概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

1、第七章假設(shè)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念小概率原理；掌握假設(shè)檢驗(yàn)的方法和步 驟。能力目標(biāo)：能夠作正態(tài)總體均值、比例的假設(shè)檢驗(yàn)和兩個(gè)正態(tài)總體的均值、 比例之差的假設(shè)檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩種形式， 它們都是利用樣本 對(duì)總體進(jìn)行某種推斷，然而推斷的角度不同。參數(shù)估計(jì)是通過樣本統(tǒng) 計(jì)量來推斷總體未知參數(shù)的取值范圍， 以及作出結(jié)論的可靠程度，總 體參數(shù)在估計(jì)前是未知的。而在假設(shè)檢驗(yàn)中，則是預(yù)先對(duì)總體參數(shù)的 取值提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否成立， 如果 成立，我們就接受這個(gè)假設(shè)，如果不成立就拒絕原假設(shè)。當(dāng)然由于樣 本的隨機(jī)性，這種推斷只能具有一定的可靠性。

2、本章介紹假設(shè)檢驗(yàn)的 基本概念，以及假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟，然后重點(diǎn)介紹常用的參數(shù)檢驗(yàn) 方法。由于篇幅的限制，非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)在這里就不作介紹了。第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問題關(guān)鍵詞：參數(shù)假設(shè)；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；接受域與拒絕域；假設(shè)檢驗(yàn)的 兩類錯(cuò)誤一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念(一)原假設(shè)和備擇假設(shè)為了對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，不妨先看下面的例子。例 某廠生產(chǎn)一種日光燈管，其壽命X服從正態(tài)分布N( , 2002), 從過去的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)看，燈管的平均壽命為1550小時(shí)，?，F(xiàn)在采用新工藝后，在所生產(chǎn)的新燈管中抽取25只，測(cè)其平均壽命為1650小時(shí)。 問采用新工藝后，燈管的壽命是否有顯著提高這是一個(gè)均值的檢驗(yàn)問 題。

3、燈管的壽命有沒有顯著變化呢這有兩種可能：一種是沒有什么變 化。即新工藝對(duì)均值沒有影響，采用新工藝后，X仍然服從 N(1550, 2002)。另一種情況可能是，新工藝的確使均值發(fā)生了顯著性 變化。這樣，X 1650和0 1550之間的差異就只能認(rèn)為是采用新工 藝的關(guān)系。究竟是哪種情況與實(shí)際情況相符合，這需要作檢驗(yàn)。假如 給定顯著性水平0.05。在上面的例子中，我們可以把涉及到的兩種情況用統(tǒng)計(jì)假設(shè)的形式表示出來。第一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)1550表示采用新工藝后燈管的平均壽命沒有顯著性提高。第二個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)1550表示采用新工藝后燈管的平均壽命有顯著性提高。這第一個(gè)假設(shè)稱為原假設(shè)（或零假設(shè)）， 記為H。：155

4、0 ;第二個(gè)假設(shè)1550稱為備擇假設(shè)，記為 Hi ：1550。至于在兩個(gè)假設(shè)中，采用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為 備擇假設(shè)，要看具體的研究目的和要求而定。 假如我們的目的是希望 從子樣觀察值對(duì)某一陳述取得強(qiáng)有力的支持，則把該陳述的否定作為原假設(shè)，該陳述本身作為備擇假設(shè)。譬如在上例中，我們的目的當(dāng)然 是希望新工藝對(duì)產(chǎn)品壽命確有提高，但又沒有更多的數(shù)據(jù)可以掌握。 為此，我們?nèi)　皦勖鼪]有顯著性提高（1550）”作原假設(shè)，而以“壽 命有顯著性提高（1550）”作為備擇假設(shè)。（二）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量假設(shè)檢驗(yàn)問題的一般提法是：在給定備擇假設(shè)也下對(duì)原假設(shè)H0作出判斷，若拒絕原假設(shè)H。，那就意味著接受備擇假設(shè)乩，否則

5、就 接受原假設(shè)H。在拒絕原假設(shè)H?；蚪邮軅鋼窦僭O(shè)H1之間作出某種判 斷，必須要從子樣（XX2，,Xn）出發(fā)，制定一個(gè)法則，一旦子樣 （x，X2, ,xn）的觀察值確定之后，利用我們制定的法則作出判斷：拒絕 原假設(shè)H。還是接受原假設(shè)H。那么檢驗(yàn)法則是什么呢它應(yīng)該是定義 在子樣空間上的一個(gè)函數(shù)為依據(jù)所構(gòu)造的一個(gè)準(zhǔn)則，這個(gè)函數(shù)一般稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。如上面列舉的原假設(shè)Ho： o（ o 1550）,那么子樣 均值X就可以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，有時(shí)還可以根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布進(jìn) 一步加工，如子樣均值服從正態(tài)分布時(shí)將其標(biāo)準(zhǔn)化，Z 作為/. n 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱 Z檢驗(yàn)量?；蛘咴诳傮w方差2未知的條件下，t作為檢驗(yàn)量，稱

