【檢驗】浙大第四版概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持【關(guān)鍵字】檢驗第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列 組合公式P：m!從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)(m n)!Cm m 從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù) n!(m n)!(2)加法 和乘法原 理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成,第一種方法可由m種方法完成,第二種方法可由n種方法來無成,那么這件事口由 m+n種方法來無成.乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mx n某件事由兩個步驟來完成,第一個步驟可由m種方法完成,第二個步驟可由n種方法來無成,那么這件事口由 mx n種方法來無成.(3) 一些

2、常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序) 對立事件(至少有一個) 順序問題(4)隨機(jī) 試驗和隨 機(jī)事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,而每次試驗的可能結(jié)果 不止一個,但在進(jìn)一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果,那么 稱這種試驗為隨機(jī)試驗.試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件.(5)根本 事件、樣 本空間和 事件在一個試驗下,不管事件有多少個,總可以從其中找出這組事件,它具肩如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗,必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件,都是由這一組中的局部事件組成的.這組事件中的每一個事件稱為根本領(lǐng)件,用來表示.根本領(lǐng)件的全體,稱為試驗的樣本空間,用表示.一個事件就是由 中的局部點(根本領(lǐng)件

3、 )組成的集合.通常用大寫字母A, B, C,表示事件,它們是 的子集.為必然事件,？為/、可能事件.不可能事件(？)的概率為零,而概率為零的事件/、一定是不可能事 件；同理,必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定 是必然事件.(6)事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：如果事件A的組成局部也是事件B的組成局部,(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：A B如果同時有A B, B A,那么稱事件A匕事件B等價,或稱A 等于B： A=BA、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B.屬于A而不屬于B的局部所構(gòu)成的事件,稱為 A與B的差,記為A-B,也口表小為A-AB或后AB ,匕表小A發(fā)生而B不發(fā)生的事件.

4、1文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持A、B同時發(fā)生：A B,或者AB A B=?,那么表示A與B不可能同 時發(fā)生,稱事件A匕事件B互不相容或者互斥.根本領(lǐng)件是互不 相容的.-A稱為事件A的逆事件,或稱A的對立事件,記為Ao它表示A不發(fā)生的事件.互斥未必對立.運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC)Ai入德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率 的公理化 定義設(shè) 為樣本

5、空間,A為事件,對每一個事件 A都有一個實數(shù) P(A),假設(shè)滿足卜列三個條件：1 ° 0< P(A) < 1,2 P( Q) =13°對于兩兩互不相容的事件 A A2,有 常稱為可列(完全)可加性.那么稱P(A)為事件A的概率.(8)古典 概型11,2n ,12 P( 1) P( 2)P( n) -0n設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的,那么有P(A)= ( 1) (2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)(9)幾何 概型假設(shè)隨機(jī)試驗的結(jié)果為無限/、可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻, 同時樣本空間中的每一個根本領(lǐng)件可以使用一個有界區(qū)域來描述, 那么稱

6、此隨機(jī)試驗為幾何概型.對任一事件 A,P(A)以&.其中L為幾何度量(長度、面積、體積).L()(10)加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB) = 0 時,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時,P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=Q時,P( B)=1- P(B)(12)條 件概率定義設(shè)A、B是兩個事件,且P(A)>0,那么稱凹俎為事件A發(fā)生條P(A)件下,事件B發(fā)生的條件概率,記為P(B/A) E2曳.P(A)條件概率是概率的一種,所后概率的性質(zhì)都適合于條件概率.2文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集

7、整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持例如 P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘 法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地,對事件 A, A,假設(shè)P(A1Ar-A-1)>0 ,那么有P(A1A2 . An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An| A1A2.An 1) 0(14)獨 立性兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),那么稱事件A、B是相互獨 立的.假設(shè)事件A、B相互獨立,且P(A) 0 ,那么有假設(shè)事件A、B相互獨立,那么可得到 A與B、A與萬、區(qū)與

8、否也都 相互獨立.必然事件和不可能事件？匕任何事件都相互獨立.?與任何事件都互斥.多個事件的獨立性設(shè)ABCg三個事件,如果滿足兩兩獨立的條件,P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立.對于n個事件類似.(15)全 概公式設(shè)事件B1,B2,Bn滿足1.B1,B2, ,Bn 兩兩互/、相容,P(Bi) 0(i1,2,n),nABi2i 1 ,(分類討論的那么有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn).(16)貝 葉斯公式設(shè)

