人教A版數學必修一《指數函數、對數函數、冪函數》綜合提高知識講解

1、指數函數、對數函數、募函數綜合【學習目標】1 .理解有理指數哥的含義，掌握哥的運算.2 .理解指數函數的概念和意義，理解指數函數的單調性與特殊點。3 .理解對數的概念及其運算性質。4 .重點理解指數函數、對數函數、哥函數的性質，熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理5 .會求以指數函數、對數函數、塞函數為載體的復合函數的定義域、單調性及值域等性 質.6 .知道指數函數 y ax與對數函數y log ax互為反函數(a >0, aw 1).【知識框圖】【要點梳理】要點一、指數及指數哥的運算1.根式的概念n*a的n次萬根的定義：一般地，如果x a

2、,那么x叫做a的n次萬根，其中n 1,n N當n為奇數時，正數的 n次方根為正數，負數的 n次方根是負數，表示為 嗎；當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數可以表示為負數沒有偶次方根,0的任何次方根都是0.式子n a叫做根式,n叫做根指數，a叫做被開方數.2.n次方根的性質:當n為奇數時,a；當n為偶數時，療|aa,aa, a0,0；(2)nan a3 .分數指數哥的意義:m _ n n _ man a a 0, m,nmN,n 1 ； a n1八一a 0,m,n a%要點詮釋：0的正分數指數哥等于 0,負分數指數騫沒有意義4 .有理數指數哥的運算性質:a 0,b 0,r,s

3、Qr s r s,r、srsr r r（1） a a a （2） （a ） a （3） ab a b要點二、指數函數及其性質1 .指數函數概念一般地，函數y ax a 0,且a 1叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.2.指數函數函數性質:函數 名稱指數函數定義函數y ax（a 0且a 1）叫做指數函數圖象a 10 a 1V、y 1xX /ya/(0,1)xx / y ayy(0,1)O0 xO0 x定義域R值域(0,)過定點圖象過定點（0,1），即當X 0時，y 1.奇偶性非奇非偶單調性在R上是增函數在R上是減函數函數值的 變化情況ax 1 (x 0)ax 1 (x 0)ax 1

4、(x 0)ax 1 (x 0)ax 1 (x 0)ax 1 (x 0)a變化對 圖象的影 響在 A象限內，從逆日用方向看圖象，a逐漸增大；在第二象限內，從逆時針方向看圖象，a逐漸減小.要點三、對數與對數運算1 .對數的定義若ax N (a 0,且a 1),則x叫做以a為底N的對數，記作x loga N ,其中a叫做底數，N叫做真數.(2)負數和零沒有對數.(3)對數式與指數式的互化：x loga N ax N(a 0,a 1,N 0).2 .幾個重要的對數恒等式logal 0, log a a 1 , loga ab b .3 .常用對數與自然對數常用對數：lg N ,即logi0 N ；自然

5、對數：ln N ,即logeN (其中e 2.71828).4 .對數的運算性質如果a 0,a 1,M0, N 0,那么加法：loga M loga N loga(MN )減法：loga M loga N loga M N數乘：nloga M loga M n(n R) alogaNN logbMn -loga M (b 0,n R) a b換底公式：loga N 姐bN(b 0,且b 1) logb a要點四、對數函數及其性質1 .對數函數定義一般地，函數 y loga x a 0,且a 1叫做對數函數，其中 x是自變量，函數的定義域0,.2.對數函數性質:函數 名稱對數函數定義函數y lo

6、ga x(a 0且a 1)叫做對數函數圖象a 10 a 1y /i x 1y loga x1-y -卜 x 110ga x_4口(1,0)O(1，0)xOx定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當x 1時，y 0.奇偶性非奇非偶單調性在(0,)上是增函數在(0,)上是減函數log ax 0 (x 1)10ga x 0 (x 1)函數值的10g ax 0 (x 1)10ga x 0 (x 1)變化情況10g ax 0 (0 x 1)log a x 0 (0 x1)a變化對在A象限內，從順時針方向看圖象，a逐漸增大；在第四象限內,從順時囪家刑修針方向看圖象，a逐漸減小.響要點五、反函數

7、1.反函數的概念設函數yf(x)的定義域為A,值域為C,從式子y f(x)中解出x,得式子x (y).如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x (y), x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x (y)表示x是y的函數，函數x(y)叫做函數y f(x)的反函數，記作x f1(y),習慣上改寫成y f 1(x).2 .反函數的性質(1)原函數y f(x)與反函數y f1(x)的圖象關于直線y x對稱.(2)函數y f(x)的定義域、值域分別是其反函數y f 1(x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數y f(x)的圖象上，則p'(b,a)在反函數y f 1(x)的圖象上.(4) 一

