平面幾何基本定理

1、一.平面幾何個圓的根心對于三個圓等嘉.當三個圓兩兩相交時，三條公1 .勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）（1）銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另 一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.（2）鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上 的射影乘積的兩倍.2 .射影定理（歐幾里得定理）共弦（就是兩兩的根軸）所在直線交于一點.15 .托勒密（Ptolemy）定理：圓接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC BD=AB CD+AD BC ,（逆命題成立）.（廣義托勒密定理） AB CD+AD BOAC BD16 .蝴蝶定理：AB是。O的弦，M

2、是其中點，弦 CD、EF經(jīng)過 點 M,CF、DE 交 AB 于 P、Q,求證：MP=QM.中線長:ma3 .中線定理（巴布斯定理）設(shè) ABC的邊BC的中點為P,則有 AB2 AC2 2（AP2 BP2）;2,22,2b 2c a24 .垂線定理：AB CD AC2 AD2 BC2 BD2高線長17.費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點， 到該三角形較近 兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外 接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距 離.定理2三角形每一角都小于 120時，在三角形必存在 一點，它對三條邊所的角都是120 ,該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，

3、當三角形有一角不小于 120時, 此角的頂點即為費馬點2 ha - Jp(p a)(p b)(p c) abc .八sin A acsin B18 .bsin C拿破侖三角形：在任意 ABC的外側(cè)，分別作等邊 ABD、 BCE、A CAF,貝U AE、AB、CD 三線共點，并且 AE=BF= CD,這個命題稱為拿破侖定理.以4ABC的三條邊分5.角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線 段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.ABC中，AD平分/ BAC,則見幽；（外角平分線DC AC定理）角平分線長：ta2v;bcp（ p a） -bc-cos （其中b c b c 2p為周長一半）a b

4、c6 .正弦定理：2R,（其中R為三角sin A sin B sinC形外接圓半徑）、22,27 . 余弦定理：cab 2abcosC8.角定理：sin一BACsinBADsin DACADACAB別向外作等邊 ABD、ABCE ACAF,它們的外接圓。C1、 OA1、OB1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形， CDC1、 CDA1、CDB1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形； ABC的三條邊分別向 ABC的側(cè)作等邊 ABD、BCE、 CAF,它們的外接圓。C2、CDA2、CDB2的圓心構(gòu)成的拿破侖三角形，O C2、O A2、CDB2三圓共點，拿破侖 三角形也是一個等邊三角形.這兩個拿破侖三角

5、形還具有相 同的中心19 .九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形 中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂 心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具 有許多有趣的性質(zhì)，例如：（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半（2）九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中9 .斯特瓦爾特（Stewart）定理：設(shè)已知 ABC及其底邊上 B、C兩點間的一點 D ,則有 AB2 - DC+AC2 - BD -AD2 - BC =點（3）三角形的九點圓與三角形的切圓，三個旁切圓均相切費爾巴哈定理10 .圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，

6、等于圓心角的一 半.（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11 .弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角12 .圓嘉定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定 理）：切線長定理：）13 .布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓接四邊形 ABCD中, ACXBD,自對角線的交點 P向一邊作垂線，其延長線必平 分對邊14 .點到圓的嘉：設(shè) P為。O所在平面上任意一點，PO=d, Q O的半徑為r,則d2r2就是點P對于。0的嘉.過P任作 一直線與。O交于點A、B,則PAPB= |d2- r2|.“到兩圓等 嘉的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此 二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線

7、”這個結(jié) 論.這條直線稱為兩圓的 “根軸”.三個圓兩兩的根軸如果不 互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”.三20 .歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂 心依次位于同一直線（歐拉線）上.21 .歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R,切圓半徑為r,外心與心的距離為 d,則d2=R2- 2Rr.22 .銳角三角形的外接圓半徑與切圓半徑的和等于外心到各邊 距離的和.23 .重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成 2： 1 的兩部分；G（Xa xB Xc yA yB yC） 3,3重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為AABC的重心，連結(jié) AG并延長交BC