6、為t檢驗(yàn)量。Sn /、n（三）接受域和拒絕域假設(shè)檢驗(yàn)中接受或者拒絕原假設(shè) H o的依據(jù)是假設(shè)檢驗(yàn)的小概率 原理。所謂小概率原理，是指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中 幾乎是不可能發(fā)生的，根據(jù)這一原理就可以作出接受或是拒絕原假設(shè) 的決定。如，一家廠商聲稱其某種產(chǎn)品的合格率很高，可以達(dá)到99%,那么從一批產(chǎn)品（如100件）中隨機(jī)抽取一件，這一件恰好是次 品的概率就非常之小，只有1%。如果把廠商的宣稱，即產(chǎn)品的次品 率僅為1 %作為一種假設(shè)，并且是真的。那么由小概率原理，隨機(jī)抽 取一件是次品的情形就幾乎是不可能發(fā)生的。 如果這種情形居然發(fā)生 了，這就不能不使人們懷疑原來的假設(shè)，即產(chǎn)品的次品率僅為1

7、%的假設(shè)的正確性，這時(shí)就可以作出原假設(shè)為偽的判斷，于是否定原假設(shè)。接受域和拒絕域是在給定的顯著性水平 下，由檢驗(yàn)法則所劃分 的樣本空間的兩個(gè)互不相交的區(qū)域。原假設(shè) H 0為真時(shí)的可以接受的 可能范圍稱為接受域，另一區(qū)域是當(dāng)原假設(shè) Ho為真時(shí)只有很小的概率發(fā)生，如果小概率事件確實(shí)發(fā)生，就要拒絕原假設(shè)，這一區(qū)域稱為 拒絕域（或否定域）。落入拒絕域是個(gè)小概率事件，一旦落入拒絕域， 就要拒絕原假設(shè)而接受備擇假設(shè)。那么應(yīng)該確定多大的概率算作小概 率呢這要根據(jù)不同的目的和要求而定，一般選擇0.05或者0.01 ,通常用 表示。它說明用多大的小概率來檢驗(yàn)原假設(shè)。顯然 愈小愈不容 易推翻原假設(shè)，而一旦拒絕原假

8、設(shè)，原假設(shè)為真的可能性就越小。所 以在作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)通常要事先給定顯著性水平.（1 稱為置信水平）。圖7-1所示Z檢驗(yàn)時(shí)的拒絕域和接受域。拒絕域； 接麥域 | 拒絕城一-r7.12檢瞼接受域與拒絕域（四）假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤由前面已知，假設(shè)檢驗(yàn)是在子樣觀察值確定之后， 根據(jù)小概率原 理進(jìn)行推斷的，由于樣本的隨機(jī)性，這種推斷不可能有絕對(duì)的把握， 不免要犯錯(cuò)誤。所犯錯(cuò)誤的類型有兩類：一類錯(cuò)誤是原假設(shè)H0為真時(shí)卻被拒絕了。這類錯(cuò)誤稱為棄真錯(cuò)誤，犯這種錯(cuò)誤的概率用 表示, 所以也叫 錯(cuò)誤或第一類錯(cuò)誤。另一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H。為偽時(shí)，卻 被人們接受而犯了錯(cuò)誤。這是一種取偽的錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤發(fā)生的概率 用 表

9、示，故也稱 錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤。在廠家出售產(chǎn)品給消費(fèi)者時(shí)， 通常要經(jīng)過產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)，生產(chǎn)廠家總是假定產(chǎn)品是合格的，但檢驗(yàn) 時(shí)廠家總要承擔(dān)把合格產(chǎn)品誤檢為不合格產(chǎn)品的某些風(fēng)險(xiǎn)， 生產(chǎn)者承 擔(dān)這些風(fēng)險(xiǎn)的概率就是 ，所以 也稱為生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)。而在消費(fèi)者一 方卻耽心把不合格產(chǎn)品誤檢為合格品而被接受，這是消費(fèi)者承擔(dān)的某 些風(fēng)險(xiǎn)，其概率就是 ，因此第二類錯(cuò)誤 也稱為消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)。正確 的決策和犯錯(cuò)誤的概率可以歸納為表。自然，人們希望犯這兩類錯(cuò)誤的概率愈小愈好。 但對(duì)于一定的子 樣容量n ,不可能同時(shí)做到犯這兩類錯(cuò)誤的概率都很小。通常的假設(shè) 檢驗(yàn)只規(guī)定第一類錯(cuò)誤，即顯著性水平，而不考慮第二類錯(cuò)誤，并稱這樣的檢驗(yàn)為

