向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

1、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1 .線性組合設(shè)ai,a2, atRn,k1, k2,ktR ,稱k1alk2a2ktat為 a1,a2,at 的一個線性組合。ki j、，一，、一a一，k2、【備注1】按分塊矩陣的運算規(guī)則，k1al k2a2ktat (a1,a2, ,a) 。這Mkt樣的表示是有好處的。2 .線性表示設(shè)備電，,at Rn , b Rn,如果存在ki,k2, ,kt R,使得b k1al k2a2ktat則稱b可由a1,a2, , Q線性表示。k1k2b卜向 k2a2ktat ,與成矩陣形式，即b (a1,a2, ,at)。因此，b可12 t Mktk1由a且2,出線性表示即線性方程

2、組(a1,a2,同)"b有解，而該方程組有解12 t Mkt當且僅當 r(a1,a2, 自)r(a1,a2, ,at,b)。3 .向量組等價設(shè)a冏，自后心，M Rn,如果a1,a2,生中每一個向量都可以由b1,b2, M線性表示，則稱向量組a1,a2,自可以由向量組b1,b2, ,bs線性表示。如果向量組a1,a2, ,at和向量組bb2, ,bs可以相互線性表示，則稱這兩個向 量組是等價的。向量組等價的性質(zhì):(1)自反性 任何一個向量組都與自身等價。 對稱性 若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。(3)傳遞性 若向量組I與II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III

3、等價。證明：自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡單計算即可得到。設(shè)向量組I為闞色，,ar ,向量組II為b,b2, ,bs,向量組III為g,c2, ,ct。t向量組II可由III線性表示，假設(shè)bjk 1s組II線性表小,假設(shè)a,xjibj , i 1,2,j1ss ta Xjibj Xji YkjCkj1j1k1ykjCk, j 1,2, ,So向量組I可由向量,r。因此，ts(ykjXji )ck ， i 1,2, rk1 j1因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次，同 樣可得出，向量組III可由I線性表示。因

4、此，向量組I與III等價。結(jié)論成立!4 .線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)0©, ,at Rn ,如果存在不全為零的數(shù)KH, ,kt R ,使得Ka 0則稱a1,a2,同線性相關(guān)，否則，稱&且2, ,at線性無關(guān)按照線性表示的矩陣記法，a1,a2, , at線性相關(guān)即齊次線性方程組k1,、k2 c(al ,a2, , at )0Mkt有非零解，當且僅當r(a1,a2, ,at) ta1,a2, ,at線性無關(guān)，即k1k2 (a®, ,at)0Mkt只有零解，當且僅當r(a1, a2, ,at) t。特別的，若t n ,則ai,a2, ,an Rn線性無關(guān)當且僅當r(a1,a2,

5、 ,an) n ,當且僅當(ai,a2, , an)可逆， 當且僅當(&,a2, ,an) 0 °例1.單獨一個向量a Rn線性相關(guān)即a 0,線性無關(guān)即a 0。因為，若a線性相關(guān)，則存在數(shù)k 0,使得ka 0,于是a 0。而若a 0,由于1a a 0 , 1 0 因此，a線性相關(guān)。例2.兩個向量a,b Rn線性相關(guān)即它們平行，即其對應(yīng)分量成比例。因為，若a,b線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2，使得k1a k2b 0。1*2不全為零，不妨假設(shè)k1 0,則ak2b ,故a,b平行，即對應(yīng)分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假設(shè)存在，使得a b ,則a b 0 ,于是a, b

6、線性相關(guān)。R3都可以由其線性表示，且表示1 0 0x1例3. 0 , 1 , 0線性無關(guān)，且任意x x2X3方法唯一。事實上,00X2 1X3 001X11XX2X1 0X305 .線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)(1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。證明:設(shè)4冏，向 Rn ,其中有一個為零，不妨假設(shè) 為0,則0 al 0 a20 at 1因此，出且，為線性相關(guān)。(2)若一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個向量所形成的新向量組仍然線性相 關(guān)；若一向量組線性無關(guān)，則其任意部分向量組仍然線性無關(guān)。證明：設(shè)ai,a2, ,at, 1, 2, , s Rn , a1,a2, ,at線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù)

7、ki, k2, , kt ,使得00 s 0s線性相關(guān)。這樣,k1, k2k1a1ktat 0kt不全為零，因此a1 , a2 , atktat02后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3)若一個向量組線性無關(guān)，在其中每個向量相同位置之間增添元素，所得到的 新向量組仍然線性無關(guān)。證明：設(shè)ai,a2, ,at Rn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量，b1,b2,最后一個分量之后，成為ai , a911a21at Kk2kt 1bl 2 b2t bt 則 Kq k2a2ktat 0。由向量組91，92, k1 k2kt 0 o結(jié)論得證！ (4)向量組線性相關(guān)當且僅當其中有

