彈性力學(xué)作業(yè)習(xí)題

1、HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1. DATE: 2001-9-201.設(shè)地震震中距你居住的地方直線距離為l ,地層的彈性常數(shù)E,和密度均為已知。假設(shè)你在縱波到達t0秒后驚醒。問你在橫波到達之前還有多少時間跑到安全地區(qū)試根據(jù)l 200Km , E 20GPa,0.3,2,0 106g/m11ax1 a2,22ax2X2,33ax1X2,120,23a君bx2,31axfbx2其中k, a, b為遠小于1的常數(shù)。2. DATE: 2001-9-17 , t° 3s來進行具體估算。2 .假定體積不可壓縮，位移 Ui(X), X2)與U2(Xi, X2)

2、很小，U3 0。在一定區(qū)域內(nèi)已知Ui (1 X2) (a bx1 cx/),其中a , b , c為常數(shù)，且 優(yōu) 0 ,求 無(不，x2)。3 .給定位移分量222U1CX1(X2X3), U2CX2 (X1X3),U3CX3(X|X2),此處 c 為一個很小的常數(shù)。求應(yīng)變分量j及旋轉(zhuǎn)分量Qj。4 .證明aeijkQjkaejkUk, j其中i為轉(zhuǎn)動矢量。5 .設(shè)位移場為u a(X1 x3)20| a(X2 X3)2e2 aX1X2e3 ,其中a為遠小于1的常數(shù)。確定在P (0, 2,1)點的小應(yīng)變張量分量，轉(zhuǎn)動張量分量和轉(zhuǎn)知矢量分量。6 .試分析以下應(yīng)變狀態(tài)能否存在。(1)11k(x2 xf

3、 )x2,22 kx2x3330 ，12 2kxix2x3,233111k (x12xf),22kx2 x ,330 ，122 kx1X2 ,233101,證明對坐標(biāo)變換cossinX2sincosX2X3X3,無論為何值均有_ _2211221122，11 221211 2212-2-222-13231323 ,ijij2 .利用課堂上給出的各向同性張量表達式，推導(dǎo)各向同性材料的廣義虎克定律。并寫為以楊氏模量E和泊松比來表示的分量表達式。寫出在Voigt記號下的6個Cauchy關(guān)系等式。3 .證明，對各向同性彈f體，若主應(yīng)為 123，則相應(yīng)的主應(yīng)變123。4 .證明在各向同性彈性體中，應(yīng)力張

4、量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致。5 .各向同性彈性體承受單向拉伸( 1 0,23 0),試確定只產(chǎn)生剪應(yīng)變的截面位置，并求該截面上的正應(yīng)力(取 v 0.3)。6 .試推導(dǎo)體積應(yīng)變余能密度 W；及畸變應(yīng)變余能密度 W；公式:ii)c 1W ii jj6c 1Wf2ij ij14Gij ij123()3. DATE: 2001-9-261 .下面應(yīng)力場是否為無體力時彈性體中可能存在的應(yīng)力場如果是，它們在什么條件下存在(1)ax by, ycxdy,z 0,xy僅 gy， yzzx0;(2)2cy，z 0， xydxy,yz(3)22ay b(x2、ry ), y22ax b(yx2),其中a、b

5、、22、ab(x y ),xy 2abXy,yz zxc、d、f及g均為常數(shù)。2 .設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在除上、下表面之外的全部邊界上,受有均勻壓力P。驗證x y P及xy 0能滿足平衡微分方程、協(xié)調(diào)方程及邊界條件,因而就是正確的解答。3.應(yīng)力函數(shù)一般形式ij e ink e jml mn , kl和對應(yīng)的Beltrami-Michell 方程2 einkejmlmn,kl2 mmmn,mn j導(dǎo)出在 Maxwell應(yīng)力函數(shù)下（11Xi, 22 X2, 33 X3,其余為零），書中的，式?？紤]由面積不可壓縮 11220的平行疊層組成的層合板，其層界面以X 3軸為法向,寫出該

