證明角相等的方法

1、證明角相等的方法添輔助線的規(guī)律（一）添輔助線的目的：解證幾何問(wèn)題的基本思路就是要利用已知幾何條件求得所求幾何關(guān)系。這往往需要將已知條件與所求條件集中到一個(gè)或兩個(gè)幾何關(guān)系十分明確的簡(jiǎn)單的幾何圖形之中。如一個(gè)三角形（特別是直角三角形、等腰三角形），一個(gè)平行四邊形（特別是矩形、菱形、正方形），一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形，兩個(gè)相似三角形之中。這種思路可稱為條件集中法。為了達(dá)到條件集中的目標(biāo)，我們需要將遠(yuǎn)離的、分散的已知條件和所求條件，通過(guò)連線、作線、平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)等方法來(lái)補(bǔ)全或構(gòu)造一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓、或兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形。以便于運(yùn)用這些圖形的幾何關(guān)系（性質(zhì)定理）解題，這就需

2、要添加輔助線。添加什么樣的輔助線，總由以下三方面決定：由所求決定：?jiǎn)柺裁矗纫魇裁?。由已知決定：已知什么，作出什么，并為充分運(yùn)用已知條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線。由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十分明確的一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形而添加輔助線。（二）添輔助線的規(guī)律：（1）三角形中：等腰A:常連底邊上的中線或高或頂角的平分線（構(gòu)造兩個(gè)全等的直角A,或便于運(yùn)用等腰A三線合一的性質(zhì)。如圖1）直角A斜邊上有中點(diǎn)：連中線（構(gòu)造兩個(gè)等腰A,或便于運(yùn)用直角A斜邊上的中線的特殊性質(zhì)。如圖2）斜A有中點(diǎn)或中線：連中線（構(gòu)造兩個(gè)等底同高的等積Ao如圖3）;或自

3、左右兩頂點(diǎn)分別作中線的垂線（構(gòu)造兩個(gè)全等直角三角形。如圖4）;或連中位線、或過(guò)一中點(diǎn)作另一邊的平行線（構(gòu)造兩個(gè)相似比為1:2的相似A,或便于運(yùn)用A中位線定理。如圖5、6）;或延長(zhǎng)中位線或中線的一倍（構(gòu)造兩個(gè)全等A或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖7、8）?；蜓娱L(zhǎng)中線的1/3（構(gòu)造兩個(gè)全等A或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖9）有角平分線：過(guò)其上某一交點(diǎn)作角兩邊的垂線（構(gòu)造兩全等的直角&如圖10）或一邊或兩邊的平行線（構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)等腰A或一菱形。如圖11）。有角平分線：在此角的一邊上自頂點(diǎn)取一段等于另一邊并作相關(guān)連線（構(gòu)造兩個(gè)全等Ao如圖12、13）有角平分線遇垂線：常延長(zhǎng)垂線（構(gòu)造等腰點(diǎn)如圖14）。（二

4、）梯形：延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)（構(gòu)造兩相似A。如圖15）,由小底的一端作一腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的A和一由小底的兩端作大底的垂線（構(gòu)造兩直角A和一矩形。如圖17）。有對(duì)角線時(shí)：由小底的一端作另一對(duì)角線的平行線（構(gòu)造一集中有兩對(duì)角線及上下兩底和的A和一平行四邊形。如圖18）。連小底一端與另一腰中點(diǎn)并與大腰的延長(zhǎng)線相交（構(gòu)造兩全等A及一與梯形等高等積的&如圖19）A及與梯形等積的平行四邊過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線（構(gòu)造兩全等形。如圖20）。過(guò)小底的中點(diǎn)分別作兩腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的A和兩個(gè)平行四邊形。如圖21）（三）圓：有弦：連過(guò)弦端點(diǎn)的半徑，連垂直于弦的直徑或弦

5、心距（構(gòu)造直角A,便于運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)解題）；或作過(guò)弦一端點(diǎn)的切線及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理。如圖22）。有直徑及垂直直徑的弦或半弦，連結(jié)弦與直徑的端點(diǎn)（構(gòu)造三個(gè)相似的直角A,便于運(yùn)用直角A的性質(zhì)及射影定理。如圖23）。四刀圈卒有圓內(nèi)接四邊形：連對(duì)角線（構(gòu)造較多相等的圓周角。如圖24）;或延長(zhǎng)四邊形的某一邊（構(gòu)造與內(nèi)對(duì)角相等的外角。如圖25）。圓外有切線：連過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑（構(gòu)造垂直關(guān)系）；或作過(guò)切點(diǎn)的弦及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理。如圖26）圓外有兩條相交切線：連過(guò)切點(diǎn)的半徑，并作切線交點(diǎn)與圓心的連線（構(gòu)造兩全等的直角三角形）；或作過(guò)交點(diǎn)和

