No張麗分?jǐn)?shù)階統(tǒng)混沌系統(tǒng)

1、作者:日期:個人收集整理勿做商業(yè)用途漳州師范學(xué)院畢業(yè)論文分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步The Synchronization of Fractional orderUnified System姓 名:張 麗學(xué)號：070401326系別：_數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：07級指導(dǎo)教師：蔡建平教授2011年05月22日個人收集整理勿做商業(yè)用途摘要本文運(yùn)用耦合同步控制法，研究分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步問題。首先，分別在分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一系統(tǒng)的每個方程上加耦合控制變量使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步；然后，在每個方程同時加耦合控制變量使得驅(qū)動系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。并運(yùn)用 Laplace變換理論證明，最后用M

2、atlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真進(jìn)一步驗證本文所用的方法 的有效性。關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；統(tǒng)一混沌系統(tǒng)；同步控制；耦合控制AbstractThis paper applies coupled synchronization control method to research the synchronization of fractional order unified chaotic system. First of all, the coupled control variables are added to each equation of fractional unified system mak

3、es the drive system and response system to achieve synchronization. Then, the control variables are added to each equation at the same time makes the drive system and response system to achieve synchronization。 Furthermore, detailed proofs are given by using the Laplace transformation theory 。Finall

4、y, numerical simulations based on Matlab verify the effectiveness of the present methods. 本文為互聯(lián)網(wǎng)收集，請勿用作商業(yè)用途本文為 互聯(lián)網(wǎng)收集，請勿用作商業(yè)用途Key words fractional order ； unified system; synchronization control ; coupling control個人收集整理勿做商業(yè)用途目 錄中英文摘要 （I）1引言 （1）2分?jǐn)?shù)階微分定義 （1）3分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步 （2）3.1.1 統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第二個方程加耦合控制 （3）3.1

5、.2 數(shù)值仿真 （6）3。2。1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第一個方程加耦合控制 （7）3。2.2數(shù)值仿真 （9）3.3.1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第三個方程加耦合控制 （11）3.3。2數(shù)值仿真 （13）3.4。1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階三個方程都加耦合控制 （14）3.4。2數(shù)值仿真 （17）4結(jié)論 （19）參考文獻(xiàn) （20）致謝 （21）個人收集整理勿做商業(yè)用途1引言分?jǐn)?shù)階微積分是研究分?jǐn)?shù)階次的微積分算子特性及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，其 拓展了傳統(tǒng)微積分的概念，它幾乎和整數(shù)階微積分理論具有同樣長的發(fā)展歷史。 但直到1983年，文獻(xiàn)”首次指出了自然界及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中存在大量的分 維數(shù)的事實，及在整數(shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階微積分理論描述的動力學(xué)

6、系統(tǒng)之間存 在著自相似現(xiàn)象。此后，作為分形幾何和分維數(shù)的動力學(xué)基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)階微積分 才重新獲得了新的發(fā)展并成為當(dāng)前國際上的一個研究熱點。但將其應(yīng)用到物理 學(xué)和工程學(xué)的研究熱潮還是在最近幾十年才興起的，許多物理系統(tǒng)展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動力學(xué)行為，特別是在Chua電路2 Lorenz系統(tǒng)3、Chen系統(tǒng)4、Lu系統(tǒng)向 中，當(dāng)其階數(shù)為分?jǐn)?shù)時，系統(tǒng)還是混沌的。自從1990年P(guān)ecora和Caccoll "發(fā)現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)可以實現(xiàn)同步以來， 就掀起了混沌同步問題研究的熱潮。在通信領(lǐng)域，ArmanKiani-B等用簡單的混沌系統(tǒng)掩蓋方法證明了分?jǐn)?shù)階混沌信號能加強(qiáng)通信的安全性。將分?jǐn)?shù)階混沌應(yīng) 用于保密通信

7、7,8、信號處理等領(lǐng)域，由于系統(tǒng)模型自身的復(fù)雜性，會比整數(shù)階 混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的保密性和抗破譯能力。因此研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有廣泛 的應(yīng)用前景。本文主要是研究分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一系統(tǒng) 咫的同步問題，文中運(yùn)用了耦合同步方案 在分?jǐn)?shù)階不同的方程上加耦合控制器，并且利用拉普拉斯變換理論給出了具體 的證明，同時也用Matlab軟件數(shù)值仿真來進(jìn)一步驗證了本文方法的有效性和可 行性。2、分?jǐn)?shù)階微分定義在研究分?jǐn)?shù)階微積分的過程中，對于微分和積分的概念有很多。在本文中，將采用的是Caputo微分的定義來研究分?jǐn)?shù)階混沌動力學(xué)行為10-11工Caputo微分 定義為：D y(x) Jm ym(x),0,(1) 這里m為第一

