zhǎng)軸與雙曲線的半實(shí)軸之差為4,離心率之比為3 : 7.(1)求這兩條曲線的方程；(2)假設(shè)P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),求 cos F1PF2的值.2 X21、解：1設(shè)橢圓的方程為 -2 ai1,雙曲線方程為22x VF -Vr 1,半焦距為c J13 ,a； b；由得:2 x492V36(2)aa2-/ aia2.一 x21及一9設(shè) F1PF2| PF