彈塑性力學(xué)習(xí)題集

1、第二章應(yīng)力例1如圖所示,例題求在1 2e11 2e211m 21n 31T212m 22n 3212121213n 33NT1lT2mT3n2(24Us 0 u0(1)x 0,s 0vs 0 y5(2)x a, l 1, m 0面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力X 0,Y 0l( x)s m( xy)sX4)e31 021 2 22xy)sm( y)sl(xsxys (4)2 2)1 02120,5_2一2 一2 5 27 2 222h,xy s0,m0,Yxy1)xy s1)00, xy s,1_”12 + 優(yōu)+丁33 N 五產(chǎn) 48 21)xy s1)0q,xy s胡2如圖所示的楔形體受水壓力作

2、用，水的容重為解：在x=0上，l =(x )x=01)+( yx)x=0 0 = 丫(xy)x=01)+(y)x=0 0 = 0(x)x=0=(xy)x=0在斜邊上l= cos ,m = sinx cosyxsin,試寫出邊界條件。xyCOsysin = 0第四章本構(gòu)關(guān)系例.一薄壁圓管，平均半徑為R,壁厚為t,受內(nèi)壓p作用，討論下列兩種情(1)管的兩端是自由的;況:應(yīng)力狀態(tài)為，z=0,= pR/t=0zr rz=0(1)管的兩端是自由的;(2)管的兩端是封閉的；分別使用Mises和Tresca服條件,討論p多大時(shí)管子開始屈服(規(guī)定 純剪時(shí)兩種屈服條件重合)1J2= 6 ( Z r)2+( r)

3、2+(z)2+6(22z )解：將Mises和Tresc井的材料常數(shù).和&都使用純剪時(shí)的屈服極限表示,并使得兩種屈服條件重合,則有Mises服條件：J2 =Tresca服條件：13=2 s121262(PR/t)2= 3(PR/t)21 3= pR/t對(duì)于Mises屈服條件：J 2 =k；s2st/R對(duì)于 Tresca 服條件：13=k1=2 sp=2 st/R(2)管段的兩端是封閉的;應(yīng)力狀態(tài)為，z=pR/2t,= pR/t r=0, zr= r = z=0113_J2= 1 ( z 戶(r)2+(J+6( ；2 2z )= 1 3 (Pt)266 213= PR/t對(duì)于Mises屈服條件：

4、p = 2 st/R對(duì)于Tresc齷服條彳p = 2 st/R例.一種材料在二維主應(yīng)力空間中進(jìn)行試驗(yàn)，所得屈服時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為(1,2)=(3t, t),假定此材料為各向同性，與靜水壓力無關(guān)且拉壓屈服應(yīng)力相等。(1)由上述條件推斷在1 2空間中的各屈服點(diǎn)應(yīng)力。(2)證明Mises屈服條件在1 2空間中的曲線通過(a)中所有點(diǎn)。解：由于靜水壓力無關(guān)的條件得出屈服在以下各點(diǎn)會(huì)發(fā)生：(1，2，3) = (3t, t, 0)+( 3t, 3t,3t)=(0, 2t, 3t)(1， 2， 3) = (3t , t, 0)+ ( t, t, t)= (2t, 0, t)再由于各向同性的條件，很容易看出 1

5、2空間中的以下五個(gè)應(yīng)力點(diǎn)也是屈服點(diǎn)A 2：(1,2，3) = (t, 3t, 0)B1:(1,2，3) = ( 3t, 2t, 0)B2：(1,2，3) = ( 2t, 3t, 0)*(1，2，3) = (2t, t, 0)C2：(1,2，3) = ( t, 2t, 0)還有，由于拉壓屈服應(yīng)力相等，因而可得到1 2空間中的另外六個(gè)應(yīng)力屈服點(diǎn)A3：(12，3)= ( 3t, t, 0)A4：(12，3)= ( t, 3t, 0)B3：(1,2，3) = (3t, 2t, 0)B4：(1,2，3) = (2t, 3t, 0)C3：(1,2，3) = ( 2t, t, 0)C4：(1,2，3) =