8、個不小于的整數(shù)，y m為y的m階導(dǎo)數(shù)，J是階Riemann個人收集整理勿做商業(yè)用途 Liouville積分算子,即:其中 ？是Gamm函數(shù)，D通常稱為階Caputo微分算子1z t dt,0,(2)3分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步統(tǒng)一混沌系統(tǒng)為：dx1 dt dyi dtdz1 dt其中(2510 ) yi Xi(28 35 )Xi xz (291)y i(38Xi yi zi30,i 。當(dāng) 0,0.8時，統(tǒng)一混沌系統(tǒng)(3)屬于廣義的Lorenz系統(tǒng);當(dāng) 0.8,i時，統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（3）屬于廣義的Chen系統(tǒng);當(dāng)0.8時，統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（3）屬于廣義的Lu系統(tǒng)。統(tǒng)一混沌系統(tǒng)是一個由單參數(shù)控制的連續(xù)混沌

9、系統(tǒng)，具有統(tǒng)一性和全局性混沌特性.系統(tǒng)只用一個參數(shù)就可以控制整個系統(tǒng).當(dāng) 由零逐漸增加到i時系統(tǒng)也由廣義的Lorenz系統(tǒng)逐漸過渡到廣義的Chen系統(tǒng)，具有統(tǒng)一性。其相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)為：d qxidtqdqyidtqd Ndtq(25i0) yi xi(28 35 )Xi 為乙(298Xi yi zi3i)y i個人收集整理勿做商業(yè)用途q這里二Dqdtq，q0.1,1 ,當(dāng)q 1時，系統(tǒng)（4）為整數(shù)階的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)。當(dāng)q 0.9時，對于不同的值的統(tǒng)一混沌吸引子如圖1所示:untitle-a=0.6504030z2010040untitlea=0.8z-40yx5040302010050

10、I. . flz-30xy5040302010040untitle-a=1圖1分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的吸引子依次為3。1。1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第一個方程加耦合控制以統(tǒng)一系統(tǒng)（4）為驅(qū)動系統(tǒng)，根據(jù)耦合同步法將耦合系數(shù)k加在第一個方程里:dqx2dtqdqy2dtqdqz2dtq(25(28X2 y2其中010) V235 )x2Z21, k1為耦合強(qiáng)度。X2令誤差變量為:U2V2x2k1(x2x1 )x2Z2(291)y 2(5)NiU3Z2z1將（5）式減去（4）式可以得到誤差系統(tǒng)為:個人收集整理勿做商業(yè)用途dqu1 弒 dqu2 "dtq-q 一 d U3 "dtq-(25(28yi

11、Ui對（6）令：Ui10)u2 (k1 2535z1 )u1 x2u3x2u2U3式做 Laplace 變換。L ui t,i 1,2,3，且L10)Ui(291)U2(6)dquisqUi ssq & 0 , i 1,2,3 ,則sqU ssq 1U1 0sqU2 ssq 1u2 0(k1 2510)Ui s (2510)U2 s(28 35 )U1 s (291)U2 s L x2u3L 4”sqU3 ssq 1u3 0 L y1u1L x2u2U3 s33整理得:U1 sU2 sU3 s(2510)U2 s sq 1u1 02510 sq k1(28 35 )U1 s L x2u

12、3L z1u1sq 291L y1u1L x2u2sq 1u3 0sq (8由Laplace變換的終值定理得imu 1(t)lim sU1( s) s 0lims 0s(252510)U210q 1s U2 0sqqs U1 0k1s(25 10)U2 slims 02510 k12510 limsU2 s2510 k1s 0 10limu 2 s2510 k1t個人收集整理勿做商業(yè)用途limu 2( t)lim sU2( s)s 0s(2835)U1ssLx2u3sLz1u1squ20sq 291s(2835)U1ssLx2u3sLz1u11 29limut3(t)lim sU 3( s)s

13、 0qsL y1u1sL x2u2s u3 0lims 0 sq (8 L當(dāng)U2（s）有界且25103,lim( sL y1u1k10時，則sL x2u2 )lim u(t) 0 ,且 limu 1(t) 25t251010 k1timu 2 s 0 ,(25102510 k10）,所以limu 2(t) 0再根據(jù)混沌吸引域的有限性：存在某一個正數(shù)使得max x1，y1，乙所以得到:L z1u1MU 1L y1u1MU 1由limu 2（t） 0 ,于是X2有界不失一般性設(shè)X2L x2u2MU2當(dāng)1 290時可以得到lim u3(t) 0所以，在假設(shè)U2（s）有界，且25 10 k1 0 ,