6、層合板的約束應(yīng)力表達式4. DATE: 2001-9-281 .若在域V內(nèi)應(yīng)力場ij X與體力fi x相平衡，V的邊界S均為力邊界，作用在其上有面力t ijVj , Vj為S上的單位外法向量。若 fi , L為已知，而 j為待求，求證問題只有在fi , ti滿足下列條件時才有解VfidvJidS 0且ejkXj fk dVVXjtk dSSX22 .對各向同性彈性體，若體力為零，試證明2 kk 0kk3.將橡皮方塊放在與它同樣體積的鐵盒內(nèi)，在上面用t2= sin( x/L)鐵蓋封閉，在鐵蓋上面作用均勻壓力p （圖5-6）。假設(shè)鐵Fig. For Question 4盒與鐵蓋可以視為剛體， 在橡

7、皮與鐵之間沒有摩擦。 試用位 移法求橡皮塊中的位移、應(yīng)變與應(yīng)力。圖5-64.圖5-8所示矩形薄板，一對邊均勻受拉，另一對邊均勻受壓。由疊加原理求板的應(yīng)務(wù)和位移。圖5-85. 一矩形截面構(gòu)件受沿軸向的簡單拉伸及繞x、y軸的彎矩作用，如圖 5-9所示。不計體力。六個應(yīng)力分量為z 0,yzzxxy 0試用平衡方程和B-M方程求z的函數(shù)形式。并利用端面邊界條件a yzdAA zxdAA (x yz y zx)dA 0AAA zdAPx, Ay zdA Mx， Ax zdAAA確定積分常數(shù)。（A為端部橫截面面積,y軸分別為截面的對稱軸。截面對x、 y軸的慣性矩分別為I y ,設(shè)坐標(biāo)原點處無平移和轉(zhuǎn)動）x

8、 6.在一半平面的邊界處，作用有自平衡的面力t10,t2 sin 。試說明（通過求解）該面力引起的應(yīng)力場在表面以下呈指數(shù)衰減，并以及論證在這一問題上圣維南原理適用。5.DATE: 2001-10-21.2.課堂上用猜測的方法，并引用唯一性定理，得到了簡單拉伸問題的位移場。請利用已得 的應(yīng)變表達式和六個應(yīng)變-位移關(guān)系來嚴(yán)格地導(dǎo)出這一位移場。考慮純彎曲問題，在不變彎矩作用下柱體的軸線（即材力中所說的撓度曲線應(yīng)為一段圓?。?。而根據(jù)課堂上的推導(dǎo)，橫向撓度u1 0,0, x3 , u2 0,0, x3均正比于x；,即為拋物線。試解釋產(chǎn)生這一不同的原因?？紤]由端面反對稱自平衡的面力分布而導(dǎo)致的對矩形梁彎曲

9、問題的修正解。 解衰減指數(shù)的特征方程。求出制約該修正6. DATE: 2001-10-91 .半徑為a的圓截面桿兩端作用扭矩 Mz。試寫出此桿的應(yīng)力函數(shù)，并求出剪應(yīng)力分量，最大剪應(yīng)力及位移分量。2 .用位移法導(dǎo)出圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力和扭角公式。3 .若柱體扭轉(zhuǎn)時橫截面上應(yīng)力為xz Gy, yz G x,證明該柱體截面是圓。4 .考慮一個單連通域的橫截面，證明在條件22 in A 和 0 on C應(yīng)力函數(shù) 可唯一確定。A5.考慮一個單連通的橫截面， 從中切去一個由應(yīng)力函數(shù)等高線所界定的單連通域。試證明:1 .新的、雙連通的橫截面所對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)仍為 原來的應(yīng)力函數(shù)。2 .該環(huán)形域的扭轉(zhuǎn)剛度為原問題的

10、扭轉(zhuǎn)剛度與 （挖去的）芯部區(qū)的扭轉(zhuǎn)剛度之差。7. DATE: 2001-10-171.（思考題）無窮長板條含半無窮長裂紋，求z , 3 ,u3,裂尖應(yīng)力強度因子。2.（思考題）試推導(dǎo)這張表中的所有結(jié)果，并與 Saint-Venant假設(shè)下的估算結(jié)果相比較。形狀扭轉(zhuǎn)剛度Mp橢圓3,3a b-272ab正方形半圓正三角形等腰直角三角形40.1406a40.29756a4ah3303（h 丁）40.026091ab aN1234568101001/3矩形ab(a>b)ab3N(3.求裂紋尖端第二項所對應(yīng)的平面位移u3和剪應(yīng)力 3132。論述該項對于何種邊值問8. DATE: 2001-10-2