10、顯著性檢驗(yàn)。表 假設(shè)檢驗(yàn)中各種可能結(jié)果的概率接受Ho拒絕H o ,接受H iH0為真1（正確決策）（棄真錯(cuò)誤）Ho為偽（取偽錯(cuò)誤）1（正確決策）（五）雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)根據(jù)假設(shè)的形式，可以把檢驗(yàn)分為雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)， 單邊檢驗(yàn)又進(jìn)一步分為右檢驗(yàn)和左檢驗(yàn)。1、雙邊檢驗(yàn)例如,檢驗(yàn)的形式為:Ho :Hi ：由于我們?cè)谶@里提出的原假設(shè)是等于某一數(shù)值°,所以只要°或°二者之中有一個(gè)成立，就可以否定原假設(shè)，這種假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙邊檢驗(yàn)，它的拒絕域分為兩個(gè)部分，有兩個(gè)臨界值，在給定顯著性水平 下，每個(gè)拒絕域的面積為 /2。雙邊檢驗(yàn)如圖所示。兩類錯(cuò)誤色與產(chǎn)2、單邊檢驗(yàn)在有些情況下，

11、我們關(guān)心的假設(shè)問題帶有方向性。例如產(chǎn)品的次 品率則要求愈低愈好，它不能高于某一指標(biāo)，當(dāng)高于某一指標(biāo)，就要 拒絕原假設(shè)，這就是單邊檢驗(yàn)。這時(shí)拒絕域的圖形在右側(cè)，就稱作單邊右檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的形式可以寫為:Ho ：0 ,H1 ：0。又例如，燈管的使用壽命，藥物的有效成分這類產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)是 愈高愈好，它不能低于某一標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)?shù)陀谀骋粯?biāo)準(zhǔn)時(shí)就要拒絕原假設(shè), 這時(shí)拒絕域的圖形在左側(cè)，就稱為單邊左檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的形式為：H"二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟一個(gè)完整的假設(shè)檢驗(yàn)過程，一般包括五個(gè)主要步驟:（一）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)確定是雙邊檢驗(yàn)還是單邊檢驗(yàn)，例如雙邊檢驗(yàn)為:H 0 ：0,H1 ：0o單邊左檢驗(yàn)為：H O

12、：0,H1 ：0。單邊右檢驗(yàn)為：H 0 ：0,H i ：0。(二)建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是假設(shè)檢驗(yàn)的重要步驟。譬如上例中，在總體X 服從正態(tài)分布N( , 2002)的假定下，當(dāng)原假設(shè)H。：1550成立時(shí)，建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z X 1550 ,那么Z就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)o200 / . n在具體問題里，選擇什么統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量， 需要考慮的因 素與參數(shù)估計(jì)相同。例如，用于進(jìn)行檢驗(yàn)的樣本是大樣本還是小樣本， 總體方差是已知還是未知等等，在不同條件下應(yīng)選擇不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量。(三)規(guī)定顯著性水平，確定H。的拒絕域例如，當(dāng)原假設(shè)H。：°成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(

13、0, 1),那么給定顯著性水平(01),按雙邊檢驗(yàn)，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查得臨界值z(mì)PZ z 或者P z Z z 12萬若由子樣(Xi,X2, ,Xn)的一組觀察值(Xl,X2, ,xn)算得統(tǒng)計(jì)量Z的值z(mì)落在(，z )或(z ,)時(shí)，則拒絕或否定Ho, ( , z )及(z ,) 5萬1?組成Ho的拒絕域，稱z_為臨界值。2(四)計(jì)算實(shí)際檢驗(yàn)量在例中,1650 1550200/ . 252.5o(五)判斷將實(shí)際檢驗(yàn)量的數(shù)值與臨界值比較，以確定接受或拒絕H。在本例中，zU0.05 1.645。實(shí)際檢驗(yàn)量U之值大于臨界值1.645,即落入拒絕域，故拒絕H。：1550,接受假設(shè)Hi ：1550,即可