9、事件B B2,Bn及A滿足1 . B B2 ,Bn兩兩幺/、相容,P(Bi)>o, i 1, 2, n,n ABi2 ,P(A) 0,(已經(jīng)知道結(jié)果 求原因那么P(Bi)P(A/ Bi). . 0P(Bi / A) n, i=1 , 2, - noP(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即為貝葉斯公式.P(Bi),(i 1, 2,n),通常叫先驗概率.P(Bj/A), (1 1, 2,n),通常稱為后驗概率.貝葉斯公式反映了 “因果的概 率規(guī)律,并作出了 “由果朔因的推斷.(17)伯 努利概型我們作了 n次試驗,且滿足每次試驗只啟兩種可能結(jié)果, A發(fā)生或A不發(fā)生；3文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整

10、理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持n次試驗是重復(fù)進(jìn)行的,即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的,即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A 發(fā)生與否是立耳、影響的.這種試驗稱為伯努利概型,或稱為 n重伯努利試驗.用P表示每次試驗A發(fā)生的概率,那么A發(fā)生的概率為1 P q ,用Pn(k)表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k(.k n)次的概率,八、_kknk_Pn(k) CnPq , k 0,1,2, ,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1 )離 散型隨 機(jī)變量 的分布 律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個值的 概率,即事件(X=X)的概率

11、為P(X=x<)=pk, k=1,2,那么稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.有時也用分 布列的形式給出：X| X1,X2, ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk, o顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) Pk 0, k 1,2,(2) k 10(2)連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的分布 密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實 數(shù)X,有xF(x)f(x)dx那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù), 簡稱概率密度.密度函數(shù)具有卜間4個性質(zhì)：1 .f(x) 0.f (x)dx 12 o(3)離 散與連 續(xù)型隨 機(jī)變量

12、 的關(guān)系積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X xk) pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似.4文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(4)分 布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量,x是任意實數(shù),那么函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),本質(zhì)上是一個累積函數(shù).P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率.分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-3 x內(nèi)的概率.分布函數(shù)具肩如下性質(zhì)：1°0 F(x) 1,x;2F (x)是單調(diào)/、減的函數(shù),即X x2時,有F (x1) F(x2);3

13、6;F( ) lim F(x) 0,F( ) lim F(x) 1;xx4° F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5° P(X x) F(x) F(x 0).對于離散型隨機(jī)變量,F (x)pk ;xk xx對于連續(xù)型隨機(jī)變量,F (x) f (x)dx o(5)八 大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的概率為p.事件A 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量,設(shè)為 X ,那么X可能取值為 0,1,2, ,n0P(X k) Pn(k) C：pkqnk ,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,那么稱隨機(jī)變量X服從參

14、數(shù)為n , p的二項分布.記為X B(n, p).當(dāng) n 1 時,P(X k) pkq1 k , k 0.1 ,這就是(0-1 ) 分布,所以(0-1)分布是二項分布的特例.5文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!那么稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X - ()或者 P().泊松分布為二項分布的極限分布(np=X , n-oo).超幾何分 布隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布,記為H(n,N,M).幾何分布P(X k) qk 1 p

15、,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p.隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為G(p) o均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a , b內(nèi),其密度函數(shù)f (x)在 11a , b上為吊數(shù),即b a1.1 aw x< bf(X) b a,其他,u,那么稱隨機(jī)變量X在a , b上服從均勻分布,記為X-U(a, b).分布函數(shù)為0,x<a,xx aF(x)f(x)dx 1 b a,v當(dāng)a& x1 <x2< b時,X洛在區(qū)|可(x1, x2)內(nèi)的概率為x2xP(x1 X x2) 八 1.b a指數(shù)分布xf(x)e ,x 0,0其中0,那么稱01機(jī)變量X服從參數(shù)為的

16、指數(shù)分布.X的分布函數(shù)為x1 e ,x 0F(x) i .0必住積分公式：x<06文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為i(x Ff(x) -e 2,x,戶其中、.為常數(shù),那么稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、 的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為2X N( , 2).f(x)具肩如下性質(zhì)：1 .f(x)的圖形是關(guān)于x 對稱的；12 當(dāng)x 時,f( )為最大值；2萬假設(shè)xN(x,如X的分布函數(shù)為F (x)1 e 2 dtJ200參數(shù) 0、1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為XN(011),其密