8、一個向量可以由其余向量線性表示。 證明： 設(shè)a1，a2, ,at Rn為一組向量。 , , 9tKa k2a2 k1bl k2b2ktatt t 0ktbt,at線性相關(guān)，可以得到ab2btKa 0ki,k2, ,kt不全為零，設(shè)kj 0,則kiaikj 同 1 kj 同 1ktataj k充分性若aa2,出中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè)aj可以表小成ai,，aji, aji,a的線性組合，則存在一組數(shù)ki, kji, kj i, kt,使得ajkiaikj iaj ikj iaj iktat也就是kiaikj iaj iajkj iaj iktat0但ki, , kj i, i

9、,kj i, ,kt不全為零,因此，ai,a2,向線性無關(guān)。【備注2】請準確理解其意思，是其中某一個向量可以由其余向量線性表示，而不是全部向量都可以。(5)若ai,a2, ,at Rn線性無關(guān)，b Rn ,使得ai®, ,at,b線性相關(guān)，則b可由 ai,a2, ,at線性表示，且表示方法唯一。證明：ai,a2, ,at,b線性相關(guān)，因此，存在不全為零的數(shù) 匕*2, ,*冗i,使得kiai k2a2ktat kt ib 0kt i 0,否則kti 0,則kiai k2a2匕4 0。由aa2, 向線性無關(guān)，我們就得到ki k2kt 0 ,這樣，ki,k2, ,kt,kt i均為零，與其

10、不全為零矛盾！這樣,kiai k2a2ktatb kt i因此，b可由a1,a2, , a線性表示。彳貿(mào)設(shè) b x1al x2 a2歿at y1a1 y2a2ytat ,貝11(xi yi)ai (X2 y2)a2(xt yt)at 0由a®,出線性無關(guān)，有為y x? y2為 5 0,即xi yi,x2 y2, ,xt yt因此，表示法唯一?！緜渥?】剛才的證明過程告訴我們，如果向量b可由線性無關(guān)向量組ai, ,at線 性表示，則表示法唯一。事實上，向量 b可由線性無關(guān)向量組ai,出線性表示，即線性方程組(句, , at)x b有解。而向, , at線性無關(guān)，即r(ai, ,at)

11、t。因此,若有解，當然解唯一，即表示法唯(6)若線性無關(guān)向量組a1,a2,4可由向量組Db, ,bs線性表示，則t證明:假設(shè)結(jié)論不成立,于是ai,a2, ,at可由bb, ,bs線性表示。假設(shè)aix21b2a2xi2hx22 b2xi2xs2bs(h,b2, ,bs) x22 ,Mxiix2ixsibs(DM,bs)，si s i 2 s Mxs2xitatxit bix2tb2,八，,x si2txstbs (h,b2, ,bs) 一 ，M任取 ki, k2, , kt ,則kak2a2kxl1x12Lx1t由于 x21x22Lx2tM MO MXs1Xs2LXstk1k20，,at)(hb

12、,Mkt為一個s t階矩陣，而tX11X12LX1tX21X22LX2tXMMOMXs1Xs2LXstX11X12LX1tk1X21X22LX2tk2,bs)MMOMMXs1Xs2LXstkts,因此，方程組k1必有非零解，設(shè)為k2M kt00因此，存在一組不全為零的數(shù)k1,k2, ,kt,使得k1al k2a2ktat 0。因此，向量組a1,a2, ,at線性相關(guān)，這與向量組a1,a2, ,at線性無關(guān)矛盾！因此，t s。(7)若兩線性無關(guān)向量組a1,a2,向和匕電，bs可以相互線性表示，則t s證明：由性質(zhì)(6), t s, s t,因此，s t o【備注4】等價的線性無關(guān)向量組所含向量個

13、數(shù)一樣。(8)設(shè)備電，,at Rn, P為n階可逆矩陣，則&且2,仇線性無關(guān)當且僅當Pa1，Pa2, ,Pat線性無關(guān)。b可由a1,a2,出線性表示，當且僅當Pb可由Pa1,Pa2, ,Pat線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明:由于P可逆，因此k1a1k2a2kt at0P(k1al k2a2kta) 0K(Pa) k2(Pa2)kt (Pat) 0k1al k2a2ktat bP(ki&K(Pa) k2(Pa2)ktat) b kt(Pat)Pb如此，結(jié)論得證!6.極大線性無關(guān)組定義1設(shè)ai,a2, ,at Rn ,如果存在部分向量組 a出2, ar ,使得(1)

14、 ah, ai2,電線性無關(guān)； ai,a2,A中每一個向量都可以由ah,ab, ,air線性表示；則稱a%，為a1,a2,仇的極大線性無關(guān)組?！緜渥?】 設(shè)a0，,at Rn , 2八尾，風(fēng)為其極大線性無關(guān)組。按照定義，a1,a2, ,at可由風(fēng)，劭，間線性表示。但另一方面，ah, ai2, ,ar也顯然可以由a1,a2, ,at線性表示。因此，a1, a2, , a與a%,即，用等價。也就是說，任何一 個向量組都與其極大線性無關(guān)組等價。向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個， 但都與原向量組等價，按照向量組 等價的傳遞性，它們彼此之間是等價的，即可以相互線性表示。它們又都是線性 無關(guān)的，因此，由

