與三角形有關(guān)的角講義

1、、知識重點(diǎn)1.三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180°.(2)證實(shí)方法：證法多樣,主要是運(yùn)用平行線知識把三個(gè)角轉(zhuǎn)移成一個(gè)平 角,從而得到內(nèi)角和是 180°.如下圖,過 C作CM/AB,將求/ A+/B + / ACB 轉(zhuǎn)化為求 / 1 + Z2+Z ACB,或過 A 點(diǎn)作 DE / BC,把求 / BAC+ / B+ / C 轉(zhuǎn)化為求 / BAC+ / DAB+Z EAC.(3)理解與延伸：由于三角形內(nèi)角和為180.,所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如:一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于 60°直角三角形兩銳

2、角互余；等邊三角形每個(gè)角都是60°等.(4)作用：兩角求第三角或三角關(guān)系求角的度數(shù).【例11填空：(1)在4ABC 中,假設(shè)/A=80°, /C = 20°,那么/ B =°(2)假設(shè)/A=80°, /B=/C,那么/C =°(3) ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比/ A ： / B ： / C = 2 ： 3 ： 5,那么/ B = ; /c=:2.直角三角形的性質(zhì)與判定(1)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.如下圖,在 RtABC中,如果/ C = 90°,那么/A+/B = 90°.【例21】將一個(gè)直角三

3、角板和一把直尺如圖放置,如果/ 的度數(shù)是)A. 430B.300D. 600(2)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.如下圖,在 ABC中,如果/ A+/B=90° ,那么/ C=90° ,即 ABC 是直角三角形.【例2 2】 如下圖,AB/CD,直線EF分別交AB, CD于點(diǎn)E, F, /BEF的平分線與/ DFE的平分線相交于點(diǎn)P,求證：4EPF是直角三角形.3.三角形的外角(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外(2)特點(diǎn)：三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角,這是內(nèi)、 外角聯(lián)系的紐帶.一個(gè)三角形有6個(gè)外角,其中兩兩互

4、為對頂角,如下圖.【例3】 在4ABC中,/ A等于和它相鄰的外角的四分之一,這個(gè)外角等 于/ B 的兩倍, 那么 / A=, / B _, C C =.4 .三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如下圖：/ =/B+/C(或 / B=/ 1 / C, /C=/1 /B).注意：三角形的外角和不是所有外角的和,是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角,是 一半數(shù)目外角的和.(2)作用：求角的度數(shù),在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三 角,也能求出相鄰內(nèi)角的度數(shù)；證實(shí)角相等,一般是把外角作為中間關(guān)系式證實(shí)角相等.【例4】 如圖,一個(gè)直角三角形紙片,剪去直角后,得到一個(gè)四邊形,那么

5、 / 1 + / 2 =.AC5 .三角形外角和(1)定義(規(guī)定)：如下圖,在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角,如/1, /2,Z3,它們的和叫做三角形的外角和.(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于 360°.【例5】 如下圖.用兩種方法說明/ 1 + / 2+/ 3 = 360°.綜合應(yīng)用【例 61】 在4ABC 中,/A=80°, /B=60°,那么/ C =°【例 6 2】 在 ABC 中,/ A=40° , / B / C = 40° ,那么/ B = , / C=.【例 6 3】 在 4ABC 中,/ A： / B：/

6、C = 5：3： 2,那么 ABC 是 ().A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形【例6 4】銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角是/A, /B, / C.如果/ a= /A +/ B , / 0= / B + / C , / 尸 / C + / A ,那么 / a, / 0, / 丫 這三個(gè)角中 ().A.沒有銳角B .有1個(gè)銳角C.有2個(gè)銳角D.有3個(gè)銳角【例7】填空：(1)如圖(1), P為 ABC中BC邊的延長線上一點(diǎn),/ A=50°, /B = 70°,貝叱 ACP=°.(2)如圖(2)所示,/ ABE=142°, /C=72°,

7、那么/ A=°,/ABC =:.(3)如圖(3), 7 3=120°,那么/1 /2 =:【例81】 如圖1,將一等邊三角形剪去一個(gè)角后,/1 + /2等于.A. 120°B, 2400C. 3000D. 3600【例8 2】 如圖,a/b,那么以下式子中值為180°的是.A . / a+ / 3- / 丫B. / a+ / PH- / 丫C . / 0+ / 廠 /aD . / al / PH- / 丫2.運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理判斷三角形形狀【例9-11 一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為 2 ： 3 ： 7,這個(gè)三角形一定 是().A.直角三角形B.等腰三