6、加以的割線（便于運(yùn)用切線割線定理）或連結(jié)兩切點(diǎn)（構(gòu)造一等腰A、三對(duì)全等的直角A、被切線交點(diǎn)與圓心的連線垂直平分的弦，便于運(yùn)用等腰上直角k全等A以及射影定理。如圖27）有相交弦或相交于圓外的割線切線：連結(jié)不同弦的端點(diǎn)或不同割線在圓上的交點(diǎn)（構(gòu)造相似A,便于運(yùn)用比例線段及A外角定理。如圖28、29、30）兩圓相交：作連心線、公共弦，甚至兩圓心到公共弦兩端點(diǎn)的連線（構(gòu)造兩等腰A、補(bǔ)全一箏形，便于運(yùn)用連心線垂直平分公共弦的定理。如圖31）。兩圓外切：作連心線及內(nèi)、外公切線、連切點(diǎn)、連半徑（構(gòu)造一集中有兩條弦及外公切線長(zhǎng)的直角A、一集中有兩圓半徑、半徑之和及外公切線長(zhǎng)的直角梯形。如圖32）o兩圓內(nèi)切：作

7、連心線及外公切線（便于運(yùn)用連心線與公切線的垂直關(guān)系。如圖33）。兩圓外離：作連心線及個(gè)公切線或內(nèi)公切線，并過(guò)小圓圓心作公切線的平行線（構(gòu)造一集中連心線長(zhǎng)、公切線長(zhǎng)、兩圓半徑差或和的直角Ao如圖34、35）。證明線段相等的方法（一）常用軌跡中：兩平行線間的距離處處相等。線段中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。角平分線上任一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等（圖1）因？（二）三角形中：同一三角形中，等角對(duì)等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）任意三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等。任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。等腰三角形頂角的平

8、分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。直角三角形中，斜邊的中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離相等。有一角為60。的等腰三角形是等邊三角形。過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊（圖2）。同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等（圖3）平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角線相互平分。矩形對(duì)角線相等，且其的交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等o菱形中四邊相等。等腰梯形兩腰相等、兩對(duì)角線相等。過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰（圖4）陽(yáng).（四）正多邊形中：正多邊形的各邊相等。且邊長(zhǎng)an = 2Rsin （180 /n）正多邊形的中心到各頂點(diǎn)的距離（外接圓半徑R ）相等、各邊

9、的距離（邊心距rn ）相等。且 r n = Rcos （180 / n）（五）圓中：同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對(duì)的弦、弦心距相等。同圓或等圓中，等弦所對(duì)的弦心距相等，等弦心距所對(duì)的弦相等。任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線長(zhǎng)相等。兩相交或外切或外離圓的二公切線的長(zhǎng)相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長(zhǎng)也相等。兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點(diǎn)到三切點(diǎn)的距離相等（圖6）。兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點(diǎn)平分（圖7）苗15困？（六）全等形中：全等形中，一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)

10、應(yīng)的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）都相等。（七）線段運(yùn)算：對(duì)應(yīng)相等線段的和相等；對(duì)應(yīng)相等線段的差相等。對(duì)應(yīng)相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對(duì)應(yīng)相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。1 ,則此二線段相等。兩線段的長(zhǎng)具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為證明角相等的方法（一）相交直線及平行線：二直線相交，對(duì)頂角相等。二平行線被第三直線所截時(shí)，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，外錯(cuò)角相等。同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等，凡直角都相等。角的平分線分得的兩個(gè)角相等。自兩個(gè)角的頂點(diǎn)向角內(nèi)看角的兩邊，若有一角的左邊平行（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另一角的右邊，則

11、此二角相等（圖1、2）。（二）三角形中：同一三角形中，等邊對(duì)等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內(nèi)角相等）等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。有一角為60。的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三內(nèi)角都相等）直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個(gè)等腰三角形（圖3）。四M（三）四邊形中：平行四邊形對(duì)角相等。菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角。矩形的四角相等，且均為直角。等腰梯形同一底上的兩角相等。（四）正多邊形中：正多邊形的各內(nèi)角相等、外角相等，且內(nèi)角=（n-2）180/n,外角=360/n正多邊形的中心角相等，且中心角如=360 / n（五）圓中：同圓或等圓中，等弧或等弦或等弦心距所對(duì)的圓心

12、角相等、圓周角相等。同圓或等圓中，含等弧或等弦的弦切角相等，且與所對(duì)的圓周角相等。同圓或等圓中，所夾二弧或二弦相等的圓內(nèi)角相等、圓外角相等。自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線，二切線所夾的角被過(guò)該點(diǎn)的連心線平分。兩相交或外切或外離的圓中，二外公切線所夾的角被二圓的連心線平分；兩外離的圓中，二內(nèi)公切線所夾的角也被二圓的連心線平分（圖4）。圓的內(nèi)接四邊形中，任一外角與其內(nèi)對(duì)角相等。（六）全等形中：全等形中，一切對(duì)應(yīng)角都相等。（七）相似形中：相似形中，一切對(duì)應(yīng)角都相等。（八）角的運(yùn)算：對(duì)應(yīng)相等角的和相等；對(duì)應(yīng)相等角的差相等。對(duì)應(yīng)相等角乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對(duì)應(yīng)相等角除以的相等倍數(shù)所得的商相等。兩角的大小

