中考數(shù)學(xué)圓的綜合-經(jīng)典壓軸題及答案解析

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1. 在平而直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在軸、X軸的正 半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)一次落在直線y=x上 時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，力3邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交X軸于點(diǎn)N （如圖）.（1）求邊QA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)：（3）設(shè)AMEV的周長(zhǎng)為"，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，值是否有變化？請(qǐng)證明 你的結(jié)論.【答案】（I）TlZ2 （2） 22.5。周長(zhǎng)不會(huì)變化，證明見解析【解析】試題分析：（2）根據(jù)扇形的而積

2、公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的而積：（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求岀ZAOM的度數(shù)：（3）利用全等把 MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.試題解析：（"TA點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停I匕旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45。，. OA 旋轉(zhuǎn)了 45。.OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為也工 =£3602（2）V MNIl AC, Z BMN=Z BAC=45 Z BNM=Z BCA=450./. Z BMN=Z BNM BM=BN.又TBA二BC, AM=CN.又T 0A=0C, Z OAM=Z OCN, ：* OAM旻 OCN. Z AO

3、M=Z CON=- （Z AOC-Z MON） =- （90o-45o） =22.5°.2 2旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為450-22.50=22.50.（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化.證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，則Z AOE=45o-Z AOM, Z N=90o-45o-Z AOM=45o-Z AOM, Z AOE=Z CON.又T OA=OC, Z OAE=I80o-90o=9OO=Z OCN. OAE旻A OCN.0E=ON, AE=CN又 Z MOE=Z MON=45o, 0M=0M, OME旻心OMN.MN=ME=AM+AE M

4、N=AM+CNt p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值無變化. 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)2. 如圖，AB為C）O的直徑，點(diǎn)E在00±,過點(diǎn)E的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接BE,過點(diǎn)0作BE的平行線，交C）O于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn)C,連接AC（1）求證：AC是OO的切線：【分析】（1）由等角的轉(zhuǎn)換證明出AOC49AOCE,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得AC是C）O的切線.（2）根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到0F=OB=BF=EF,得證BE為等邊三角形，而得岀 ZBOE = 60。，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】（1）證明：TCD與C）O相

5、切于點(diǎn)E,. OE丄CD, ZCEO = 90%又. OClIBE , ZCOE = ZOEB，Z OBE=Z COA. OE=OB,. ZOEB = ZOBE,. ZCoE = ZCOA,又T OC=OC, OA=OE, AOCAAOCE（SAS）, ZCAO = ZCEO = 90°又TAB為C)O的直徑，. AC為C)O的切線：(2) 解：T四邊形FoBE是菱形，. OF=OB=BF=EF,. OE=OB=BE,. AOBE為等邊三角形，. ZBOE = 60°,而OE丄CD,:.ZD = 30o.故答案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考査與圓有關(guān)的位垃關(guān)系和圓中的訃算問題，

6、熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān) 鍵.3. 如圖2,以邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作OO,交對(duì)角線AC于點(diǎn)E.(1) 圖1中，線段AE=:(2) 如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作ZDAM=30。，交CD于點(diǎn)M,沿AM將四 邊形ABCM剪掉，使Rt ADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 (0o<< ISOO),在旋轉(zhuǎn)過程中AD與C)O交于點(diǎn)F. 當(dāng)a=30。時(shí)，請(qǐng)求出線段AF的長(zhǎng)； 當(dāng)a=60。時(shí)，求出線段AF的長(zhǎng)；判斷此時(shí)DM與C)O的位宜關(guān)系，并說明理由： 當(dāng)a=。時(shí)，DM與C)O相切.圖1團(tuán)2圖3備用因【答案】(1)27 (2)22B,相離當(dāng)a=90。

7、時(shí)，DM與OO相切【解析】(1)連接8E, T AC是正方形MCD的對(duì)角線，. Z BAC=45。，. AEB是等腰直 角三角形，又. AB=8, .f=42:由題總得，Z NAD=SO Z DAM二30°,故可得Z OAM=30o9Z DAM=30 則ZoqU60°,又/ OA=OF9 ：. OAF 是等邊三角形 OA=4, AF=OA=連接 8'F,此時(shí)Z NAD=60o, '： AB'=& ZDAM=30°, /. AF=AB'cos D4=8×=43;2此時(shí)DM與C)O的位置關(guān)系是相離: AD=B.直徑的長(zhǎng)