8、于D,則D為BC的中點，則 AG ： GD 2:1;（2 ） 設(shè) G 為4ABC 的重心,則1S ABG S BCG S ACG - S ABC3(3)設(shè)G為4ABC的重心，過G作DE / BC交AB于D ,交AC于E,過G作PF / AC交AB于P,交BC于F ,G作HK / AB交AC于DE FP KH 2； DEBC CA AB 3G為AABC的重心，則BCFPCAKH 2(4)AB; abcr p AI BI CI .26.外心：三角形的三條中垂線的交點一一外接圓圓心, 到三角形各頂點距離相等；即外心O(sin 2AxA sin2BxB sin 2CxCsin2A sin2B sin

9、2Csin 2AyA sin 2B sin2A sin2EBC23GA2CA2GA2GB2GC2PA2PB2PC23GB21(AB 3 GA2 ABC任意一點)；到GA2角形GB2AB2 3GC2BC2 CA2)外心性質(zhì)：(1)(2)外心到三角形各頂點距離相等O為AABC的外心，則 BOC 2 A或222GB2 GC2 3PG2( pBOC 360(3)頂點距離的平方和最小的點是重心， GC2最小;R abc ； (4)銳角三角形的外心到三邊的4s三角形到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然(即滿足上距離之和等于其切圓與外接圓半徑之和27.旁心：一角平分線與兩外角平分線交點一一旁切圓圓心;述條

10、件之一，則G為 ABC的重心). ABC 的邊 BC a, AC b, AB c,角形的線的交axacos AH( rbxbcos B bccos CcXCaVacos A acos A cos B cos Ccos A cos B1 / p -(a c 2 yc coSC圓心已為cosC 質(zhì)b c),分別與BC, AC, AB外側(cè)相切的旁切I A, I B, Ic ,其半徑分別記為A,B ,C旁心性垂心性質(zhì)：(1)三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍(2)垂心H關(guān)于 ABC的三邊的對稱點， 均在4ABC 的外接圓上；(3) ABC 的垂心為 H,貝IJABC, ABH, B

11、CH, ACH的外接圓是等圓；(4)設(shè)O , H分別為 ABC的外心和垂心，BIaC于頂角(2)(3)B,190 A, BI BC2C也有類似的式子)1 ,IAIBIC a( A C)設(shè)AI A的連線交AABCBIcCCA,(對的外接圓于BAO HAC, CBO ABH,25.心：三角形的三條角分線的交點一接圓圓心, 各邊距離相等BCO HCA即心到三角形DI ADB DC (對于BI b,CIc有同樣的結(jié)論)I .XA bxBabccxc ayAbyB(4) AABC是IaIbIc的垂足三角形，且 IaIbIc的外接圓半 徑R等于 ABC的直徑為2R.心性質(zhì)：(1)設(shè)I為4ABC的心，則I

12、相等，反之亦然(2) 設(shè) I 為 4ABC到AABC三邊的距離S ABC角-ahb21 , absin C22c積abc4R22R sin Asin BsinC-1-BIC 90 A, AIC 9021B, AIB290C 4(cot A cot B cotC)(3)三角形一角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到心的距離相等；反之，若A平分線交ABCpr P(P a)(p b)(p c)，其中ha表示BC邊上的外接圓于點K, I為線段AK上的點且滿足 KI=KB ,則I為AABC 的心(4)設(shè) I 為AABC 的心，BC a, AC b, AB c, A平分線交 BC于D,交AABC外接

13、圓于點 K,則高,R為外接圓半徑，r為切圓半徑,1，、 p -(a b c) 2三角形中切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系r 4RsinAsinBsinC;rai.A 4Rsin2co建cosC,rb 4Rc 22AI AK JK b cID KI KD a(5)設(shè)I為AABC的心，BCBC ACAB上的射影分別為a, ACD,E,F,b,AB c, I 在切圓半徑為r ,rra , rb, B . Cbtan tan 22r_A7c ,r tan tan 一22r_A7btan tan 一22AE1， 、一p - (a b c) (I2AF p a; BDS ABCprBF pb;CE CD