14、認(rèn)為采用新工藝后日光燈管的平均壽命有顯著性提高第二節(jié)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)關(guān)鍵詞：總體均值的檢驗(yàn)；總體比例的檢驗(yàn)；單邊右檢驗(yàn)；單邊 左檢驗(yàn)；兩個(gè)總體均值之差；兩個(gè)總體比例之差一、一個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)(一)總體均值的檢驗(yàn)1、正態(tài)總體且方差 2已知例 某廠生產(chǎn)一種耐高溫的零件，根據(jù)質(zhì)量管理資料，在以往一 段時(shí)間里，零件抗熱的平均溫度是 12500c ,零件抗熱溫度的標(biāo)準(zhǔn)差 是1500co在最近生產(chǎn)的一批零件中，隨機(jī)測(cè)試了 100個(gè)零件，其平 均抗熱溫度為1200°。該廠能否認(rèn)為最近生產(chǎn)的這批零件仍然符合產(chǎn) 品質(zhì)量要求，而承擔(dān)的生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)為。解：從題意分析知道，該廠檢驗(yàn)的目的是希望這批零件的

15、抗熱溫 度高于12500C,而低于12500C的應(yīng)予拒絕，因此這是一個(gè)左邊檢驗(yàn) 問題。(1)提出假設(shè)：H。：1250,Hi ：1250 。(2)建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:(3 )根據(jù)給定的顯著性水平 0.05 ,查表得臨界值Zo.051.645 ,因此拒絕域?yàn)?,1.645)。(4)計(jì)算檢驗(yàn)量的數(shù)值3.33OX 01200 1250/ . n 150/ .100(5)因?yàn)?.33 ( , 1.645),落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)或接受備擇假設(shè)，認(rèn)為最近生產(chǎn)的這批零件的抗高溫性能低于12500C,不能認(rèn)為產(chǎn)品符合質(zhì)量要求。2、大樣本，總體分布和總體方差2未知在大樣本的條件下，不論總體是否服從正態(tài)分布，由中

16、心極限2定理可知，樣本均值X近似服從正態(tài)分布N(,一),(為總體均值, n2為總體方差，n為樣本容量)?？傮w方差未知時(shí)，可用大樣本方差nS：1 (Xi X)2代替總體方差2來估計(jì)。所以總體均值的檢驗(yàn)量 n 1 i 1為：Sni/<n o例 某閥門廠的零件需要鉆孔，要求孔徑10cm,孔徑過大過小的 零件都不合格。為了測(cè)試鉆孔機(jī)是否正常，隨機(jī)抽取了 100件鉆孔的 零件進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得X 9.6cm, s 1cm。給定 0.05,檢驗(yàn)鉆孔機(jī)的 操作是否正常。解：從題意可知，這是一個(gè)總體均值的雙邊檢驗(yàn)問題(1)提出假設(shè)：H0 :10, Hi :10(2)建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:X 0Sn 1 / - n

17、(3)由給定的顯著性水平0.05 ,查表得臨界值 z /21.96 ,因此拒絕域?yàn)?，1.96)及(1.96,)。7 4 單邊右檢驗(yàn).(4)計(jì)算實(shí)際檢驗(yàn)量的數(shù)值:9.6 10Sn1/.n 1/ .100(5)因?yàn)? ( , 1.96),落入拒絕域，故應(yīng)拒絕原假設(shè) H0 接受乩，認(rèn)為零件的孔徑偏離了 10cm的合格要求，且偏小。這說明 鉆孔機(jī)的操作已不正常，應(yīng)進(jìn)行調(diào)試。3、小樣本，正態(tài)總體且方差2未知當(dāng)總體服從正態(tài)分布N( , 2), 和2為未知參數(shù)，小樣本時(shí), 要檢驗(yàn)H。時(shí)的統(tǒng)計(jì)量是自由度為n 1的t分布：X 0Sn 1 / ， n例 某日用化工廠用一種設(shè)備生產(chǎn)香皂，其厚度要求為 5cm,今

18、欲了解設(shè)備的工作性能是否良好，隨機(jī)抽取10塊香皂，測(cè)得平均厚度為5.3cm ,標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm,試分別以0.01, 0.05的顯著性水平檢驗(yàn)設(shè) 備的工作性能是否合乎要求。解：根據(jù)題意，香皂的厚度指標(biāo)可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，但 總體方差未知，且為小樣本。這是一個(gè)總體均值的雙邊檢驗(yàn)問題。(1)提出假設(shè)：H。：5 (合乎質(zhì)量要求)，H"(不合乎質(zhì)量要求)(2)建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由題目的條件，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:Sn 1 /新。(3)當(dāng) 0.01和自由度n 1 9,查表得t /23.2498,拒絕域?yàn)?,3.2498)及(3.2498,),接受域?yàn)?3.2498, 3.2498)。當(dāng) 0.05和自