15、之前的性質(zhì)(7),向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組含有相同 的向量個數(shù)。 這是一個固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關(guān) 組的選取無關(guān)，我們稱其為向量組的 秩，即向量組的任何一個極大線性無關(guān)組所 含的向量個數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組a1,a2,出線性無關(guān)，充分必要條件即其秩為t。定義2設(shè)a1,a2, ,at Rn ,如果其中有r個線性無關(guān)的向量 耳目2, ar ,但沒有 更多的線性無關(guān)向量，則稱ah, ai2, ,%為a1,a2, ,at的極大線性無關(guān)組，而r為 a1,a2, , at 的秩?！緜渥?】定義2生動地體現(xiàn)了極大線性無關(guān)組的意義。 一方面，有r個線性無 關(guān)的向量，體現(xiàn)了

16、 “無關(guān)性”，另一方面，沒有更多的線性無關(guān)向量，又體現(xiàn)了“極大性”【備注8】兩個定義之間是等價的。一方面，如果 ai1,a2, ,ar線性無關(guān)，且ai,a2, ,at中每一個向量都可以由 氣邑，ar線性表示，那么，ai©, ,a就沒 有更多的線性無關(guān)向量，否則，假設(shè)有，設(shè)為 bi,b2, ,bs, s r 0 bi,b2, ,bs當然 可以由aii©2，電線性表示，且還線性無關(guān)，按照性質(zhì)(6), s r,這與假設(shè)矛盾！另一方面，假設(shè)a，ai2, ar為ai,a2, ,at中r個線性無關(guān)向量，但沒有更多 的線性無關(guān)向量，任取a1,a2, ,at中一個向量，記為b ,則向仔即，

17、ai，b線性相 關(guān)。按照性質(zhì)(5), b可有%, , 凡線性表示(且表示方法唯一)?！緜渥?】設(shè)向量組用a2, , at的秩為r ,則其極大線性無關(guān)向量組含有r個向量反過來，其中任何r個線性無關(guān)向量所成的向量組也是ai,a2,出的一個極大線性無關(guān)組。這從定義即可得到6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的 秩稱為矩陣A的行秩 定理i任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩 證明:設(shè)A (aj) Rm n , r(A) r。將其按列分塊為A 0，aj。存在m階可逆矩陣P ,使得PA為行最簡形，不妨設(shè)為10 L 0 n,r+i Lb1m1 L 0b2

18、,riLb2,nPA (Pai,Pa2, ,Pan)0MM L M1br,r i Lbr,n00L00L0LLLL L LL00L00L0100010MMM0,0, , 1線性無關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此，000MMM000100010MMM0,0, , 1為PA的極大線性無關(guān)組，其個數(shù)為r ,因此，a1,a2, ,a線性無000MMM000關(guān)，且A中其余列向量均可由其線性表示（且表示的系數(shù)不變）。因此，A的列秩 等于A的秩。bT將A按行分塊，A M，則AT （b,b2, ,bm）,因此，按照前面的結(jié)論，A £的行秩為AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明

19、完畢！【備注10】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。7 .擴充定理定理2設(shè)a1,a2, ,at Rn ,秩為r , a§, a2, ,aik為其中的k個線性無關(guān)的向量，k r ,則能在其中加入a1,a2,仇中的（r k）個向量，使新向量組為a1,a2, a的 極大線性無關(guān)組。證明：如果k r ,則ai1, a2, ,aik已經(jīng)是a1,a2, a的一個極大線性無關(guān)組，無須再 添加向量。卜不是a1,a2, ,at的一個極大線性無關(guān)組，于是,Ma2, ,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為aik 1 ,由性質(zhì)(5),向量組ai1 , ai2 , aik , aik 1 線性無關(guān)。

20、如果k 1 r ,則ai1,a2, ,aik,aikl已經(jīng)是a1,a2, ,at的一個極大線性無關(guān)組，無須再添加向量。如果k 1 r ,則為,電，ak, aik 1不是a1, a2,生的一個極大線性無關(guān)組，于是，ai,a2, ,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為 劭？，由性質(zhì)(5),向量組aii , ai2 , aik , aik i , aik 2 線性無關(guān)。同樣的過程一直進行下去，直到得到r個線性無關(guān)的向量為止?！緜渥?1】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。只是，這方法 并不好實現(xiàn)。8 .求極大線性無關(guān)組并將其余向量由極大線性無關(guān)組線性表示求向量組a1,a2, at Rn的極大

21、線性無關(guān)組，可以按照下面的辦法來實現(xiàn)。將a1,a2, at合在一起寫成一個矩陣 A 0，a);(2)將A通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形，不妨設(shè)化得的行階形為bn b12 Lb1r0 b22Lb2rM LOMA 00 Lbrr00L0MLLM00L0bi,r 1Lbi,nb2, r 1Lb2, nMLMbr,r1Lbr,nB, b.0L0MLM0L00,i 1,2, ,r , r r (A)(3)在上半部分找出r個線性無關(guān)的列向量，設(shè)為j1,j2, ,jr歹I，則j1,j2, ,jr為B 列向量組的極大線性線性無關(guān)組， 也是A列向量組的極大線性線性無關(guān)組， 也就 是a1, a2, at的極大線性無關(guān)組。r階的為了在上