8、般地，函數y f(x)要有反函數則它必須為單調函數要點六、哥函數1 .備函數概念形如y x (R)的函數，叫做哥函數，其中 為常數.2 .募函數的性質(1)圖象分布：哥函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限 無圖象.哥函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于y 軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對 稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限(2)過定點：所有的哥函數在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1).(3)單調性：如果 0,則募函數的圖象過原點，并且在0,)上為增函數.如果 0,則哥函數的圖象在(0,)上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近 x軸

9、與y軸.為偶數時，哥函數為偶函數.當(4)奇偶性：當 為奇數時，哥函數為奇函數，當q(其中p,q互質，p和q Z),若p為奇數q為奇數時，則y xp是奇函數，若p Pqq圖象特征：哥函數y x , x (0,)，當1時，若0 x 1,其圖象在直線y x為奇數q為偶數時，則y xp是偶函數，若p為偶數q為奇數時，則y xp是非奇非偶函下方，若x 1 ,其圖象在直線 y x上方，當1時，若0 x 1,其圖象在直線 y x上方，若x 1 ,其圖象在直線y x下方.【典型例題】類型一：指數、對數運算例1.計算 血任 log2 12 110g242; (2) lg32 lg3 5 3lg2lg5；21

10、W7 1g5 2 Tg8 1g51g 20 1g2 2； (4) 71g2032【思路點撥】運算時盡量把根式轉化為分數指數騫,【答案】(1)1 ； (2)1 ； (3)3 ; (4)14 。2而小數也要化為分數為好解析】(1)原式= log2 7-Li 12 =Jlog2 1=4,3,7 ；6,2ilog2 2 2(2)原式=lg2 lg5 lg22 lg21g5lg25 3lg 2lg52= lg10 lg5 lg2 3lg 2lg 5 3lg 2lg 5=1- 3lg 2lg5 +3lg 2lg5 =1 原式二 2lg5 2lg2lg5 1 lg2 lg2 2=2 lg5 lg2lg5 l

11、g2(lg2 lg5)=2+lg5 lg2=3;lg0.7令x71g201,兩邊取常用對數得2lg0.71gx lg 7lg20 2=1 1g21g7(lg7 1)( lg2)=lg7 lg 2lg7 lg 2lg7 lg2 =lg14lg0.7x 14,即 71g20=14。2【總結升華】這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧.舉一反三：【變式 1】21og510 1og50.25 =()A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】210g 5 10 1og5 0.2

12、5 = 1og5 102 1og5 0.25 1og5(100 0.25) 1og5 25 2?！咀兪?2】(1) (lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25; (2) (1孫2 臉2) (*3 log 8 3) o5【答案】(1)2 ; (2)一。4(1g2 1g5 1)1g 2 21g5【解析】(1)原式(1g 2)2 (1 1g5)1g 2 1g5 2(1 1)lg2 21g52(lg2 lg5) 2；(2)原式(”1g3羚(監(jiān)1g9 1g 4嗎小Jgl) (里 1g3 )1g8， Jg3 21g3，21g 2 31g 2,31g 2 51g 32lg 3 6lg 2類型二：指數函

13、數、對數函數、哥函數的圖象與性質例2.設偶函數f(x)滿足f(x)8(x0),則 x| f(x 2) 0 =()A. x | x2或xB.C. x | x 0或xD.f(x)解得xQ f (x)3x3x0,32,或4,8(x8,x 0,8,x2,0.0,Bo0)且f (x)是偶函數.0,328 0【總結升華】考查解不等式組及函數解析式，考查函數性質的綜合運用 舉一反三：【變式1】已知函數f(x)3x1,x 0,升10g2X,x 0，右 f(x0)3 ,則x0的取值范圍是().A. Xo8 B.x00或xO8 C.x08 D.xo0 或0xo【解析】依題意x03"103或Xo 0,10

14、g2 Xox0x00, 或1 1xo 0,10g2% 10g2 8x08 ,故選A。1og2 x,x0,例3.設函數f(x)log2( x), x 02若 f (a)f( a)，則實數a的取值范圍是A. 1,0 U 0,1 B.1 U 1,C. 1,0 U 1,D.,1 U 0,1【解析】解法一：若log 2 alog 1 a ,得 log2 a2,1m1i,log 2 ，仔a,解信a1。aa若a 0,則a 0,1、，、10g 1( a) 10g2( a),10g2( -) 10g2( a)2a解得a 1,1由可知a 1,0 U 1,解法二：特殊值驗證令 a 2, f(2) 1og22 1,f

15、( 2)1 ,滿足 f (a) f ( a),故排除 A、D=令 a 2, f( 2)1, f(2) 1不滿足f (a)f( a),故排除Bo【總結升華】本題考查了分段函數的性質、分類思想的應用【高清課堂：哥指對函數綜合377495例1】2例4.函數y 10gl (x 6x 8)的單倜遞增區(qū)間是()3A. (3, +8)B . ( 8, 3)C . (4, +8) D .(巴 2)【思路點撥】這是一個內層函數是二次函數，外層函數是對數函數的復合函數，其單 調性由這兩個函數的單調性共同決定，即“同增異減”【答案】D【解析】函數 y log 1(x2 6x 8)是由y 10gl u,u x2 6x