8、度相等，當(dāng)DM與C)O相切時(shí)，點(diǎn)D在00上，故此時(shí)可得 =Z NAD=90：.AP=BP9 APC和厶BPC中AP = BPAC=BC,PC = PC APC BPC (SSS) > Z ACP=Z BCP,在厶ACE和厶BCE中AC = BC< ZACP = ZBCP,CE = CE ACE里 A BCE (SAS), Z AEC=A BEC, Z&EC+Z BfC= 180% Z AEC=90°.AB±PC(2) V PA 平分Z CPM.：.Z MPA = AAPCt Z &PC+Z BPC十Z ACB = I80 Z MPA APC+Z

9、BPC= 180% Z ACB=A MPA = A APCtT APC= ABC,：.Z ABC= ACB9：.AB=AC(3) 過4點(diǎn)作AD丄BC交3C于D,連結(jié)OP交M于E,如圖2,1S2由(2)得出AB=AC9：.AD 平分 3C,.點(diǎn)O在人D上,連結(jié) OB,則Z BOD=Z BAC,T Z BPC=Z BAC,24 BD：.Sin ZBOD = Sin ZBPC =，25 OB設(shè) O3 = 25;G 貝IJ BD=2×9 OD= yB2 -BD2 =7,RtABD 中，AD=25x+7x=32x, BD=2×9 AB= yjAD1 + BD2 =40x,.VC=8,

10、 .,.A3 = 40x=8解得：X=O.2,.O3 = 5, 8D=4.8, OD=I.4, AD=6.4,T點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，OP垂直平分AB,1：.AE=-AB=4. ZqEP=Z AEo=90°, 在RAEO中，OE=Ol-AEI =3> PE=OP-OE=5 - 3 = 2,在 RtAAPE , AP= yPE2 + AE2 = 22+42 = 25 【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考査了圓周角左理、勾股立理、等腰三角形的判定定理和三 線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般以壓軸題形岀現(xiàn)，難度較大.5. 已知P是OO的直徑BA延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZP的另一邊交Oo于點(diǎn)

11、c、Dt兩點(diǎn)位于AB的上方，AB =6, 0P=m, SinP=如圖所示.另一個(gè)半徑為6的Ool經(jīng)過點(diǎn)c、D,圓心距oO=H(1) 當(dāng)m=6時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；(2) 設(shè)圓心6在直線AB t方，試用n的代數(shù)式表示m：(3) POOl點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否能成為以00為腰的等戯三角形，如果能，試求 出此時(shí)n的值：如果不能，請(qǐng)說明理由.答案】(I)CD= 25 ；(2)m= SU ;(3) n 的值為？或 15In55【解析】分析：(1)過點(diǎn)。作OH丄CD,垂足為點(diǎn)連接OC解Rt POH,得到OH的長(zhǎng).由勾股怎理得CH的長(zhǎng).再由垂徑立理即可得到結(jié)論；(2) 解Rt POH ,得到OH=在RtOCH

12、和Rt中，由勾股左理即可得到3結(jié)論：(3) POOX成為等腰三角形可分以下幾種情況討論：當(dāng)圓心Q、0在弦CD異側(cè) 時(shí)，分OP=OOi和QP=OO.當(dāng)圓心Q、0在弦CD同側(cè)時(shí)，同理可得結(jié)論.詳解：(I)過點(diǎn)。作OH丄CD9垂足為點(diǎn)連接OCB6, 0H = 2.3T AB =6, OC=3 由勾股立理得：C7 = 5 . OH 丄 DC, CD = 2CH = 25 (2)在 Rt POH中，.sinP=1, PO=Iny ：. OH=-332在 Rt OCH 中，CH，=9 I 3丿在 Rt OxCH 中，C72=36” 一、2CIn=9 一 (3丿可得：36 (3) PoOl成為等腰三角形可分

13、以下幾種情況:當(dāng)圓心Q、。在弦CD異側(cè)時(shí)/) OP=OOx,即加由n=3,rsi ,解得: In即圓心距等于Oo、Ool的半徑的和，就有OO、2nz=9.e>q外切不合題意舍去./) OlP=OO1,由 n-y ) + Hr="'解得：m=-n ,即三 ="一 解得：=-15 .33 25當(dāng)圓心O. O在弦CD同側(cè)時(shí)，同理可得：n=813zr2nT乙PoO是鈍角，.只能是In = n ,即n-813,r ,解得： 心共.2n5綜上所述：n的值為斗右或15.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題考査了圓的有關(guān)性質(zhì)和兩圓的位置關(guān)系以及解直徑三角形.解 答（3）的關(guān)鍵是要分類討論.

