中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值(含答案)

1、專題 4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值專題知識(shí)梳理1.函數(shù)的極值(1) 函數(shù)極值定義 :一般地，設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0附近有定義，如果對(duì) x0附近的所有的點(diǎn)， 都有 f(x)< f(x0)， 就說(shuō) f ( x0 )是函數(shù) f (x)的一個(gè)極大值，記作 y 極大值= f(x0),x0是極大值點(diǎn)。如果對(duì) x0附近的所有的點(diǎn)，都 有 f(x)> f(x0).就說(shuō) f ( x0 )是函數(shù) f (x)的一個(gè)極小值，記作 y 極小值= f(x0)， x0是極小值點(diǎn)。極大值與極 小值統(tǒng)稱為極值 .(2) 判別 f(x0)是極大、極小值的方法 :若 x0滿足 f (x0) 0，且在 x0的兩側(cè)

2、 f(x) 的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則 x0是 f (x)的極值點(diǎn)， f(x0) 是極值，并 且如果 f (x)在x0兩側(cè)滿足 “左正右負(fù) ”，則 x0是 f ( x)的極大值點(diǎn)， f ( x0 )是極大值；如果 f (x)在x0兩 側(cè)滿足 “左負(fù)右正 ”，則 x0是 f(x) 的極小值點(diǎn)， f(x0) 是極小值 .(3) 求可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值的步驟 : 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù) f (x) ;求出方程 f (x) = 0的定義域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.標(biāo)出 f (x) 在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得

3、極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值。根據(jù)表格下結(jié)論并求出需要的極值。2. 函數(shù)的最值(1)定義：若在函數(shù) f(x)的定義域 I內(nèi)存在 x0 ,使得對(duì)于任意的 x? I ,都有 f(x)f(x0),則稱 f (x0)為 函數(shù)的最大值，記作ymax = f(x0);若在函數(shù) f(x) 的定義域 I 內(nèi)存在 x0 ,使得對(duì)于任意的 x? I ,都有f(x)3 f(x0),則稱 f (x0)為函數(shù)的最小值，記作 ymin = f(x0);(2)在閉區(qū)間 a,b 上圖像連續(xù)不斷的函數(shù) f(x) 在 a,b 上必有最大值與最小值(3)求

4、函數(shù) f (x) 在 a,b 上的最大值與最小值的步驟：求 f(x)在 (a,b)內(nèi)的極值；將 f(x)的各極值與 f(a), f (b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 , 從而得出函數(shù) f(x) 在 a,b 上的最值?？键c(diǎn)探究考向 1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1例】已知函數(shù) f(x)ln x，求函數(shù) f x 的極值 .x11 1 x 1解析】因?yàn)?f(x) ln x，所以 f '(x) 2,令 f (x) = 0，得 x=1，列表:xx xxx(0,1)1(1,+￥)f '(x)-0+fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以 x 1是 f (x)的極小值 1，無(wú)極大值。

5、題組訓(xùn)練1 3 11.函數(shù) f(x)= x3 - 4x+ 的極大值是 ，極小值是 33【解析】 f(x)=x2- 4，令 f(x)=0，解得 x1=-2,x2=2.當(dāng) x變化時(shí)， f(x)， f (x)的變化情況如下 表：x(-￥,-2)2(2,2)2(2,+￥)f (x)00f (x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此，當(dāng) x 2時(shí)， f(x)有極大值 f(2) 3 ；當(dāng) x2時(shí)，f(x)有極小值 f(2) 5.2.已知函數(shù) f (x)x3 ax2 bx a2在x 1處有極值 10，求 f(2) 的值。解析】 f (x) 3x2 2ax b,3 2a b 01 a b a2 10b 3

6、 2aa2 a 12 0a 4 a 3 或b 11 b 3當(dāng) a 3 時(shí), f (x) b323(x 1)2 0, 在 x 1 處不存在極值a4當(dāng) 時(shí)， b 112f (x) 3x2 8x 11 (3x 11)(x 1) ，11x ( 131,1), f (x) 0； x (1,), f (x) 0,符合題意所以a4b 11f (2) 8 16 22 16 18 23.(易錯(cuò)題)若函數(shù) f (x) 2x2 lnx 在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間 (k 1,k 1) 內(nèi) 有極值，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍解析】因?yàn)楹瘮?shù) f (x)2x2 ln x 的定義域?yàn)?(0,)，且 f (x) 4x 1,(xx0)