6、3 2t, 0)因此，根據(jù)這些點(diǎn)的數(shù)據(jù)，可以作出在1 2空間中的屈服面。容易證明Mises屈服條彳221 22 7t2通過以上所有屈服點(diǎn)討論：設(shè)已知三桿桁架如圖1,18所示，三根桿晌截面枳都相同，并有F = h桿件是由彈望佳線性蜜化材耨所制成的.在市點(diǎn)。受 到里向力P的作用，以表示節(jié)點(diǎn)D的水平(向右為正)和 豎直(向下為正)位移，加、片表示1桿.桿的總伸長(zhǎng)口排皿F止h h-平衡方程為：h12P此,s時(shí);1(1P N1 2N2cos30 ( 13 2)幾何關(guān)系為：1v,.322 v,vh3 v 34 h 4本構(gòu)方程為EiE彈性解：當(dāng)P足夠小時(shí)，三桿均處于彈 性狀態(tài)，應(yīng)力與應(yīng)變成比例.由于 231

7、 故 2 9 1443 3P ( 13 2)1(1)4因?yàn)?2所以12,彈塑性解：1 s,2 s，PP1由基本方程可得hh333J3PP E1 1 s(1 旨 2E 2 cos30。桿1最先到達(dá)塑性狀態(tài)，當(dāng)1s時(shí)，1 sh于是桁架開始出現(xiàn)塑性變形的載荷為P s(1 32)P1稱為彈性極限載荷.4Ev E1 3 3E1(- ) (I -)h E 4 E當(dāng) 2s時(shí)，即24 hs時(shí),桁架全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的載荷為P2 E1 1 s(1 E)2 scos30s(1塑性解：1 s,2 s, PP2由基本方程可得P3E1 1 (1E1) s 畫 E1 2 (1E：V(13:)(1E1)(13) sh

8、4 E在P由零逐漸增加(單調(diào)加載)的 過程中，桁架變形可以分為三個(gè)不 同的階段E1)E1V h彈性階段彈能桂階段E/PwPt霍性階段尸 看在彈塑性階段，1桿雖然進(jìn)入塑性狀態(tài)，但由于其余兩桿仍處于彈性階段，1桿的塑性變形受到限制,整個(gè)桁架的變形仍限制在彈性變形的量級(jí)，這個(gè)階 段可稱為約束的塑性變形階段.在塑性階段，三桿 都進(jìn)入塑性狀態(tài)，桁架的變形大于彈性變形量 級(jí).一般說來，所有的彈塑性結(jié)構(gòu)在外力的作用下，都會(huì)有這樣三個(gè)變形的階段.CF例一薄壁圓管同時(shí)受拉，扭和內(nèi)壓作用，有應(yīng)力分量Z，泊松比1十一，求:2(1)當(dāng)應(yīng)力分量之間保持z 23 z比例從零開始加載，問 Z多大時(shí)開始進(jìn)入屈服?(2)開始屈

9、服后，繼續(xù)給以應(yīng)力增量，滿足 d z 0及d z 2d .求對(duì)應(yīng)的d z及d 值.分別對(duì)Mises和Tresca兩種屈服條件進(jìn)行分析.Mises :屈服準(zhǔn)則為f13 z代入上式得到0s屈服后，增量本構(gòu)關(guān)系為:6嘰一$甌d/：=pdA(2tf rid。*一萬d網(wǎng)dw產(chǎn)手-孤)由= 得芹號(hào)，又屈服條件的微分形式為（2療事4邛）4。 +（2仃中一小）dqan x Encos1En cosi n由于常數(shù)n x , cos dx2q n _一 sinaE0,G0,En,Gn的存在，該問題可理解為上、下分別作用均布載荷lcosm_x,并在區(qū)間 l.x m x .cosdxl l，、 m x、q(x) co

10、sdx所以可換成sh ,ch(nch ntntntsh ntnsh ntsh ntntch ntl,lE0 G0;再加上后面的三角級(jí)數(shù)所表示的載荷于是，可以分別計(jì)算每一部分載荷所產(chǎn)生的應(yīng)力，然后再疊加。對(duì)于上、下面作用均布?jí)嚎s載荷(m n)l Em (m n)x xy 0,而En2q . n sin a,n ，于是得Enn x ,q( x) cosdx所以式（7）中的常數(shù)可全部確定,力分量，再加上式x xy 0,力，即得梁總的應(yīng)力分量計(jì)算式。qa 4qy 7 一sinchBnAnDn將式na則可得CnEn-2 nsh ntntch nt(9)sh2 nt 2 nt2Ennsh nt2 sh2 nt 2 nt代入式（7）,即得相應(yīng)的應(yīng)史中由均布載荷而產(chǎn)生的應(yīng) ly的表達(dá)式為n 1 n(sh2 nt 2 nt)(sh ntntCh nt)Chnynysh n tsh nycos nx更，相應(yīng)的應(yīng)力分量為lGnqal2q 一、n _