8、角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【例9 2】 在4ABC中,假設(shè)/A=2/B = 3/C,試判斷這個(gè)三角形的形10.角平分線的夾角與三角形內(nèi)角關(guān)系的探究(1)三角形的兩內(nèi)角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系1 .如圖,在 ABC中,/ ABC的平分線與/ ACB的平分線交于點(diǎn) O,求 / BOC與/A之間的關(guān)系.(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系2 .如圖,在 ABC中,BP, CP分別是 ABC的外角/ DBC和/ ECB的平 分線,試探究/ BPC與/A的關(guān)系.I)(3)一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系3.如圖,在 ABC中,CE平分/ ACB, BE是4ABC的外角/ A

9、BD的平分 線,試探究/ BEC與/A的關(guān)系.【例10 11如圖, ABC, /ABC的平分線與/ ACB的平分線交于 點(diǎn)O,求/ BOC與/ A之間的關(guān)系.【例102】如圖,BO, CO分別是/ABC, /ACB的兩條平分線,/ A=100°,那么/ BOC的度數(shù)是().A. 80B. 90C. 120°D. 140【例103 如下圖,/ ABC的平分線和 ABC的外角/ ACE的平分線 交于點(diǎn)D, /D = 30°, /A的度數(shù)是;當(dāng)/D =時(shí),/ A的度數(shù)是90°.11.與三角形有關(guān)的角的問題的一題多解例如：如圖1是由平面上五個(gè)點(diǎn) +/C+/D+/

10、E的度數(shù)是多少？A, B, C, D, E連接而成,求/ A+Z B閣圖【例11 如圖1所示是小亮的爸爸帶回家的一種零件示意圖,它要求 /BDC=140°才合格,小明通過測量得/ A=90°, /B=19°, / C = 40°后就下 結(jié)論說此零件不合格,于是爸爸讓小亮解釋這是為什么呢？小亮很輕松地說出 了原因,你能解釋嗎？圖(1)圖(2)、綜合練習(xí)、選擇題1.三角形的三個(gè)外角之比為A. 2:3: 4 B . 4:3: 22:3: 4,那么與之相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比為C. 5:3:1 D. 1:3:52.如圖4,工人師傅砌門時(shí), 這種做法的根據(jù)是A.兩點(diǎn)之間

11、直線段最短C.矩形四個(gè)角都是直角常用木條 EF固定矩形門框ABCD ,3.如圖 5, /1 , /2 ,A. /1 /2 =/3 -/4/3 ,5.如圖7,在4ABC中,D是AB上的一點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),BE, CD相交于IB .矩形的穩(wěn)定性D,三角形的穩(wěn)定性/4包滿足的關(guān)系式是B. /1+/2=/4/3使其不變形,F, /A=70',/ACD=20,/ ABE = 28,WJ / CFE 的度數(shù)為A. 62sB . 68C . 78D . 906 .如圖2,以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是A. 2 B.3 C.4 D.57 .假設(shè)三條線段中a = 3, b = 5, c為奇數(shù),那么由a

12、, b, c為邊組成的三角形共有A. 1個(gè)B. 3個(gè)C.無數(shù)多個(gè) D.無法確定8 .如果線段a, b, c能組成三角形,那么它們的長度比可能是A. 1:2:4 B , 1:3: 4 C, 3:4:7 D. 2:3: 49 .不一定能構(gòu)成三角形的一組線段的長度為A. 3, 7 , 5B , 3x , 4x , 5xx>0C. 5, 5, a0<a<10D. a2, b2 ,10.有長為1, 2 , 3的線段假設(shè)干條,任取其中3樣構(gòu)造三角形,那么最多能 構(gòu)成形狀或大小不同的三角形的個(gè)數(shù)是A. 5 B . 7 C. 8 D. 10二、填空題圖111 .如圖1 , / ABC的平分線

13、交/ ACB的平分線于l ,假設(shè)/ A = 60 ,那么/ BIC=.12. 一個(gè)三角形中最多有個(gè)內(nèi)角是鈍角,最多可有個(gè)角是銳角.13 .三角形兩個(gè)外角的和等于第三個(gè)內(nèi)角的 4倍,那么第三個(gè)內(nèi)角等于14 .如圖 2, /A + /B+/C+/D +/E =.I)15 .如圖 3, /1+/2+/3+/4 =16 .兩根木棒的長分別為7cm和10cm.要選擇第三根木棒,將它們釘成一個(gè)三 角形框架,那么,第三根木棒長x (cm.)的范圍是17 .如圖 1, /1+/2+/3+/4=.18. 4ABC中,a=6, b=8,那么周長P的取值范圍是19. a, b, c 是 ABC 中/A, /B, /C 的對邊,假設(shè) a = 4九, 那么九的取值范圍是.).20.假設(shè)a, b, c為 ABC的三邊,那么ab-Ca -b c21.點(diǎn),解做題,如圖8,點(diǎn)D是 ABC中AC邊上的一點(diǎn),點(diǎn)E是BC邊延長線上 說明：/ADBa/CDE.困9EI)圖1022.,如圖9, ABC中,/ABC的平分線與/ACE的平分線交于D點(diǎn),假設(shè)/A=80,求/D的度數(shù).23.