17、度函數(shù)記為(x) TTe2x分布函數(shù)為1 x 二(x) -1 e 2 dt °J2(x)是不可求積函數(shù),具函數(shù)值,已編制成表可供查用. ,一 1(-x) = 1-(x)且 (0)= .X 2如果 X -N( , 2),那么N(0,1)oP(x X x2).(6)分 位數(shù)下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=.(7)函 數(shù)分布離散型X的分布列為Xx1, x2, xn,P(X Xi) p1, p2, Pn,Y g(X)的分布列(V g(xj立X相等)如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),P (丫),假設(shè)由某些9(總相產(chǎn)那么應(yīng)將近扁勺R相加作為g(xi)的 概率.7文檔來源為

18、：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù) F(y)= P(g(X) < y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出 fKy).第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合 分布離散型如果二維隨機(jī)向量(X, Y)的所有可能取值為至多可列個有序?qū)?x,y ),那么稱 為離散型隨機(jī)量.設(shè) =(X, Y)的所有可能取值為(xi,yj)(i,j 1,2,), 且事件=3,yj)的概率為pj,稱Xy1y2yx1P11P12P1x2P21P22P2jxiPi1為 =(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分

19、布律.聯(lián)合分 布有時也用下面的概率分布表來表示：這里pj具有下面兩個性質(zhì):(1) pj >0 (i,j=1,2,)；連續(xù)型(2) Pj1.對于二維隨機(jī)向量 (X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)( x , y ),使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有那么稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱為X和丫的聯(lián)合分布密度.分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) >0;(2) f(x, y)dxdy 1.8文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.

20、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量,對于任意實數(shù) x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù),或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域,以事件( 1, 2)lX( 1) x,Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù).分布函數(shù)F(x,y)具有以下的根本性質(zhì)：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的,即當(dāng) x2>x1 時,有 F (x2,y) > F(x 1,y);當(dāng) y2>y1 時,有 F(x,y 2)

21、 > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的,即(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 x x2, yy2,F(x2, y2) F(x2, y1)F(x1,y) F(x1,y1)0.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(Xx.pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pij(i,j1,2,).連續(xù)型x的邊緣分布.密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件 分布離散型在X=x的條件下,Y取值的條件分布為 在Y=y的條件下,X取值的條件分布為連續(xù)型在Y=y的條件下,X的條件分布密度為f

22、 (x, y)f(x|y) , ,力； fY(y)在X=x的條件下,Y的條件分布密度為(7)獨立一般型FF(X,Y)=F x(x)F Y(y)性離散型后零不獨立9文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(9)二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中1,2, 10,20,|1是5個參數(shù),那么稱(X, Y)服從二維正態(tài)分連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷,充要條件：可別離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布=0隨機(jī)變量的 函數(shù)假設(shè)X1,X2,為Xm+1,X相互獨立,h,g為連續(xù)函數(shù),那么：h (

23、X, X2,淘 和g (Xm+1,瑞)相互獨立.特例：假設(shè)X與丫獨立,那么：h (X)和g (Y)獨立.例如：假設(shè) X與Y獨立,那么：3X+1和5Y-2獨立.(8)二維 均勻分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中Sd為區(qū)域D的面積,那么稱(X, Y)服從D上的均勻分布,記為(X, Y)U (D).例如圖3.1、圖3.2和圖3.3 .布,記為X, YN 1,2,12,2,.由邊緣密度的計算公式,可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分 布,即 X NI ( 1, 2),Y N( 2, 2),但是假設(shè)XN( 1, ；),YN( 2, 2), (X, Y)未必是二維正態(tài)分布.10文檔來源

24、為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(10)函數(shù) 分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型,fZ(z) = f (x, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12, 122).n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合,仍服從正態(tài)分布. -2- 22Ci i ,Ci iZ=max,min(X1,X2,-Xn)假設(shè)X1,X2 Xn相互獨立,其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x),那么 Z=max,min(X 1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：2分布設(shè)n個隨機(jī)變量X1, X2,

25、 Xn相互獨立,且服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布,可以證實它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量 W艮從自由度為n的2分布,記為 M 2(n),其中所謂自由度是指獨立止態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù),它是隨機(jī)變量 分布中的一個重要參數(shù).2分布滿足可加性：設(shè)那么t分布設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,且可以證實函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布,記為Tt(n).F分布22設(shè)X (n)Y (皿),且X與丫獨立,可以證實 X小一一F '的概率,'度函數(shù)為Y/n2我們稱隨機(jī)變量F服從A個自由度為 m,第二個自由度為 n2 的F分布,記為 Ff(n 1, n 2).第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(