19、由度n 1 9,查表得t /2(9) 2.2622,拒絕域?yàn)?,2.2622)及(2.2622,)。5.3 50.3/ .10(4)計(jì)算實(shí)際檢驗(yàn)量的值：3.16O(5)當(dāng) 0.01時(shí)，3.16 ( 3.2498,3.2498),落入接受域，故接受原假設(shè)H0 ,認(rèn)為在0.01的顯著性水平下，設(shè)備的工作性能尚屬良好。當(dāng) 0.05時(shí)，3.16 (2.2622,),落入了拒絕域，因此要拒絕原假設(shè)H。，認(rèn)為在0.05的顯著性水平下，設(shè)備的性能與良好的要求有顯著性差異。同樣的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)的結(jié)論不同，這似乎是矛盾的。其實(shí)不然， 當(dāng)在顯著性水平0.01時(shí)接受原假設(shè)，只能是認(rèn)為在規(guī)定的顯著性水平下，尚不能否定

20、原假設(shè)。接受H0,并不意味著有絕對(duì)的把握保證H0 為真。我們從此例看到，在 95%的置信水平上否定原假設(shè)，但是卻 不能在99 %的置信水平上否定原假設(shè)。(二)總體比例的檢驗(yàn)在實(shí)際問題中，檢驗(yàn)總體中具有某種特征的個(gè)體所占的比例是否 為某個(gè)假設(shè)值P0,是經(jīng)常遇到的。譬如，一批產(chǎn)品中的次品率，適齡 兒童的入學(xué)率，電視節(jié)目的收視率，等等。由中心極限定理可知，在 大樣本的情況下，樣本比例？漸進(jìn)服從正態(tài)分布，因而可用Z統(tǒng)計(jì)量 進(jìn)行檢驗(yàn)。Z ? PoPo(1 Po)n例 一項(xiàng)社會(huì)調(diào)查結(jié)果指出某市老年人口的比重為 , 該市老年 人口研究會(huì)為了檢驗(yàn)調(diào)查結(jié)果的可靠程度， 隨機(jī)抽選了該市400名居 民，其中有57名

21、年齡在65歲以上的老年人。在給定顯著性水平0.05下，調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口的比重為的看法解：這是一個(gè)有關(guān)總體比例的雙邊檢驗(yàn)問題。(1)提出假設(shè)：H0 ： p 14.7 % ,H1 ： p 14.7 %。(2)計(jì)算子樣比例？5%及實(shí)際檢驗(yàn)量:? P0z P0(1P0)0.1425 0.1470.147(1 0.147)0.2544001.96(3)當(dāng) 0.05時(shí)，查正態(tài)分布表，得臨界值Z0.05/2(4)由于|z |z A ,故接受Ho ,所以認(rèn)為調(diào)查結(jié)果有95%的把握支持該市老年人口的比重為的看法圖7 5單邊左檢臉二、兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)在許多實(shí)際問題和科學(xué)研究中，人們需要比較兩個(gè)總

22、體的參數(shù)， 看它們是否有顯著性的差別。例如，兩個(gè)試驗(yàn)品種的農(nóng)作物產(chǎn)量是否 有明顯的差異；在相同的年齡組中，高學(xué)歷和低學(xué)歷的職工收入是否 有差異；兩種農(nóng)藥殺蟲效果的比較，等等。對(duì)此，可以利用兩個(gè)正態(tài) 總體的參數(shù)檢驗(yàn)尋求答案。(一)兩個(gè)總體均值之差的抽樣分布兩個(gè)總體均值之差的分布一般有三種情形:1、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差已知時(shí)，兩總體均值之差的抽樣分布為:(X1 X2)(22N(0, 1)12J nn22、當(dāng)兩個(gè)總體分布和總體方差未知，兩個(gè)均為大樣本時(shí)，兩總Z (兄 X2) ( 1n1Sfn2n22)27 N(0, 1)體均值之差的抽樣分布為:1n22q2(n1 DS、Sw(nb 1)S2n2Sw息3