14、1 290的情況下可以得到:limu i(t) 0(i1,2,3)表明驅(qū)動系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（5）在適當(dāng)?shù)倪x擇和匕可以達(dá)到同步。個人收集整理勿做商業(yè)用途3。1.2數(shù)值仿真取步長 h 0.001 , (Xi(0),yi(0),Zi(0 ) (2,4,7 );(X2(0),y2(0),Z2(0 ) ( 2,1,2)通過運(yùn)用Matlab軟件，可以做出系統(tǒng)在不同和ki的情況下達(dá)到同步時的誤差-時間圖，如下圖所示：05001000150020002500300035004000t圖2 誤差-時間 (06kl 50)500100015002000 t2500300035004000圖3誤差一時間(0.8

15、,k1 100)05001000150020002500300035004000t圖4誤差一時間(1,k1 300)個人收集整理勿做商業(yè)用途當(dāng)（1R 3）時，誤差時間圖如下圖所示：u05001000150025003000350040002000t誤差一時間（1,ki 3)從圖像可以看出當(dāng)1,k13時驅(qū)動系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（5）不能達(dá)到同步.所以在確定的情況下增益控制k的選擇很重要.3.2.1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第二個方程加耦合控制以統(tǒng)一系統(tǒng)（4）為驅(qū)動系統(tǒng)，根據(jù)耦合同步法構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng):dqx2dtqqd V2dtqdqz2dtq(25(28X2y210) y2 X235 )X2 X2Z2 (291)

16、y 2 k2( y2 y1)8Z23其中0 q 1, k2為耦合強(qiáng)度。令誤差變量為：e2 y2V1e3z2z1將（7）式減去（4）式可以得到誤差系統(tǒng)為：個人收集整理勿做商業(yè)用途dqe dtq dqe2 "dt d、 dtq(25(28對（8）令：EisqE1sqE2sqE3整理得:EiE2E310)(e2 e1)35X2e2zi )eiX2Q8633式做 Laplace 變換.,i 1,2,3 ,且由 Laplace(29 k2 1)e2dqedtqsqEi ssq 1e 0 , i(8)1,2,3 ,則sqsq1e11e21e3(25(2510) E2Ei(28 35 )E1 sL

17、 y1e)L x2e210)E2 s2510 sq(28 35 )E1 s sqL x?e3L y©L x2e2(2983L乙e129k2 1q 1s 3 0sq (8)3J 3變換的終值定理得:lime 1( t) lim sE1( s) ts 0s(25lims 0s(25 lims 025lim sE2(s)s 0time2(t)k2 1)E2 s LE3 s10 )E2 s251010)E2 s10sqe1 0 sq個人收集整理勿做商業(yè)用途lime2(t) lim sE2(s)ts 0lims 0s(28 35 )E1 ssL x2e3 sL 乙ssqe2 0lims 0sq

18、 29k2 is(28 35 )Ei s sL x2q sL ziei1 29tim a(t)lim sE3(s)s 03 V 'sL yieisL x?e2 sqe3 0lims 0sq (8 匚38呵 sL yieisL x2e2 )若E2（s）有界,則imei(t) ltime 2( t) 0再根據(jù)混沌吸引域的有限性:存在某一個正數(shù)yimax所以得到:yieMEiMEi由pm e2（t） 0 ,于是X2有界不失一般性設(shè)x2L x2e2ME2 s當(dāng)i 29k2 0時可以得到lim e3(t) 0所以，在假設(shè)E2（s）有界，1 29k2 0的情況下可以得到:limei(t) 0(i

19、i,2,3 )表明驅(qū)動系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（7）在適當(dāng)?shù)倪x擇 和k2可以達(dá)到同步。3。2。2數(shù)值仿真?zhèn)€人收集整理勿做商業(yè)用途取步長 h 0.001 , (x1(0),y1(0),z1(0) (2,4,7);(x2(0),y2(0),z2(0) ( 2,1,2),通過運(yùn)用Matlab軟件，可以做出系統(tǒng)在不同和k2的情況下達(dá)到同步時的誤差一時間圖，如下圖所示：-305001000150020002500300035004000t圖7誤差一時間0.8,k2 100t圖8誤差一時間1,k2 300當(dāng) 0.6 , k2 1時，驅(qū)動系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)不能達(dá)到同步。如下圖所示：10個人收集整理勿做商