11、0考慮無體力的平面問題，此時Airy應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程2 20。1 .證明對兩個調(diào)和函數(shù)和（即20和20）,可構(gòu)造x2滿足調(diào)和方程。2 .利用應(yīng)力的Airy應(yīng)力函數(shù)表達式（無體力），構(gòu)造以 和 表達的應(yīng)力式。3 .考慮一個半平面問題，x20 ,且在邊界上僅承受正應(yīng)力，即12、00 X,證明其所對應(yīng)的解答可寫為X2 0X2X14 .由此證明在邊界僅受正應(yīng)力的半平面沿邊界必然有11X2 022X2 0(A)5 .你認(rèn)為上述導(dǎo)致（A）的證明是否嚴(yán)格有無例外情況 9. DATE: 2001-10-31 1.書中設(shè)在厚壁管外套以絕對剛性的外套，使管不能發(fā)生軸向位移。 厚壁管受均勻內(nèi)壓力 q （圖7-

12、50）,試求厚壁管中的應(yīng)力及位移。圖 7-502.圖7-51所示薄圓環(huán)，在r a處固定，在r b處受均勻分布的剪力。以位移法及應(yīng)力函數(shù)法求圓環(huán)中的應(yīng)力和位移。圖 7-513.考慮無窮遠處受均勻剪切xv的無窮大平面彈性體，xy平面內(nèi)有一半徑為 a的剛性體，它與彈性體理想粘合，即ur u 0, on r a,求解該問題的應(yīng)力場，并確定沿孔邊環(huán)向應(yīng)力的最大值及位置。若要保持該剛性體既不移 動也不轉(zhuǎn)動，需要在該剛性體施加力或力偶嗎10. DATE: 2001-11-11習(xí)題1 .圖7-53所示曲梁（二分之一圓環(huán)），其上端周向應(yīng)力（）0的合力為P,對坐標(biāo)原 點O的力矩為零。求曲梁的應(yīng)力。圖 7-532

13、.圖7-54所示橢圓薄板中心有一小圓孔，其半徑為a。板的外邊界作用有均勻分布的法向拉應(yīng)力p。試求應(yīng)力集中系數(shù)。圖 7-543 .在距地面深為h處，挖一直徑為d的圓形長孔道，孔道與地面平行（圖 7-55）。巖 石比重為，彈性模量為E ,泊松比為v。試求孔邊最大應(yīng)力（絕對值）的值及發(fā)生的位置。4 .推導(dǎo)以復(fù)勢 （z）和（z）表示的最大剪應(yīng)力max及主應(yīng)力1、2的表達式。5 .圖8-19所示懸臂薄板，厚度為 1,長為l ,高度為2h ,無體力作用。設(shè)復(fù)勢為/ 、 a - 2(z) iz8h圖 8-19其中a為實數(shù)。求板所受的邊界載荷與所發(fā)生的位移。6 .曲桿如圖8-21所示。在每一端面上受彎矩 M的

14、作用，桿由半徑為a和b的圓弧確定,徑向線具有張角（2 ）。此問題可由形如(z) Azln z Bz,(z) C/z圖 8-21的復(fù)勢解決，試確定常數(shù)A、B和C （A、B、C可以是復(fù)常數(shù)）。7 .圖8-22所示圓柱體受內(nèi)壓R及外壓P2作用。試作如下應(yīng)力函數(shù)圖 8-22B(z) Az,(z) 一z確定其應(yīng)力和位移分量。（考慮平面應(yīng)力情況）8 .思考題求解下列曲梁11. DATE: 2001-12-211在Boussnesq解系中，利用解 E并取 一，找出其對應(yīng)的應(yīng)力和位移場。證明由Rr ztan （ 為錐角）所定義的錐體表面無面力作用。并利用該結(jié)果求一個傳遞扭矩為 T的錐體中的應(yīng)力場。10-4用余虛功原理計算圖 10-22中半圓曲梁中點 B處向上