14、 pb梅涅勞斯(Menelaus)定理：設(shè)4ABC的三邊BC、CA、AB 或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為R,則P、Q、R關(guān)于4ABC交于一點的充要條件是：弧 AP+條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線.313233343536373839404142434445464748BP CQ ARp、Q、R則有BP CQ H 1 .（逆定理也成立） PC QA RB梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 1:設(shè) ABC的/ A的外角平分線 交邊CA于Q, / C的平分線交邊 AB于R, / B的平分線交 邊CA于Q,則P、Q、R三點共線梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2:過任意4ABC的三

15、個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和 BC、CA、AB的延長線 交于點P、Q、R,則P、Q、R三點共線塞瓦（Ceva）定理：設(shè)X、Y、Z分別為 ABC的邊BC、CA、 AB上的一點，則 AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條八日AZ BX CY 件用 ZB XCYA=1塞瓦定理的應(yīng)用定理： 設(shè)平行于4ABC的邊BC的直線與兩 邊AB、AC的交點分別是 D、E,又設(shè)BE和CD交于S,則 AS 一定過邊BC的中點M塞瓦定理的逆定理：（略）塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1:三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于 一點塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理 2:設(shè)4ABC的

16、切圓和邊BC、 CA、AB分別相切于點 R、S T,則AR、BS、CT交于一點.西摩松（Simson）定理：從4ABC的外接圓上任意一點 P 向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是 D、 E、R,則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線 Simson line） 西摩松定理的逆定理：（略）關(guān)于西摩松線的定理 1: ABC的外接圓的兩個端點 P、Q 關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上關(guān)于西摩松線的定理 2 （安寧定理）：在一個圓周上有4點， 以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西 摩松線，這些西摩松線交于一點史坦納定理：設(shè) 4ABC的垂心為H,其外接圓的

17、任意點 P, 這時關(guān)于4ABC的點P的西摩松線通過線段 PH的中心.史坦納定理的應(yīng)用定理： 4ABC的外接圓上的一點 P的關(guān) 于邊BC、CA、AB的對稱點和4ABC的垂心H同在一條（與 西摩松線平行的）直線上.這條直線被叫做點 P關(guān)于4ABC 的鏡象線.牛頓定理1:四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中 點和兩條對角線的中點，三點共線.這條直線叫做這個四邊 形的牛頓線.牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的 圓心，三點共線.笛沙格定理1:平面上有兩個三角形 AABC、A DEF,設(shè)它 們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點， 這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個

18、交點共線.笛沙格定理2:相異平面上有兩個三角形 AABC、ADEF , 設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一 點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線.波朗杰、騰下定理：設(shè) 4ABC的外接圓上的三點為 P、Q、弧 BQ+弧 CR=0（mod2 ）.49 .波朗杰、騰下定理推論 1:設(shè)P、Q、R為4ABC的外接圓 上的三點，若P、Q、R關(guān)于4ABC的西摩松線交于一點， 則A、B、C三點關(guān)于 PQR的的西摩松線交于與前相同的 一點.50 .波朗杰、騰下定理推論 2:在推論1中，三條西摩松線的交 點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心 和其余三點所作的三

19、角形的垂心的連線段的中點.51 .波朗杰、騰下定理推論 3:考查4ABC的外接圓上的一點 P 的關(guān)于 ABC的西摩松線，如設(shè) QR為垂直于這條西摩松線 該外接圓的弦，則三點 P、Q、R的關(guān)于4ABC的西摩松線 交于一點.52 .波朗杰、騰下定理推論 4:從 ABC的頂點向邊BC、CA、 AB引垂線，設(shè)垂足分別是 D、E、F,且設(shè)邊BC、CA、AB 的中點分別是 L、M、N,則D、E、F、 L、M、N六點在同 一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于AABC的西摩松線交 于一點53 .卡諾定理：通過4ABC的外接圓的一點 P,引與4ABC的三 邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線 PD、PE、PF