20、業(yè)用途05001000150020002500300035004000圖9誤差-時間 0.6,k2 1如上圖所示，增益控制k值和 的選擇很重要。3。3.1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階第三個方程加耦合控制同樣以統(tǒng)一系統(tǒng)（4）為驅(qū)動系統(tǒng)，根據(jù)耦合同步法將耦合系數(shù)k加在第三個方程里:dqx2d%dtqdq4dtq(25(28其中0 q10) V235 )x2Z21, k2為耦合強(qiáng)度.X2X2Z2 (291認(rèn)k3(Z20)(9)V1X2令誤差變量為:V2y2y1V3Z2Z1將（9）式減去（4）式可以得到誤差系統(tǒng)為：11個人收集整理勿做商業(yè)用途dqv1dtqdqv2(2510)( V2 %)dtqqd V3"d

21、F(28yiVi對（10）式做令：Vi s整理得:V235 乙)v1x2V2( k3Laplace變換。Visqsqsq1,2,3x2v3 (291)v2sqV ssq(10)1,2,3，則1V11V21V3(25(25(2810)(V2 s35)V sV1(29s )1)V2 sL X2V3L z1V1L ywL x2v210)V2 sq 1sV1 02510 sq(28 35 )M s L x2v3 L z1Vlsq 1v2L ywsqL x2v2sq 291q 1s v3 0k3(8)3由Laplace變換的終值定理得:limv 1(t) ljmsM(s)10)V2 ssqV1 0lim

22、 v2( t)2510 sqlim sV2 ss 02limv9 st 2lim sV2( s) s 0s(28 35 )V1 s lim s 0sL x2V3 sL z1Vlsqv2lims 0sq 291s(28 35 )V1 s sL x2v3sL z1Vl1 2912個人收集整理勿做商業(yè)用途limv 3(t)lim sV3( s) s 0lims 0sLyiVisL x2v2 sqv3 0sq3K 網(wǎng)(sL y1V1sL x2v2 )若y(s)有界，1 290,則limv 1(t) |imv2(t) 0再根據(jù)混沌吸引域的有限性：存在某一個正數(shù) M ,使得max 刈，y1，Z1M所以得到

23、：L ZiVi MV1 sL y1v1MV1 s由pmv2(t) 0 ,于是x2有界不失一般性設(shè)x2 M ,則L x2v2MV2 s當(dāng) 8 3k3 0時，可以得到lim v3(t) 0所以，在假設(shè)V2(s)有界且8 3k2 0的情況下可以得到lim vi(t) 0( i 1,2,3 )表明驅(qū)動系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)在適當(dāng)?shù)倪x擇 和k3可以達(dá)到同步3。3.2數(shù)值仿真取步長 h 0.001 , (xi(0),yi(0),zi(0) (2,4,7);(x2(0),y2(0),Z2(0) (2,1,2),通過運(yùn)用Matlab軟件，可以做出系統(tǒng)在不同和k3的情況下達(dá)到同步時的誤差一時間圖，如下圖所示

24、：13個人收集整理勿做商業(yè)用途100015002000t2500300035004000圖10誤差一時間(0.6,k3 50)-305001000150020002500300035004000t圖11誤差一時間(0.8,k3 100)05001000150020002500300035004000t圖12誤差一時間(1,底300)當(dāng)0.8,k3 5時，其誤差時間圖如下:504030204吟曲附側(cè)加/加-10-20-30-40-5050010002000t25004000圖13誤差時間圖(0.8,k3 5)如上圖所示，0.8,k3 5時驅(qū)動系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)不能達(dá)到同步，所14個人收集

25、整理勿做商業(yè)用途以增益控制k和的選擇很重要3.4.1統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階三個方程都加耦合控制同樣以統(tǒng)一系統(tǒng)（4）為驅(qū)動系統(tǒng)，根據(jù)耦合同步法在每個方程都加上耦合系數(shù):d Xc二 (2510)y2 X2"X2 X1)dtq(28 35 )x2 x2z2 (291)V 21 2( y2Vi )(11d qz2dtq令誤差變量為:w2X2V2Z2X1V1Z18-、X2V2 Z213( Z2Zi )3其中0 q 1, I1J2J3為耦合強(qiáng)度。將（11）式減去（4）式可以得到誤差系統(tǒng)為:dqw1dtq(2510)W2 (I1 2510)v1)dqw2dtq(28 35乙)w1 X2w3 (291 l2 )

