弱肉強(qiáng)食模型

1、3.10弱肉強(qiáng)食模型1)問(wèn)題的提出在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，種群之間捕食與被捕食的關(guān)系普遍 存在。兩個(gè)弱肉強(qiáng)食的種群，其發(fā)展和演進(jìn)又會(huì)遵循一些什么樣的規(guī)律呢？2)模型假設(shè)以Xi(t)、x2(t)表示處于弱肉強(qiáng)食關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻t的數(shù)量，1、甲種群只以乙種群為食物資源，ai，bi為兩個(gè)折算因子，分別表示一個(gè)單位數(shù) 量的甲物種維持其正常生存需占用的資源量、一個(gè)單位數(shù)量的乙物種為甲種 群提供的資源量；甲種群數(shù)量的增長(zhǎng)率 xi(t)與該種群數(shù)量x1(t)成正比，同 時(shí)也與有閑資源si(t)成正比。ri表示甲種群的固有增長(zhǎng)率；2、乙種群可以獨(dú)立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，設(shè)總

2、量為“i”a2表示一個(gè)單位數(shù)量的乙物種維持其正常生存需占用的資源量，N 2 i/a2表示乙種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量。乙種群數(shù)量 的增長(zhǎng)率X2(t)可以分解為兩部分考慮：其一，不考慮甲種群的影響，乙種群 自由發(fā)展，其增長(zhǎng)率與該種群數(shù)量 X2(t)成正比，同時(shí)也與有閑資源S2(t)成 正比，2表示甲種群的固有增長(zhǎng)率；其二，由于被甲種群捕食造成乙種群增 長(zhǎng)的負(fù)面影響，稱(chēng)這一部分為被捕殺率，它與甲乙兩個(gè)種群的數(shù)量均正相關(guān)， 這里簡(jiǎn)單地設(shè)為服從正比例關(guān)系，比例系數(shù)取為2 b203)模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型:XiX2SiS2XiX2ri Xi siX2 S2r2 b2

3、 XiX2ai Xibi X2i a2 x2經(jīng)化簡(jiǎn)，得:x1 ( aix1 bi x2)x2 (1b2 x1a2 x2) 4)模型求解與前面兩節(jié)一樣，令模型方程的右端項(xiàng):r X12 X2(1a1 X1b2 X1bi X2)a2 X2)00,解之，得該模型的三個(gè)平衡點(diǎn):巳（0,0）、P2（0,N21歷2）、P3b1aa2a1b1 b2 ' a1 a2"b?o類(lèi)似于在種群競(jìng)爭(zhēng)模型中的討論，我們可以得到平衡點(diǎn)pi（i1,2）均不穩(wěn)定;P3下面我們討論平衡點(diǎn) 方程b1a1a2b1b2a1a2a1b1b2的穩(wěn)定性,為此，將微分X1X21 X1 (2X2 (1a1b2X1X1bi X2)

4、a2 X2)的右端項(xiàng)以其在03的一階Taylor展式取代,構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng):X1X2ra1bla1a2b1b2r2a1b2X1a1a2a©bbX1a色b1b1b2b1bQa1a2 b1b2 r2a1a2a® bQX1X1此時(shí)系數(shù)矩陣26aa2 bb2a。bi b2rEaa2bbaa2bb從而求得,Tr(A)-2由1r2a1a2aa2bb2q |A|r1 r2a 1 b1aa2 bb2a1a2a色0b1b20bb故平衡點(diǎn)'是穩(wěn)定的。此時(shí)，甲、乙兩種群將共同存在下去，種群量一般將逐 漸趨于平衡狀態(tài)。5）模型點(diǎn)評(píng)本節(jié)與前面兩節(jié)介紹了三個(gè)生態(tài)學(xué)模型， 盡管所處理的對(duì)象均為多（二）種 群系統(tǒng)，但其基本假設(shè)，比如對(duì)其中的每一個(gè)種群數(shù)量變