26、1)離散型連續(xù)型11文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其分布律為 P( X xk ) = p< ,k=1,2,n ,(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)力差D(X)=EX-E(X) 2,標(biāo)準(zhǔn)差(X) JD(X),矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k 階原點矩,記為Vk,即V k=E(Xk)=x： pi ,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 與E (

27、X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中央矩,記為k ,即 k=(XiE(X) Pi,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的 k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點 矩,記為Vk,即Y k=E(Xk)=xkf(x)dx,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與 E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階中央矩,記為 k,即=(x E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望 E (X)=小 方差D (X) =(/,那么對于 任意正數(shù)£ ,后卜列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下,對概率的一種估計,它在理論上啟重要忌義.期望 的性 質(zhì)(1

28、) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(gXi)CiE(Xi)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分條件：X和 Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān).(3) 方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y 獨立；充要條件：X和Y不相關(guān).D(X±Y)=D(X)+D(Y

29、) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立.而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立.12文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(4)常見 分布 的期 望和 力差期望力差0-1 分布 B(1, p)P二項分布B(n, p)np泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U (a,b)指數(shù)分布e()正態(tài)分布N( , 2)n2nt分布0- (n>2)n 2二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望函數(shù)的期望EG(X,Y) =EG(X,Y)=力差協(xié)力差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合

30、中央矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩,記為XY或cov(X,Y),即與記號 xy相對應(yīng),X與Y的方差D(X)與D (Y)也可分別記為xx與y YY.13文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量 X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,那么稱為X與丫的相關(guān)系數(shù),記作xy (有時可簡記為).| 心1,當(dāng)|=1時,稱X與丫完全相關(guān)：P(X aY b) 1正相關(guān),當(dāng)1時(a 0),完全相關(guān) 一、,;負(fù)相關(guān),當(dāng)1時(a 0),而當(dāng)0時,稱X與丫不相關(guān).以卜五個命題是等價的： XY0 ； cov(X,Y

31、)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在,那么稱之為 X與丫的k+l階混合原點矩,記為 ki ; k+l階混合中央矩記為：(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨立 和不 相關(guān)(i)假設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨立,那么XY 0；反之不真

32、.(ii )假設(shè)(X, Y) -N ( 1, 2, 2,2,),那么X與丫相互獨立的充要條件是 X和Y不相關(guān).第五章大數(shù)定律和中央極限定理(1)大數(shù)定律切比雪 夫大數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,相互獨立,均具有有限方差,且被同一 常數(shù)C所界：D (X) <C(i=1,2,),那么對于任意的正數(shù)£ ,有定律特殊情形：假設(shè)X, X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (Xi)=科, 那么上式成為伯努利設(shè)科是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在大定每次試驗中發(fā)生的概率,那么對于任意的正數(shù)£,有律伯努利大數(shù)定律說明,當(dāng)試驗次數(shù)n很大時,事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小

33、,即 這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性.辛欽大設(shè)X, X ,Xn,是相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列,且E數(shù)定律(X)二科,那么對于任意的正數(shù)e有14文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(2)中央極限定 理列維 林德伯 格定理設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨立,服從同一分布,且具有 相 同的 數(shù)學(xué)期望和 方 差：E(Xk),D(Xk)20(k1,2,),那么隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意白實數(shù)X,有 此定理也稱為獨立同分布的中央極限定理.棣莫弗 -拉普 拉斯定 理設(shè)隨機(jī)變里 Xn為具后參數(shù) n, p(0<p<

34、1)的一項分布,那么對于任意實數(shù)X,有(3)二項定理假設(shè)當(dāng)N時,一p(n,k/、父),那么N超幾何分布的極限分布為二項分布.(4)泊松定理假設(shè)當(dāng)n時,np0,那么其中k=0, 1, 2,n,.二項分布的極限分布為泊松分布.第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中,常把被考察對象的某一個(或多個)指標(biāo)的全 體稱為總體(或母體).我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機(jī)變量(或隨機(jī)向量).個體總體中的每一個單元稱為樣品(或個體).樣本我們把從總體中抽取的局部樣品X1, x2, ,xn稱為樣本.樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量,一般用n表示.在一般情況下,總是把樣本看成是 n個相