14、6. 如圖,在Rt ABC中,Z ACB=60ofO O是厶ABC的外接圓QC是O O的直徑,過點(diǎn)3作O O的 切線3D,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)作O O的切線AF,與 直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E（1）連接FF,求證:M是C） O的切線；（2）在圓上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形?若存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析：（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）過O作OM丄FF于M,根據(jù)SAS證明 OAF A OBE,從而得到OE=OF,再證明EO平分 ZBEF,從而得到結(jié)論；（2）存在，先證明AOAC為等邊三角形，從而得岀ZoqC=Z AoC=60。

15、,再得到AB=AF,再證 明AB=AF=FP=BP,從而得到結(jié)論.【詳解】證明:如圖,過0作OM丄FF于MfVOA=OBfA OAF=A OBF=90°,Z BOE=A AOFf.： OAF OBEtOE=OFt-Z EoF=乙 AOB=I2Q ： ZoFM=Z OFM二30： Z OEB=Z. OEM=3GQt 即 EO 平分Z BEF,又Z OBE=Z OME=SO0f. OM=OBf：FF為QO的切線(2)存在.JBC為C)O的直徑，. ABAC=QO0fVACB=60o, ： ZABC=30：又 VAACB=60OA=OC, OAC為等邊三角形,即Z 0AC= AOC=60：

16、MF為C)O的切線，. OAF=SO0, 乙 CAF=Z AFC=30of：ZABC=Z AFCf AB=AF.當(dāng)點(diǎn)P在中的點(diǎn)M位程時(shí),此時(shí)Z OPF=90°, 乙 OAF=乙 OPU90：又-OA=OPIOF為公共邊，： OAF OPFfJAF=PRZ BFE=A AFC=S01又：三Z FOP=Z OBP=Z. OPB=30. BP=FPf.AB=AF=FP=BP,.：四邊形AFP8是菱形.【點(diǎn)睛】考查了切線的判左定理和菱形的判左，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂 直即可7. 已知AC=D

17、C, AC丄DC,直線M/V經(jīng)過點(diǎn)作DB丄M,垂足為B,連結(jié)CB.感知如圖，點(diǎn)久8在CD同側(cè)，且點(diǎn)3在AC右側(cè)，在射線AM上截取AE=BD,連結(jié) CE.可iiE BCD ECA.從而得出 EC=BG ZECB=90。，進(jìn)而得出AABC=度：探究如圖，當(dāng)點(diǎn)&、B在CD異側(cè)時(shí)，感知得出的ZABC的大小是否改變？若不改 變，給出證明：若改變，請(qǐng)求出ZABC的大小.應(yīng)用在直線M/V繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)ZBCD=30。，BD=A/2時(shí)，直接寫出BC的長(zhǎng). 【答案】【感知】：45：【探究】：不改變，理由詳見解析；【拓展】：BC的長(zhǎng)為W+1 或護(hù)-1.【解析】【分析】感知證明 BCD ECA (S

18、AS)即可解決問題；探究結(jié)論不變，證明 BCD ECA (SAS)即可解決問題：應(yīng)用分兩種情形分別求解即可解決問題.【詳解】解：【感知】，如圖中，在射線AM上截取AE=BDf連結(jié)CE. DC, DB丄 MN, Z ACD=Z DBA=9OQ.：.Z CD+Z CAB = I80S. Z C8+Z CAE=I80°：.Z D=Z CAE. T CD=AC, AE=BD9：. BCD ECA (SAS), BC=EC,乙 BCD=乙 ECA, ZACE+Z ECD=90% Z ECD+Z DCS = 90%即 Z ECB=90% ZABC=45°.故答案為45【探究】不改變.理