23、、當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知（但方差相等），兩個(gè)均為小樣本時(shí), 兩總體均值之差的抽樣分布為:.(X1 X2) ( 12)“n2 2)tt(n1（二）兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)在對(duì)兩個(gè)總體均值之差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),假設(shè)的形式一般有以下三種:Ho :Hi ：Ho :Hi :Ho :H1 :例 在一項(xiàng)社會(huì)調(diào)查中，要比較兩個(gè)地區(qū)居民的人均年收入據(jù)以往的資料，甲、乙兩類地區(qū)居民人均年收入的標(biāo)準(zhǔn)差分別為1 5365元和2 4740元。現(xiàn)從兩地區(qū)的居民中各隨機(jī)抽選了100戶居民，調(diào)查結(jié)果為：甲地區(qū)人均年收入 Xi 30090元，乙地區(qū)人均 年收入為X2 28650元。試問，當(dāng) 0.05時(shí)，甲、乙兩類地區(qū)居民的 人均年

24、收入水平是否有顯著性的差別。解：這是兩個(gè)總體均值之差的顯著性檢驗(yàn)，沒有涉及到方向，所 以是雙邊檢驗(yàn)。由于兩個(gè)樣本均為大樣本且總體方差已知，因而可用 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：(Xi2 )/ N(Q 1)(1)提出假設(shè)：H。：12Hi：12(2)根據(jù)子樣計(jì)算實(shí)際檢驗(yàn)量的值12)(30090 28650)5365247402；1001002.05(3)當(dāng) 0.05時(shí)，查正態(tài)分布表得z /21.96(4)因?yàn)閦 2.05 1.96,故拒絕H。，認(rèn)為甲、乙兩類地區(qū)居民的人均年收入有顯著性差異。例 某車間比較用新、舊兩種不同的工藝流程組裝一種電子產(chǎn)品 所用的時(shí)間是否有差異，已知兩種工藝流程組裝產(chǎn)品所用的時(shí)間服從 正態(tài)

25、分布，且10。2。第一組有10名技工用舊工藝流程組裝產(chǎn)品，平均所需時(shí)間Xi 27.66分鐘，子樣標(biāo)準(zhǔn)差si 12分鐘，另一組有8名 技工用新工藝流程組裝產(chǎn)品，平均所需時(shí)間又2 17.6分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差S2 10.5分鐘。試問用新、舊兩種不同工藝流程組裝電子產(chǎn)品哪一種 工藝方法所需時(shí)間更少（0.05）解：由題意知，總體方差2未知，但兩者相等。兩樣本均為小樣本，故用t作檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(X1X2) ( 12)t(n1222 (n1 1為(n2 1)s>Sw-n1 n2 21、提出假設(shè)，若12 0,則表示兩種工藝方法在所需時(shí)間上沒有顯著差異；若12 0,則表示用新工藝方法所需時(shí)間少，所以，單邊右檢驗(yàn)：8

26、,計(jì)算檢驗(yàn)量的值:sW22_2_2(n 1)s2(n2 1)s2(10 1)122 (8 1)10.52n1n2 210 8129.2322X127.66, X2 17.6, s；12, sf 10.5, n110, n2Swv12923 11.37。t (X1 X2) ( 12)Sw、11 n1 n2(27.66 17.6) 01.8671111.37, 10 83、當(dāng) 0.05時(shí)，t的自由度為n1108 2 16,查t分布表，臨界值為t°.05（16） 1.7459 ,拒絕域?yàn)?1.7459,),因 1.867 6 (1.7459,)落入拒絕域，所以拒絕H。，接受H-認(rèn)為新工藝流

27、程組裝產(chǎn)品所用時(shí)間更少。（三）兩個(gè)總體比例之差的檢驗(yàn)兩個(gè)總體比例之差的檢驗(yàn)與兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)一樣，所不同的只是比較的兩個(gè)總體都是兩點(diǎn)（0 1）分布的總體，即兩個(gè)總體中具有某種特征的個(gè)體的比例進(jìn)行比較。 設(shè)這兩個(gè)總體中具有某種特征的個(gè)體的比例分別為P1和P2,但P1和P2未知，可用子樣比例區(qū)和胡代替。在第六章第三節(jié)已給出了兩個(gè)子樣比例之差自 仇的抽樣分布，為近似地服從以P1 p為期望，以p1(1 p1) p2(1 p2)為方差的正態(tài)分 ni1布。當(dāng)檢驗(yàn)兩個(gè)總體比例之差是等于 0,還是不等于0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量的公式略有變化。1、假設(shè)為：H 0 ： p p2 0H 1 ： p p20則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