20、 ,與 三邊的交點分別是 D、E、F,則D、E、F三點共線.54 .奧倍爾定理：通過4ABC的三個頂點引互相平行的三條直 線，設(shè)它們與4ABC的外接圓的交點分別是 L、M、N,在 ABC的外接圓上取一點 P,則PL、PM、PN與4ABC的 三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是 D、E、F,則D、 E、F三點共線.55 .清宮定理：設(shè) P、Q為 ABC的外接圓的異于 A、B、 C的 兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是 U、V、 W,這時，QU、QV、QW和邊BC、 CA、AB或其延長線的 交點分別是 D、E、F,則D、E、F三點共線.56 .他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于 ABC

21、的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是 U、V、W,這 時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交 點分別是D、E、F,則D、E、F三點共線.（反點：P、Q 分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQOP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點）57 .朗古來定理：在同一圓周上有Ai、Bi、Ci、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P,作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從 P向這4條西摩松線引垂線，則四 個垂足在同一條直線上.58 .從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切 線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心59

22、. 一個圓周上有n個點，從其中任意n 1個點的重心，向該 圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點60 .康托爾定理1: 一個圓周上有n個點，從其中任意 n-2個 點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點.61 .康托爾定理2: 一個圓周上有 A、 B、C、 D四點及M、N兩 點，則M和N點關(guān)于四個三角形 ABCD ACDA ADAB ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上.這62 .康托爾定理3: 一個圓周上有 A、B、C、D四點及M、N、 L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線、L、 N兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于 四邊形ABCD的康托爾

23、線交于一點.這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點.63 .康托爾定理4: 一個圓周上有 A、B、C、D、E五點及M、 N、L三點，貝U M、N、L三點關(guān)于四邊形 BCDE、CDEA、 DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上.這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形 A、B、C、D、E的康托爾線.64 .費爾巴赫定理：三角形的九點圓與切圓和旁切圓相切.65 .莫利定理：將三角形的三個角三等分， 靠近某邊的兩條三分 角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三 角形.這個三角形常被稱作莫利正三角形.66 .布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D

24、、B和E、C和F,則這三線共點.67 .帕斯卡(Paskal)定理：圓接六邊形 ABCDEF相對的邊 AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線.68 .阿波羅尼斯(Apollonius )定理：到兩定點A、B的距離之比 為定比m： n (值不為1)的點P,位于將線段AB分成m： n 的分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上.這個圓稱為 阿波羅尼斯圓.69 .庫立奇*大上定理：(圓接四邊形的九點圓)圓周上有四點， 過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同 一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓接四邊形 的九點圓.70 .密格爾(Miquel)點： 若AE、AF

25、、ED、FB四條直線相交 于A、B、C、D、E、F六點，構(gòu)成四個三角形，它們是 ABF、 AED、ABCE A DCF,則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點.71 .爾剛(Gergonne)點： ABC的切圓分別切邊 AB、BC、CA 于點D、E、F,則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為爾 剛點.72 .歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：。是三角形的外心，M是三角形中的任意一點， 過M向三邊作垂線，三個垂足形成的22三角形的面積，其公式：S def | R d | .一_ _ 2S ABC4 R二.集合1 .元素與集合的關(guān)系x A x CU A, x CU A x A.2 .德摩根公式

26、CU(ApB) CuaUCuB;Cu(a|Jb)CU Ap CU B3 .包含關(guān)系A(chǔ)pB A aJ B BA BCU B CU AApCUBCUAJ B R4 .集合a1,a2JU,an的子集個數(shù)共有2n個；真子集有 2n-1個；非空子集有2n -1個；非空的真子集有2n-2個.5 .集合A中有M個元素，集合B中有N個元素，則可以構(gòu)造 M*N個從集合A到集合B的映射；6 .容斥原理card (A B) cardA cardB card (A。B)card (AJ bJ C) cardA cardB cardC card(AB)card (A pB) card(B | |C) card (C |