7、 ，由 f (x) 4x 1 0x(2,)，由 f (x) 4x 1xx (0, 1) ；知函數(shù) f(x) 在(1,22) 上是增函數(shù)，在 (0,1) 上是減函數(shù)2因此要使函數(shù)f(x)2x2 ln x 在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k 1,k 1) 內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，必須且只需k1k1124. 已知函數(shù) f xx32axx 2 a 0 的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)都在區(qū)間1,1 內(nèi) , 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是解析】 f '(x)3x22ax10(2a)2 4 31 a 13 f '( 1) 0 f '(1) 03<a<2考向 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 【例】已知函數(shù)

8、f(x)=xlnx.-2(1) 求函數(shù) y= f(x)在 ?ée- 2 , e?ù上的最值；(2) 若函數(shù) F(x)= f(x)- a在 1, e上的最小值為 3，求實(shí)數(shù) a的值 x21【解析】 (1) 因?yàn)?f(x)lnx1，令 f(x)=0，得 x = ，列表：ex- 2 -1(e-2,e-1)-1 e-1(e ,e)f '(x)-0+fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增1 1 11所以 f( x) min f 1 1ln 1 1.e e ee22 又因?yàn)?f (e 2)2 , f(e)=ee 所以 f (x)max = f(e)=e(2) 由題知 F(x)lnxxa，F(xiàn)

9、(x) xx2a. xx當(dāng) a3-1時(shí)， F'(x)3 0在1, e上恒成立， F(x)在1，e上單調(diào)遞增，33 F (x)min F(1) a ，解得： a=- (舍去 )22當(dāng) a - e時(shí)， F '(x) 0在1, e上恒成立， F (x)在1， e上單調(diào)遞減，a 3eF (x)min F(e) 1，解得： a=- e (舍去 )e 22 -e<a<- 1時(shí)，令 F '(x) = 0,解得 x = - a,列表：x(1,-a)-a(- a,e)F'(x)-0+F(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增F (x)min F( a) ln( a) 1 23 ,

10、解得： a=- e綜上所述， a=- e.題組訓(xùn)練0,2 p 上的最小值為11. 函數(shù) f (x)= x +sin x在區(qū)間2解析】 f '(x) 1 cosx ， x20,2 令 f(x)=0，解得 x1 2 ， x2 41 3 2 3當(dāng) x 變化時(shí)， f(x)， f (x)的變化情況如下表：x0(0, 23p )32p3(23p,43p)4p32pf (x)00f (x)0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值1 4 43由上表可知，函數(shù) f(x) 21x sinx在區(qū)間 0,2p上的極小值為 f(43 ) 43 23所以f(x)1x2sin x在區(qū)間 0,2p 上的最小值為 0.2.設(shè)函數(shù)

11、f(x)axln x (a 0) (1)若f(x) 在上遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍； (2)求 f (x) 在 ,上的最小值又因?yàn)?f (0) 043a1解析】( 1)由已知 f '(x) 0 在2 x x上恒成立，則 a( x)max2，a 2.(2)f '(x) 2 x xa x 22x當(dāng)1a2時(shí)，f (x)在 (1, 42) 上單調(diào)遞減，在4( 2 ,4) 上單調(diào)遞增，a2a2則f(x)minf( 42) 2 2ln 2 2ln a；a當(dāng)0a1時(shí)，f '(x) 0， f ( x)單調(diào)遞減，則f (x)min f(4) 2a 2ln 2；a,a 2綜上f(x)min

12、2 2ln 2 2ln a,1 a 22a 2ln 2,0 a 1考向3最(極)值的綜合問(wèn)題當(dāng) a 2時(shí)， f '(x) 0， f (x)單調(diào)遞增，則 f(x)min f(1) a；【例】已知函數(shù) f(x) x a ln x,a 0 x(1) 求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；a解析】：(1)函數(shù) f(x) x lnx,a 0 的定義域?yàn)?(0, +￥) ,xf '(x)1 xa2x12x x ax2 x(2) 若 f(x) x x2在 (1,+￥)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍1 D=1- 4a0,即a3 時(shí)， f '( x) 3 0恒成立，4所以 f (x) 在