28、量為：Z (0182) (p1 p2)、-11.伙1 p)()n n2o其中？1 %仇 王，p冬上，兩個(gè)子樣比例均為大樣本， n1n2n1 n2且 np1,n1(1 p1)，n2 P2,山(1 p、)均大于 5。例 某保險(xiǎn)公司要了解抽煙人群中犯心臟病的比例是否顯著高于不抽煙的人群犯心臟病的比例，作了一項(xiàng)調(diào)查。調(diào)查對(duì)象為50歲的男性，抽煙每天至少要抽一包。結(jié)果80名抽煙者中有20名犯過心 臟病，120名不抽煙的人中有15名犯過心臟病。試以 0.05的 顯著 性水平推斷抽煙人群與不抽煙人群中犯心臟病的比例是否有顯著性 差異。解：由題意可知，這是一個(gè)單邊右檢驗(yàn)。令P1表示抽煙人群中犯心臟病的比例；P

29、2表示不抽煙人群中犯心臟病的比例；區(qū)X1空0.25為抽煙人群犯心臟病的子樣比例；n180?2%至0.125為不抽煙人群犯心臟病的子樣比例;n2120(1 )提出假設(shè)：Ho : Pl P2 0 ,(2)根據(jù)子樣數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)量的值:20 1580 1200.175Q Xi X2?nin2(仇昆)(Pl P2)同喝I(0.25 0.125) 011,0.175(1 0.175)()80 1202.28O(3)當(dāng) 0.05時(shí)，查正態(tài)分布表得Z0.05 1.645 ,拒絕域?yàn)?1.645,)因?yàn)閦 2.28 (1.645,)落入拒絕域，故拒絕H。，接受H-認(rèn)為抽煙的人群中犯心臟病的比例要高于不抽煙的人群

30、，表明抽煙與不抽煙的人群中犯心臟病的比例有顯著性的差異。2、當(dāng)假設(shè)為：H 0 ： P1P2dg ,H1 :P1P2 d0。則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：Z(R P2) d0Pl(1 Pl) P2(1 P2) nnin2o例 某市教育和衛(wèi)生部門組成聯(lián)合調(diào)查組，對(duì)城區(qū)初中的男生和 女生中視力近視的人數(shù)比例作調(diào)查。 在初中男生中隨機(jī)抽查了 60人, 有18人近視，在初中女生中抽查了 40人，有14人近視。當(dāng)顯著性 水平為 0.05時(shí)，是否可以認(rèn)為城區(qū)初中的男生視力近視的比例要 低于女生視力近視的比例。解：作假設(shè)檢驗(yàn)，令：Pi表示初中男生視力近視的比例；P2表示初中女生視力近視的比 例。H°： Pi P2

31、 0,表示男生和女生近視的人數(shù)比例沒有 顯著差異，Hi： Pi P2 0,男生近視的比例低于女生近視的比例。由題意知，曲 里 0.3, 仇 生 0.35。 6040實(shí)際檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為：z(?i ?2)(Pi P2)?i(i ?i)?2(i ?2),nin2(0.30 0.35) 00.520.3(1 0.3) 0.35(1 0.35) 6040這是一個(gè)單邊左檢驗(yàn)，當(dāng) 0.05時(shí)，臨界值為負(fù)的，查表得Z0.051.645,拒絕域?yàn)?，1.645), u 0.521.645,故接受 H。，拒絕乩，即尚不能認(rèn)為該市城區(qū)初中男生近視的人數(shù)比例要低于初中女生近視的比例。第三節(jié) Excel在假設(shè)檢驗(yàn)中的

32、應(yīng)用關(guān)鍵詞：“工具”；“數(shù)據(jù)分析”；“Z檢驗(yàn)：二樣本平均差檢驗(yàn)”本節(jié)介紹的總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)包括一個(gè)正態(tài)總體和兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)。對(duì)于一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)，熟悉 Excel的讀者, 可參照第六章的案例構(gòu)造一張假設(shè)檢驗(yàn)的 Excel工作表，進(jìn)行檢驗(yàn)， 限于篇幅這里不再介紹。下面分別就 Z檢驗(yàn)法和t檢驗(yàn)法來介紹兩個(gè) 正態(tài)總體均值之差的檢驗(yàn)中 Excel的應(yīng)用。一、Z檢驗(yàn)法設(shè)有兩個(gè)正態(tài)總體，且為大樣本，方差2和：已知，要求作兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)。例 為了評(píng)價(jià)A、B兩廠生產(chǎn)的某種相同的輕型材料的抗壓強(qiáng)度， 分別從A、B兩廠生產(chǎn)的材料中隨機(jī)抽取樣品。從 A廠生產(chǎn)的材料中抽取了 30個(gè)樣品，從B廠生