27、 | A) card (Ap B | C)k1三.二次函數(shù)，二次萬程1 -二次函數(shù)的解析式的三種形式bk k22a 2或f(k2) 0 且一般式f(x) ax2(2)頂點式 f (x) a(x(3)零點式 f(x) a(xbx c(a 0); h)2 k(a 0); Xi)(x x?)(a 0).k1k22b2ak2 .4閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值2一次函數(shù)f(x) ax bx c(a 0)在閉區(qū)間 p,q上2解連不等式 NN f (x)f (x) M常有以下轉(zhuǎn)化形式M f (x) M f (x) N 0的最值只能在b處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下:2a|f(x) M1f(x) N3 ,方程f

28、 (x)f(x) N 0M f (x)a0f(x)minf(b7)，f(x)max 2amaxf(p), f(q)；M N0在(k1,k2)上有且只有個實根b2ap,q , f (x)maxmax f (p), f (q)f (k1)f (k2)0不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程ax2 bx c 0(a0)有且只有一個f(x)minminf(p),f(q).實根在(k，k2),等價于 f(k1)f(k2) 0,或 f(k1) 0且當 a0)sina (a 0)對不；若f(x) f(x a),則函數(shù)y f(x)為周 2，期為2a的周期函數(shù).7多項式函數(shù)P(x) anxn

29、an 1xn 1a0的奇偶性多項式函數(shù) P(x)是奇函數(shù) P(x)的偶次項(即奇數(shù)項) 的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.(1)f (x a)f(x)2)1而f (x a),則 f(x)的周期 T=a；f(x) f(x a)(f(x) 0),f(x a)1(f(x) f(x)0)8 函數(shù)y f(x)的圖象的對稱性(1)函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線x a對稱 f (a x) f (a x)f (2a x) f(x).a b(2)函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于直線x 對稱2f (a mx) f (b mx)f (a b mx) f (mx).9 兩

30、個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f ( x)的圖象關(guān)于直線,f(x) f2(x)f(x a),( f (x)0,1)f (x)的周期T=2a；f(x)Lf(x)0),則f (x)的周期T=3a；f(a)1(f(X1)f (Xi X2)f (Xi)f d)1 f(X1)f(X2)f(x2) 1,0 |x1 x2| 2a),則 f (x)x 0(即y軸)對稱.(2)函數(shù)y f (mx a)與函數(shù)y f (b mx)的圖象 a b關(guān)于直線 x 對稱.2m1(3)函數(shù)y f (x)和y f (x)的圖象關(guān)于直線y=x對 稱.10 若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)

31、y f (x a) b的圖象；若將曲線f (x, y) 0的 圖象右移a、上移b個單位，得到曲線 f (x a, y b) 0 的圖象.11互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系的周期T=4a；(5) f (x) f (x a) f (x 2a)f (x 3a) f (x 4a) f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),則 f (x)的周期T=5a；(6) f (X T=6a.六1 分數(shù)指數(shù)募ma不a) f(x) f(xa),則f (x)的周期指數(shù)與對數(shù)_1_ n m 、a1ma%(a 0, m, na 0, m, nNin 1).Nin 1).1f (a) b f (b) a.1

32、2若函數(shù)y f (kx b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為2根式的性質(zhì)(1)(n a)111,y f (x) b,并不是 y f (kx b),而函數(shù) k為偶數(shù)時，n an|a|(2)當n為奇數(shù)時，nlana ；當na, a 0.a, a 0y f 1 (kx b)是 y13幾個常見的函數(shù)方程(1) 正f(x) cx, f(x y)(2) 指f (x) ax, f (x y)(3) 對f(x) lOga x f(xy) f (x) (4)1.一f (x) b的反函數(shù). k比例函f(x) f(y), f(1) c.數(shù)函f(x)f(y), f(1) a 0.數(shù)函f(y), f(a) 1(a 0,a 1)