13、具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1,則此二角相等。兩銳角或兩鈍角的正弦具有相同的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等；兩角的余弦、正切具有相同的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等。證明線段不等關(guān)系的方法（一）常用軌跡中：（線段公理）所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。自直線外的一點(diǎn)，向直線作一條垂線和多條斜線，則斜線長(zhǎng)的所對(duì)的射影也長(zhǎng)；射影長(zhǎng)的所對(duì)的斜線也長(zhǎng)，且其中垂直線段最短（圖1）兩平行線間公垂線最短。（二）三角形中：同一三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊，直角或鈍角所對(duì)的邊最大。任意三角形中，任二邊之和大于第三邊，任二邊之差小于第三邊。直角三角形中，斜邊最長(zhǎng)。（三）圓中：同圓或等圓中的各條弦、以直徑最長(zhǎng)

14、。同圓或等圓中，大弦或大圓心角所對(duì)所對(duì)的弦心距小，小弦或小圓心角所對(duì)所對(duì)的弦心距大;小弦心距或大圓心角所對(duì)的弦大，大弦心距或小圓心角所對(duì)的弦小（圖2）。02同圓或等圓中，若弧為劣弧，圓周角為銳角：則大弧或大圓周角所對(duì)的弦大；小弧或小圓周角所對(duì)的弦?。▓D2）。若弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，則反之（圖3）圖E同圓或等圓中，若弧為劣弧，圓周角為銳角：則大弧或大圓周角所對(duì)所對(duì)的弦心距小，小弧或小圓周角所對(duì)所對(duì)的弦心距大（圖2）。若弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，則反之（圖3）（四）線段運(yùn)算：對(duì)應(yīng)相等線段加不等的線段：加長(zhǎng)線段的其和也大；加短線段的其和也小。對(duì)應(yīng)相等線段減不等的線段：減長(zhǎng)線段的其差反?。粶p短線段的其

15、差反大。較大的線段減較小的線段，其差也大；較小的線段減較大的線段，其差反小。兩線段的長(zhǎng)的數(shù)學(xué)解析式相除：若其商大于兩線段的長(zhǎng)的數(shù)學(xué)解析式相減：若其差大于零，則前者大于后者；若其差小于零，則前者小于后者。1,則前者大于后者；若其商小于1,則前者小于后者。證明角不等關(guān)系的方法（一）三角形中：同一三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，三內(nèi)角中以直角或鈍角最大。三角形的任一外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角。（二）圓中：同圓或等圓中，大弧所對(duì)的圓心角、圓周角大，小弧所對(duì)的圓心角、圓周角小。同圓或等圓中，大弦所對(duì)的圓心角、圓周角（銳角）大，小弦所對(duì)的圓心角、圓周角（銳角）??；大弦心距所對(duì)的圓心角、圓周角（銳角）小

16、，小弦心距所對(duì)的圓心角、圓周角（銳角）大。（三）角的運(yùn)算：對(duì)應(yīng)相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角的其和也小。對(duì)應(yīng)相等角減不等的角：減大角的其差反??；減小角的其差反大。較大的角減較小的角，其差也大；較小的角減較大的角，其差反小。兩角大小的數(shù)學(xué)解析式相減：若其差大于零，則前者大于后者；若其差小于零，則前者小于后者。兩角大小的數(shù)學(xué)解析式相除：若其商大于1,則前者大于后者；若其商小于1,則前者小于后者。證明線段比例式或等積式的方法（一）比例的性質(zhì)定理:幅比定理；若各 分比定理:若看= 蜷哈牙比定理:若卷= 信用定理；若言 =全c_d cd e-d品盤需普哈哥= - =-,*=下( bH+ 4k

17、 * 0), a.+c+* c _ h也=6 =曰 F（二）平行線中的比例線段:平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得對(duì)應(yīng)線段成比例（圖1、2)枳定理:*a,cT-TJWc的廖定理二胃土石c右6=3JWTT逐廉裁定理二ac若方忖JWna二比3、4)平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（圖平行于三角形的一邊，且與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例（圖3、4）。（三）三角形中比例線段：相似三角形中一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)）的比都相等，等于相似比。相似三角形中一切對(duì)應(yīng)面積的比都相等，等于相似比的平方。勾股定理：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和（圖5）。射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)（圖5）。直角三角形上任一直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)（圖5）。正弦定理：三角形中，每一邊與對(duì)角的正弦的比相等（圖6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC6)余弦定理：三角