高等幾何試題及答案

1、 系 專業(yè) 班 學(xué)號 姓名 密封線試卷類型： A 高等幾何 使用專業(yè)年級 考試方式：開卷（ ）閉卷（） 共 6 頁題號一二三四五六合計得分填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)(1)，(-1)，()為共線三點(diǎn)，則 。2、寫出德薩格定理的對偶命題： 。3、若共點(diǎn)四直線a,b,c,d的交比為(ab,cd)=-1，則交比(ad,bc)=_。4、平面上4個變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為： 。5、二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為，則其線坐標(biāo)方程為是 。選擇題（每小題2分，共10分）1.下列哪個圖形是仿射不變圖形？( )A.圓B.直角三角形C.矩形D.平行四邊形2. 表示( )A.以-1/4為方向

2、的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)B. 以-4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)C. 以4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)D. 以1/4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3.兩個不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由幾次透視對應(yīng)組成？( )A.一次B.兩次C.三次D.四次4.下面的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有( )：A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面內(nèi)無三線共點(diǎn)的四條直線有六個交點(diǎn) D.橢圓5.二次曲線按射影分類總共可分為( )A.4類B.5類C.6類D.8類三、判斷題（每小題2分，共10分）1.仿射對應(yīng)不一定保持二直線的平行性。（ ）2.兩直線能把射影平面分

3、成兩個區(qū)域。（ ）3.當(dāng)正負(fù)號任意選取時，齊次坐標(biāo)表示兩個相異的點(diǎn)。（ ）4. 在一維射影變換中，若已知一對對應(yīng)元素(非自對應(yīng)元素)符合對合條件，則此射影變換一定是對合。（ ）5.配極變換是一種非奇線性對應(yīng)。（ ）密封線四、作圖題（8分）已知線束中三直線a,b,c，求作直線d，使(ab,cd)=-1。（畫圖，寫出作法過程和根據(jù)）五、證明題（10分）如圖，設(shè)FGH是完全四點(diǎn)形ABCD對邊三點(diǎn)形，過F的兩直線TQ與SP分別交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.試?yán)玫滤_格定理（或逆定理）證明： TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。六、計算題（42分）1. （6分）平面上經(jīng)過A（-3，2）和B（6，

4、1）兩點(diǎn)的直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求單比(ABP) 2. （6分）已知仿射平面上直線l的非齊次坐標(biāo)方程為x-2y+1=0，求（1）l的齊次坐標(biāo)方程；（2）l上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）l上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程。 密封線3. (8分)在直線上取笛氏坐標(biāo)為 2，0，3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,P0, E，(i)求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)的關(guān)系；（ii）問有沒有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？4. （8分）求點(diǎn)列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點(diǎn)，并求出此射影變換的自對應(yīng)元素的參數(shù)。5. (6分)求由兩個射影線束，所構(gòu)成的二階曲線的方程。6. (8分) 試求

5、二次曲線：+2x1x3-4x2x3=0的中心與漸近線。密封線填空題（每小題4分，共20分）1（4分） 如果兩個三線形對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上，則對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。（4分）2（4分）射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）（4分）選擇題（每小題2分，共10分）1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 判斷題（每小題2分，共10分）1.( ×),2.( ),3.( ×),4.( ),5.( )作圖題（8分） 第1頁共4頁作法過程：1、設(shè)a,b,c交于點(diǎn)A，在c上任取一點(diǎn)C, （2分）2、過C點(diǎn)作兩直線分別與a交于B、E，與b交

6、于F，D，（2分）3、BD與EF交于G,4、AG即為所求的d。（2分）根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軛性（2分）證明題（10分）證明： 在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中（4分）對應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD,TQ,SP三線共點(diǎn)，（2分）由德薩格定理的逆定理知，（2分）對應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G，TS與QP的交點(diǎn)M以及BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線，即TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。（2分）六、計算題（42分）（6分）解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，yo）（分割比）， （2分） 且P在直線x+3y-6=0上， 解得=1， （2分）即P是AB中點(diǎn)，且（ABP）=1 （2分）密封線（6分）（1） （2分）（2）（1，1/2，

7、0） （2分）（3） （2分） (8分)解：笛氏坐標(biāo) 0 2 3 x 射影坐標(biāo)： P* P0 E （i）由定義 =（P*P0，EP）=（2 0，3x）= （4分）(ii) 若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即x=則有，即3x27x=0，當(dāng)x=0及x=時兩種坐標(biāo)相等。 （4分）（8分）設(shè)射影變換的方程為： （2分）由題意知：a+, ,6a+3b+2c+d=0 得到：故射影變換方程為： （4分）二重元素滿足： 得=7/3或=1 （2分）（6分）解：由題意： （2分）由上式得： （2分）故所求方程即為（2分）6.(8分)解：二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x2-4x22+2x1x310x2x3=0，二次曲線為常態(tài)的，設(shè)中心 則中心為 （4分）求漸近線方程：a11X2+2a12XY+a