16、 8復合而成的， 33y logj是減函數，u x2 6x 8在 ,3上單調遞增，在3, 上單調遞減，由對 3數函數的真數必須大于零，即x26x 8 0,解得 x 4或 x 2 ,所以原函數的單調遞增區(qū)間是，2，故選d例5.若函數yA.mw -1【思路點撥】對【答案】B.【解析】y(2)1 x1m的圖象與x軸有公共點，則 m的取值范圍是()B.-1 & m<0 C.m >1x進行討論，去掉絕對值，畫出圖象。D.0<m < 1(2)11 *1 x 1(2)x 1(x 1)x 12 (x 1)畫圖象可知-1 < m<0.解題的出發(fā)點仍然是【總結升華】本題

17、考察了復雜形式的指數函數的圖象特征,a 1,0 a 1兩種情況下函數y ax的圖象特征 舉一反三：【變式1】函數y 21x11的圖象是()【答案】B【解析】先作出y 2x(x 0)的圖象，然后作出這個圖象關于 y軸對稱的圖象，得到y(tǒng) 2|x|的圖象，再把y 23的圖象右移一個單位，得到 y 2x1的圖象，故選B|lgx|,0 x 10,【變式2】已知函數f(x) 1若a,b,c互不相等，且-x 6,x 10. 2f(a) f (b) f (c),則abc的取值范圍是()。A. (1, 10) B. (5, 6)C.(10, 12) D.(20, 24)【答案】C【解析】由a,b,c互不相等，結

18、合圖象可知：這三個數分別在區(qū)間(0,1 ),(1,10),(10,12 )上，不妨設 a (0,1),b (1,10),c (10,12),由 f (a) f(b)得 lga lg b 0,即 lg ab 0,所以ab 1 ,所以abc 10,12 ,故選C.【總結升華】考查利用圖象求解的能力和對數的運算，考查數形結合的思想方法。類型三：綜合問題例6.已知定義域為2xR 的函數 f(x) x-1-(1)求a, b的值；(2)若對任意的t【思路點撥】(1)R,不等式f(t2 2t)利用奇函數的定義去解。一是奇函數.af(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范圍.(2)先判斷函數f(x)的單調性，由

19、單調性脫掉函數符號f ,轉化成二次函數問題去解決。1【答案】(1) a 2,b 1 ； (2) k -o3【解析】(1)因為f(x)是R上的奇函數，所以 f (0)0,即從而有f(x)x21一，不2i.又由f(1)2 af( 1)知1 b2 a1 121 a0,解得b 12x 1(2)解法一：由(1)知 f (x) f 22由上式易知f (x)在R上為減函數，又因222f (t 2t) f (2t k) 0 等價于 f(t12 f(x)2x日衣1函數,從而不等式因f(x)是R上的減函數，由上式推得 t2t)2tf (2t 2t22 k) k.f(2t2 k).即對一切tRT3t22t k 0,

20、從而12k0,解得k解法二：由(1)知f (x)2x 1又由題設條件得2t22 x 12t 1222t2 k一 2.即(22t k 1整理得23t22)( 2t2 2t21)22t(2t22t 1上式對一切2t k 1,因底數2>1,故 3t22)( 22 2t2t2 k1) 00t R均成立，從而判別式4 12k0,解得k【總結升華】對于含指數式、對數式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解 舉一反三：【變式 1】已知函數 f (x) loga x 1 loga 1 x ,(a>0,且 aw 1).(1)求函數f (x)的定義域；(2)判斷

21、函數f (x)的奇偶性，并說明理由；/、兒1(3)設a ,解不等式f (x) >0. 2 x 1 0. 一【解析】(1)依題意知，'解得1 x 11 x 0.函數f (x)的定義域為 x| 1 x 1(2)函數f(x)是奇函數任取x 1,1 , x 1,1 ,所以f(x) f( x) loga(x 1) loga(1 x) loga( x 1) log a(1 x) =0x 110g不所以函數f(x)是奇函數。，、1(3)因為a ,所以f(x) 2x 1x 1由 f (x) log 1 0 ,得 0 12 1 x1 x解得1 x 0x | 1 x 0?！靖咔逭n堂：哥指對綜合377495例5】例7.設f(x)上衛(wèi)紅(其中3a為實數)，如果當x (,1時恒有f(x) 0成立，求實數a的取值范圍.【思路點撥】由題意知，原不等式轉化成a要求出不等式右邊部分的最大值就可以了?！敬鸢浮縜 1【解析】依題意，1 2x 3x a 0 axx12一 .一1-在 ,1上恒成立，只33xx12,、在 ,