35、互獨立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量,這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.在泛指任一次抽取的結(jié)果時,x1,x2, ,xn表小n個隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后,x1,x2, , xn表示n個具體的數(shù)值(樣本值).我們稱之為樣本的兩重性.樣本函數(shù)和 統(tǒng)計量設(shè)X1, x2, ,xn為總體的一個樣本,稱(X1,X2, A )為樣本函數(shù),其中為一個連續(xù)函數(shù).如果中不包含任何未知參數(shù),那么稱(X1, x2, , xn)為一個統(tǒng)計量.15文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持常見統(tǒng)計量 及其性質(zhì)1 n 樣本均值x Xi.n i i樣本力

36、差1 n_S2-(Xix)2.n 1 i i樣本標(biāo)準(zhǔn)差S(xi x)2.樣本k階原點矩樣本k階中央矩2E(X) , D(X) 一, nE(S2)2, E(S*2) U 2,n1 n其中S*2 (Xi X)2,為二階中央矩.n i i(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布、一 一,2、設(shè)xi,x2, ,xn為來自止態(tài)總體 N(,)的一個樣本,那么樣本函數(shù)t分布設(shè)xi,x2, ,xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本,那么樣本函數(shù)其中t(n-i)表示自由度為 n-i的t分布.2設(shè)xi,x2, ,xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本,那么樣本函數(shù)其中2(n i)表示自由度為n-i的2分

37、布.F分布設(shè)x1,x2, ,xn為來自止態(tài)總體 N(,1)的一個樣本,而 1,2、yi,y2, ,yn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本,那么樣本函數(shù)其中F(ni 1, n2 1)表示第一自由度為 ni 1 ,第二自由度為n2 1的F分布.16文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持(3)正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì). 一 2 X與S獨立.第七章參數(shù)估計(1)點矩倩計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m,那么其分布函數(shù)可以表成一 .一 、 一 ,_. 一.k> ,F(x; 1, 2, m),它的 k 階原點矩

38、vk E(X )(k 1,2, m)中也包含了未知參數(shù)1, 2, m,即Vk Vk( 1, 2, m).又設(shè)x1, x2, , xn為總體X的n個樣本值,其樣本的 k階原點矩為這樣,我們根據(jù)“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時,總體矩等于相應(yīng)的樣本矩 的原那么建立方程,即有由上面的m個方程中,解出的 m個未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù)(1,2, m)的矩估計量.假設(shè) 為 的矩估計,g(x)為連續(xù)函數(shù),那么g(3為g()的矩估計.極大似 然倩計當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量時,設(shè)其分布密度為f (x； 1 , 2 , m),其中1 , 2, m為未知參數(shù).又設(shè)x1 ,x2, ,xn為總體的一個樣本,稱為樣

39、本的似然函數(shù),簡記為Ln.當(dāng)總體 X為離型隨機(jī)變量時,設(shè)其分布律為PX x P(x； 1,2, m),那么稱為樣本的似然函數(shù).假設(shè)似然函數(shù) L(x1,x2, ,xn； 1, 2, , m)在 1, 2, , m 處取到最大值,那么稱1, 2, , m分別為1, 2, , m的最大似然估計值,相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量.假設(shè) 為 的極大似然估計,g(x)為單調(diào)函數(shù),那么9(?)為9()的極大 似然情計.17文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理,word版本可編輯.歡送下載支持估 計量的 評選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)(Xi,X2, ,Xn)為未知參數(shù)的估計重.右E (

40、)=,那么稱為的無偏估計量.E ( X ) =E (X), E 冶)=D (X)后效性設(shè) i i(x1, X,2 , Xn)和22(X1, X,2 , ,Xn)M7H®參數(shù)的兩個無偏估計量.假設(shè) D( i)D( 2),那么稱 1比2有效.一性設(shè)n是 的一串估計量,如果對于任意的正數(shù),都有那么稱n為的一致估計量(或相合估計量).假設(shè) 為 的無偏估計,且 D(30(n),那么 為 的一致估計.只要總體的 E(X)和D(X)存在,一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量.(3)區(qū)置信區(qū)設(shè)總體X含有一個待估的未知參婁1.如果我們從樣本X1,X,2 , , Xn出間情計間和置信度發(fā),找出兩個統(tǒng)甘里11(X1,X,2 , Xn )與22 (X1 > X> 2 >, Xn ) ( 12),使得區(qū)間1, 2以1(01)的