19、由如下：如圖，如圖中，在射線4N上截取AE=BD.連接CE,設(shè)MN與CD交于點(diǎn)0.:AC±DC. DB±MN, Z ACD=Z DBA=90:Z AOC= DOB9 Z D=Z EAC, CD=AC. BCD ECA (SAS),. BC=EC.乙 BCD=乙 ECA,:Z CE+Z ECD=90。， Z ECD+Z DCB = 90。，即 Z fC = 90% Z ABC=45°.【拓展】圖1 Z ACD+Z ABD=I80.A, C, D, 3四點(diǎn)共圓， Z DAB = Z DC3 = 30°,/. ABypBDEB=AE+AB=護(hù)皆, EC3是等腰

20、直角三角形,EB BC = = W + 1如圖中，同法可得BC= - 1.綜上所述，Be的長(zhǎng)為1或B-1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考査了等腰直角三角形的判左和性質(zhì)，全等三角形的判左和性 質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬 于中考?jí)狠S題.&如圖，在BC中，4B = 4C,以為直徑作G) 0,交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)G,過 點(diǎn)D作G)O的切線EF,交力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)廠交4C于點(diǎn)E.(2)若M = 6, BF = 4,求G)O的半徑【答案】(1)證明見解析；(2) 4【解析】試題分析：(1)連接AD,根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明.(2)

21、設(shè)OO 的半徑為 R,貝IJ F0=4+Rt FA二4+2R, OD=R.連接 OD,由 FOD- FAE,得 軍二%列出方程即可解決問題.AE Ar試題解析：(1)連接AD, TAB是直徑,.ZADB=90o,T AB二AC, AD±BC, BD=DC(2)設(shè)OO 的半徑為 R,貝IJ F0=4+Rt FA=4+2R, OD=R,連接 OD、T AB二AC,. Z ABC=Z C, OB=OD, Z ABC=Z ODB,. Z ODB=Z Ct ODIl AC, FOD-厶 FAEfOD _ Fo= AF'.R _ 4 + A' I = 4 +*整理得 R2-R-

22、12=0.R=4或（-3舍棄）OO的半徑為4考點(diǎn)：切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).9.如圖，BD為AABC外接圓Oo的直徑，且Z BAE= C.（1）求證：處與OO相切于點(diǎn)AE,AC= 21求AD的長(zhǎng).【答案】（I）證明見解析；（2） 23【解析】【分析】（I）根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點(diǎn)可確左用"連半徑，證垂直的方法證明切線，連接&0并延長(zhǎng) 交OO于點(diǎn)F,連接BF,則AF為直徑，ZqBF=90。，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，則可得 到ZBAE=ZF,既而得到AF與OO相切于點(diǎn)4（2）連接OC,先由平行和已知可得ACB = ABC9所以AC=AB.則 AOC=A AOB.從而利用垂

23、徑左理可得AH=Rt OBH中，設(shè)03=幾利用勾股立理解得廠=2,在Rt ABD中，即可求得AD的長(zhǎng)為2 JJ.【詳解】 解：（1）連接40并延長(zhǎng)交C）O于點(diǎn)F,連接BF, 則AF為直徑，ZF=90% AB = AB.ZACB=Z F9 Z BAE=ZACB. Z BAE=A F,T Z FAB十Z F= 90% Z FAB+Z BAE=909：.O&丄處，. AE與C)O相切于點(diǎn)4(2)連接OG/ AEW BC, Z BAE=ZABC9 Z BAE=ZACB. Z ACB=Z ABC9 AC=AB=2.：. A0C= AOB9 OC=OB9：.OA 丄 BC,.*. CH=BH= BC= ,2在 Rt ABH 中，AH= yJAB2-BH2 =1,在 Rt OBH 中，設(shè) 0S = OH2+B H2 = OB29(r- D 2+ (3 ) 2=r2,解得：r=2, DB=2r=4,在 Rt ABD 中，AD= Jbd2-AB2 = 42 -22 =2 3 ,AD的長(zhǎng)為23【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題關(guān)鍵10如圖，已知在AABC中，AB=15t AC=20, tanA=丄，點(diǎn)P在AB邊上，OP的半徑為立長(zhǎng)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，C）P恰好與AC邊相切：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，C）P與AC邊相 交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.（1）求OP的半徑：（2）當(dāng)