33、.嘉函數(shù)數(shù)數(shù),數(shù)3有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)注:ra a(ar)s(ab)rarsas(a 0,r, s Q).(a 0, r,s Q).arbr(a 0, b 0, r Q).若a0,p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)嘉都適用4指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log a N babN (a 0,a 1,N 0).5對數(shù)的換底公式log a N 10g m N ( a 0,且 a 1 , m 0 ,且 logmam 1, N 0).a1(1 qn)推論 logambnloga b( a 0,且 a 1, m,n 0 ,m且 m 1, n 1, N 0).6對數(shù)的

34、四則運算法則若 a0, a，1, M0, N0,貝U(1)loga(MN) loga M loga N ;(2),M ,loga loga M loga N ；N(3) loga M n nloga M (n R).7 設(shè)函數(shù) f(x) log m(ax2 bx c)(a 0),記2b 4ac.若f(x)的定義域為R,則a 0,且 0;若f (x)的值域為R,則a 0,且0.對于a 0的情形，需要單獨檢驗.8對數(shù)換底不等式及其推廣1右a 0，b 0，x 0，x ,則函數(shù) ay log ax(bx)1 一一 1. 八、(1) 當 a b 時，在(0,)和(一，) y log ax(bx)a a為

35、增函數(shù). 1-1(2)當 a b 時，在(0,)和(一，) y logax(bx) a a為減函數(shù).推論:設(shè)n m 1，p 0,a 0,且a 1,則(1 )10gmp(np) logm n .( 2 )Sn1 qna1,q 1,q3 ,等比差數(shù)列an ： an 1式為anloga mlogan9平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p則對于時間x的總產(chǎn)值y,有y N（1 p）x.39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系snana15, n 1Sn Sn 1,na2 I an).（數(shù)列aj的前n項的和為2 n七數(shù)列1或sqanb (n 1)d,q 1bqn (d b)qnd,a11

36、等 差數(shù)ana1 (n 1)d dn列 的 通 項 公*.a1 d(n N )；snn(a an)2項 和 公 式 為n(n 1)na1 d2d 2/1 小n(a1d) n.21 22 等比數(shù)列的通項公式anaqn 1 旦 qn(n N*)；q其前n項的和公式為aanq1 qna1,q b(q,q0）的通項公q其前n項和公式為nb n（nJb當4 分期付款（按揭貸款）d一,q1)d,(q1 qn q 11)n,(q q1)m ab(1 b)n每次還款x n(1 b) 1元（貸款a元，n次還清，每期利率為b）.八三角函數(shù)1 常見三角不等式(1)若 x (0, 一)，則 sinx x tanx.

37、2若 x (0, 一)，則 1 sin x cosx J2. 2| sin x | | cos x | 1.2-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式. 2 sin2 costansincostan cot1.3 正弦、余弦的誘導公式sin( 2ncos(24 和角與差角公式sin(cos(tan(sin（ 公式）；cos（asin在象限由點sinn1)2sin ,n 1（n為偶數(shù)）1) 2 cos ,n1)2cos ,n 1（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）1) 2 sin ,（n為奇數(shù)）cos coscos cos 十 sintan tan1 - tan tan)sin()cos(bcossinsin2)sin、

38、2)cos=、a2 b2 sin(（a, b）的象限決定，tan -.2sin （平萬正弦. 2 sin).a sin5 半角正余切公式：tan- ,cot21 cos ）（輔助角 所sin1 cos6 -二倍角公式sin 2 sin2 coscos 2cos_一 2 sin22cos 1 1 2sintan 22tan1 tan27最簡單的三角不等式及其解集sin xsin xcosxcosxa(|a| a(|a| a(|a| a(|a|1)1)1)1)(2 k(2 k(2 k(2 karcsin a,2 karcsin a,2 k arccosa,2 k arccosa,2 karcsin