33、產(chǎn)的材料中抽取40個(gè)樣品。根據(jù)以往的資料，A、B兩廠生產(chǎn)的材料的抗壓強(qiáng)度的方差分別為2A 64 和2 100。根據(jù)以上抽樣結(jié)果（表），檢驗(yàn)兩廠生產(chǎn)的這種輕型材料的抗壓強(qiáng)度是否有顯著性差異（設(shè)）。表 A B兩廠材料樣品的抗壓強(qiáng)度（單位：kg / m2）A85877364 97707488927383廠8982769094 7286748887918476838479 789185B 91 84 66 93 75 66 85 65 78 8574 83 79 75廠 64 76 80 83 91 78 87 57 99 78 62 59 84 89 7984 82 82 70 93 70 79 6

34、4 85 72 89解：首先我們將上表中A、B兩廠的樣品數(shù)據(jù)分別輸入到 Excel工作表中的 A1:A30和B1:B40。1、提出假設(shè):2、用EXCE進(jìn)行計(jì)算分析:(1)選擇“工具”下拉菜單；(2)選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)；(3)在分析工具中選擇“ Z檢驗(yàn)：二樣本平均差檢驗(yàn)”；(4)當(dāng)出現(xiàn)對(duì)話框后，在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入A1:A30;在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入 B1:B40;在“假設(shè)平均差”方框內(nèi)鍵入0;在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入64;在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入100;在“ ”方框內(nèi)鍵入；在“輸出選項(xiàng)”中選擇輸出區(qū)域(在此選擇“新工作表”)。點(diǎn)擊“確定”，便輸出表的計(jì)算結(jié)果表 Z檢驗(yàn)：

35、二樣本平均差檢驗(yàn)由于z=< z /2=,所以接受H。即認(rèn)為A B兩廠生產(chǎn)的這種材料 的抗壓強(qiáng)度沒有顯著性差異。、t檢驗(yàn)法有兩個(gè)正態(tài)總體，方差 12和：未知，且為小樣本，作兩個(gè)總體 均值之差的檢驗(yàn)。例 工廠的管理人員對(duì)組裝新產(chǎn)品的兩種方法所需要的時(shí)間 (單 位：分鐘)進(jìn)行測(cè)試，他們認(rèn)為順序的合理是節(jié)約時(shí)間提高效率的關(guān) 鍵。從采用方法A和方法B的兩組工人中，各隨機(jī)抽取了 8個(gè)工人， 測(cè)試的結(jié)果如表。假設(shè)組裝的時(shí)間服從正態(tài)分布，試以的顯著性水平 比較兩種組裝方法是否有顯著性差異。表組裝產(chǎn)品所用的時(shí)間1方法A方法B28.28.835.39.5410.811.359.7866.58.375.17.

36、5869.39810.910解：(1)選擇“工具”下拉菜單(2)選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)(3)在分析工具中選擇“ t檢驗(yàn)：平均值的成對(duì)二樣本分析”(4)在出現(xiàn)的對(duì)話框中，在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入A2:A9;在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入 B2: B9;在“假設(shè)平均差”方 框內(nèi)鍵入0;在“ ”方框內(nèi)鍵入；在“輸出選項(xiàng)”中選擇區(qū)域（新 工作表）；點(diǎn)擊“確定”，計(jì)算結(jié)果輸出如表。表t檢驗(yàn)：二樣本平均差檢驗(yàn)本章小結(jié)本章的內(nèi)容假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題， 同參數(shù)估計(jì) 一樣都是課程的重點(diǎn)。這一章著重介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和原理,以及假設(shè)檢驗(yàn)的一般方法和步驟。具體來說就是兩類假設(shè)（原假設(shè)與 備擇假設(shè)）、兩類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤與取偽錯(cuò)誤）、顯著性水平、拒絕域 和接受域等基本概念，比較詳細(xì)地就 Z檢驗(yàn)法和t檢驗(yàn)法，對(duì)一個(gè)正 態(tài)總體和兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)分別作了介紹。并列舉案例，介紹 以Excel為工具進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法與步驟。同步訓(xùn)練單項(xiàng)選擇題1、某茶廠規(guī)定其盒裝的茶葉每盒的平均重量不低于 500克，否 則不能出廠。現(xiàn)對(duì)一批盒裝的茶葉進(jìn)行檢驗(yàn)，要求其規(guī)定的可靠性要 達(dá)到99%其原假設(shè)和備擇假設(shè)應(yīng)該是 （）。A. Ho：500, Hi：500； B. Ho：500, H