26、w2(12dqw3dtqV1w1 X2w2 (l3)w3對（12）式做Laplace變換。sqW ssq 1wi 0 , i 1,2,3 ,則sqW ssq 1w1 0(2510)W ssqW2 ssq 1w2 0(28 35 )W s(I1 2510)W s )(291 I2)W s L X2w3L Z1w1sqWA sL V1w1L X2w2(I3 8-)W3 s3整理得:15個人收集整理勿做商業(yè)用途W(wǎng)1W2(2510 )W2 ssq 1w1 02510s(28 35 )W1 s L x2w3L z1w1sq 1w2 0sqW3L ywsqL x2w2l3(8291 l2sq 1w3 0)

27、3由 Laplace變換的終值定理得:lim w1(t) lim sW1( s)lims 0s(2510)W2 s sqw1 025251010 sq 1i2510 l25102510 l- lim sW2 ss 01- lim w2 s1tlim w2(t) limsW2(s) ts 0s(28 35 )W s sL x2w3 sL z1w1 sqw2 0 limzs 0sq 29 1 l2sim0s(28 35 )W s sL x2w3sL z1w11 29l2lim w3( t)lim sW3( s)lims 0sL y1w1sL x2w2sqw3 0sq l3 (8)38 313lim

28、( sL y1w1sL x2w2 )若W2(s)有界，25101i 0,則lim w1( t) imw2(t)再根據(jù)混沌吸引域的有限性：存在某一個正數(shù) M ,使得max % , y，Zi所以得到:16個人收集整理勿做商業(yè)用途L ZjW1L yiW1MW1MW1由im2 w（ t） 0 ,于是X2有界不失一般性設(shè)X2x2w2MW2當(dāng) 8 313 0時可以得到lim w3(t) 0所以，在假設(shè)W2（s）有界且2510 1i 0,3130的情況下可以得到timw(t) 0(i 1,2,3)表明驅(qū)動系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）在適當(dāng)?shù)倪x擇和li（i1,2,3）可以達(dá)到同取步長h通過運(yùn)用一時間圖,如下圖

29、所示：e1-2200102030405060708090100te220-2e3-2200102030405060708090100t0102030405060708090100t步。3。4。2數(shù)值仿真0.001 , (X1(0),y1(0),z1(0) (2,4,7);(X2(0),y2(0),Z2(0) (2,1,2),。Matlab軟件，可以做出系統(tǒng)在不同 和k的情況下達(dá)到同步時的誤差圖 14 誤差一時間 (0.6;l1 210;l2 450;l3 300;)17個人收集整理勿做商業(yè)用途2e10-20102030405060708090100t2e20-20102030405060708

30、090100te320-20102030405060708090100t圖 15誤差一時間(0.8;l1 150;l2 350;l3 200;)el20-20102030405060708090100te220-220-240010203060708090100e3圖16誤差一時間i；1i150;l2 350;l3 200)0.6時，取2510 1i 0,3l30,驅(qū)動系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）0102030405060708090100t50t不同步.即11 25,l32.866 ,由于Laplace變換沒有對限制，取L 50,其誤差圖如下:18個人收集整理勿做商業(yè)用途t010203040

31、50 t60708090100圖 17 誤差一時間(0.6;l1 25;l2 50;l3 2.866)由圖所示，li 25;l2 50;l3 2.866時誤差不趨于零，即 驅(qū)動系統(tǒng)(4)和響應(yīng)系統(tǒng)(11)此時不能達(dá)到同步。從以上四種情況可以初步看出和增益控制k的選擇會影響驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步。本文中是應(yīng)用Laplace變換進(jìn)行理論證明，那么 和k必須同時 滿足Laplace變換的條件，要是不滿足就不能達(dá)到同步。當(dāng)然,可能還有其他 情況下的 和k使得響驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)不能達(dá)到同步，這也是本文值得繼續(xù)探究和改進(jìn)的地方。4結(jié)論本文以分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)為研究對象，利用耦合同步控制法，實現(xiàn)了分?jǐn)?shù) 階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步.并通過選取適當(dāng)?shù)膮?shù)以及初始值進(jìn)行數(shù)值模擬， 進(jìn)一 步驗證了本文的方法是可行的、有效的。但是，對于耦合控制k的選擇應(yīng)該謹(jǐn)慎。參考文獻(xiàn):19個人收集整理勿做商業(yè)用途1 Mandelbort B B. The Fractal Geometry of Nature M . New York: W 。H. Freeman and Co.,1983:485 489。2 Hartly T T ,Lorenzo C F , Qammer H K. Chaos on a fractional Chua 's system J。IEEE T