39、 a), k Z arcsin a), k Z arccosa), k Zarccosa), k Ztanxa(aR)(karctana,k ), k2sin x atan xa(aR)(kcosx(1) 2k角的變形：2一,k2)arctan a), ktan x特別地，有sincostan8 三倍角公式sin 33sin34sin4sinsin(-)sin( -33cos334cos3cos4coscos( )cos( 一arcsin a(k arccosa(karctan a( kZ,|a| 1).Z,|a| 1).Z,a R).tan 33tan, 3tan1 3tan2tan tan

40、( 3)tan(39-三角函數(shù)的周期公式函數(shù)ysin( x),x G R及函數(shù)yx R(A, 3 ,為常數(shù)，且A，0,3 0)的周期cos( x2T sincostan15 三角形角和定理在 ABC中，有八向量1 實數(shù)與向量的積的運算律 設(shè)入、v為實數(shù)，那么 (1)結(jié)合律：入(g a)=(y tan(-,k Z(A, 3,為常數(shù), 2且AW 0, 3 0)的周期T10 正弦定理sin Asin B比2R.k2k2C1)k (k(k(k Z).Z).Z).(A B)2(A B)(2)第一分配律：(入+ v ) a=入a+ v a; (3)第二分配律：入(a+b)=入 a+入 b.2-向量的數(shù)量積

41、的運算律：(1) a - b= b - a (交換律);(2) ( a) b= (a b) =a , b= a ( b);(3) (a+b) - c= a - c +b - c.3平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任一向量，有且只有一對實數(shù)人1、入2, 使得 a=入101+入202.不共線的向量ee2叫做表示這一平面所有向量的一組基底.4,向量平行的坐標表不設(shè) a= (x1, y1) , b= (x2, y2),且 b 0 , 則11余弦定理22a b.222b c a12 面積定理2c 2bccosA2ca cos B ; c2b2 2abcosC

42、 .(1) S2aha2bhb2 che(ha、hb、hc分別表a| b(b 0) x 1y2x2y10.5 a與b的數(shù)量積(或積)a b=| a| b|cos 9 .6 a b的幾何意義數(shù)量積a - b等于a的長度同與b在a的方向上的投影 9的乘積.7平面向量的坐標運算|b |cos示a、b、c邊上的高).1a= S absin C bcsin A casin B . S OAB2a+b=(x1(2)x2, y設(shè)a=(xi, y1) y2).(x/),b=,b=(x2, y2)(|OA| |OB|)2 (OA OB).a-b= (x1x2, y1y2).(xi, y1)(x2, y2)13

43、在三角形中有下列恒等式： sin( A B) sin C tan A tanB tanC tan A.tan B.tan C14 簡單的三角方程的通解(x2 x1，y2設(shè) a=(x, y), R ,則Yi). a=(x, y).(5)設(shè) a=(x1, y1) , b=(x2, y2)，則 a b=( x28兩向量的夾角公式丫血).X1X2 V1V2 cos2222X Vi X2 V2(X2, V2)-9平面兩點間的距F公式 , dA,B = |AB| /AB AB(a= (Xi, Vi)aOA bOB cOC .7(X2 Xi)2 (V2Vi)2(A(Xi, Vi)，b(X2, V2).10 向量的平行與垂直設(shè) a=(Xi, Vi), b=(X2, y2),且 b 0,則A| b b=入 a Xi V2 X2 yl0.a b(a 0)a b=ox1 x2 V1y2 0.11 線段的定比分公式設(shè)耳(。乂)，2(X2當)，P(x,v)是線段RP2的分點，是實數(shù)，且pPpP2 ,則九不等式i 常用不等式：(i) a, b R a2 b22ab (當且僅當a=b時取“=”號).a b (2)a,b R JOB (當且僅當 a=b時取2“=”號). -333(3) a b c 3abc(a 0,b