13、 (0,+￥)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)1 D=1- 4a>0,即0<a< 時(shí)，令 f '(x) = 0，解得 x1 411 1 4a1 4a, 列表x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+￥)f (x)00+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù) f (x)的增區(qū)間是 (0,114a), (114a, )，減區(qū)間是 (114a,114a22221 1 4a 1 1 4a 極大值點(diǎn)是 x1, ，極小值點(diǎn)是 x2。22(2) f(x)>x- x2,即x2 a lnx 0,因?yàn)?x? (1, +￥) ,所以 a<x3- xlnxx32令 g(x)

14、 x3 xln x,則h(x) g'(x) 3x2 ln x 1,1 6x2 1h'(x) 6x0 在(1, +￥)上恒成立，所以 h(x)在(1,+￥)上遞增，xxh( x) > h(1)= 2 ,即 g'(x)>0,故g(x)=x3- x ln x在(1, +￥)上為增函數(shù) g(x)>g(1)=1,所以 0<a1.題組訓(xùn)練 1. 已知函數(shù) f x sinxx 的定義域?yàn)?0,2 ,g x 為 f x 的導(dǎo)函數(shù)ex（ 1）求方程 g x 0 的解集；（ 2）求函數(shù) g x 的最大值與最小值；解析】（1）sinx因?yàn)?g(x) f '(x

15、)cosxxecosxxesinx,令 g(x)=0,解得：x= p4或x= 54p2）因?yàn)?gcosx sin x sinx x x x x eeecosxxe2cosxxe（3）若函數(shù) F x f x ax在定義域上恰有 2 個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍0 ，解得 x或 x200,2232 , 23232,22gx00gx1e23e22 e所以 g x 的最大值為 g 01，所以 g x 的最小值為 g 2( 3)因?yàn)?F x所以函數(shù) F x- 3pF'(3p)=0，即 a=e-22,在 x = 3p處同號(hào)，不成立，2不成立。所以 F'(32p)3 0F '(2p

16、) 0，則 F0有 3 個(gè)零點(diǎn)，不成立，所以只有 F'(2p)>0.所以滿足條件：F '(2)g( ) a2F '(2 )g(2 )2. 設(shè)函數(shù)f(x)= x【解析】 f(x) 3x11 f( 1) 2，f(2)7，xe22x- 2x+5 ，2- 3p解得： e 2 a e 2 或 e 2若對(duì)任意的 x ? - 1, 2 ，都有 f (x) > a ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是272，令 f (x) 0，得 3x 2 x 2 0，解得 x1 或 x3，又 f(1) 2，2 157 ，3 27 ，故 f(x) min 27，所以 a<72.sin x co

17、sxx x a g x a ， eex ax 在定義域上恰有 2 個(gè)極值點(diǎn)， 等價(jià)于 g x a 0 在定義域上恰有 2 個(gè)零點(diǎn)且在零點(diǎn)處異號(hào)，即 y g x 與 y a 的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)。由( 2)知F0g0a1a,Fg2a e a ，22F3g3a3e2a,F2g22a e a ，22若F0，則F3F0，222所以 F x 0至多只有 1 個(gè)零點(diǎn)，不成立。所以只有 F 0 2F'(3p)<0,則F'(2p)<0，所以 F x 0只有 1個(gè)零點(diǎn)，x1【解析】(1) f (x) 1 ，令 f (x) 0 ，則 x 1， x當(dāng) t 1時(shí)， f(x) 在 t,t 1

18、上單調(diào)遞增，f (x)的最小值為 f (t) t lnt ；當(dāng) 0 t 1時(shí)， f(x) 在區(qū)間 t,1上為減函數(shù)，在區(qū)間1,t 1 上為增函數(shù)，f (x) 的最小值為f (1) 1.綜上， m(t)0t1lnt t 12) f(x)g(x)，xa(x 1)2x2 xln x.x? (0,1，x 1 (1,2 ，x (0,1 使得 a2x2 xln x成立. x1令 t(x)2x2xlnx ，則t(x) x122x 3x ln x 1 (x 1)22x23x lnx 1 ，則由(x 1)(4x 1)0 可得 x 1 或 x 1 (舍)4(0,14)時(shí)y420 ，則 y 2x23x ln x 1在 (0,1) 上單調(diào)遞減；41(14, )時(shí) y0 ，則 y 2x 3x1ln x