K清風(fēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)無(wú)窮級(jí)數(shù)1 .級(jí)數(shù)收斂充要條件：局部和存在且極值唯一，即：Sn lim Uk存在，稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂。n k 12 .假設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)Un收斂，發(fā)散，那么稱(chēng)Un條件收斂，假設(shè) 囚收斂，那么稱(chēng)n 1n 1n 1n 1級(jí)數(shù) un絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定條件收斂。. n 13 .任何級(jí)數(shù)收斂白必要條件是nim Un 04 .假設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)Un和 Vn , Un S, Vnn 1n 1n 1n 1那么 （Un Vn） S ,Un Vn S on 1n 1n 1 Un收斂，Vn發(fā)散，那么（Un Vn）發(fā)散。n 1n 1n 1假設(shè)二者都發(fā)散，那么（Un Vn）不確定，如 1,1發(fā)散，而 1 1 0

2、收斂n 1k 1 k 1k 1n ar六，收斂,|r1n 0發(fā)目攵，r 11收斂，p 1n 1 np發(fā)放，p 11收斂，p 1n 2 nlnp n發(fā)放，p 14 .三個(gè)必須記住的常用于比擬判斂的參考級(jí)數(shù):a）等比級(jí)數(shù):b） P級(jí)數(shù)：c）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù):5 .三個(gè)重要結(jié)論（an an1）收斂lnim an存在壬項(xiàng)不變號(hào)級(jí)數(shù)an收a2收,n 1反之不成立， a2和b2都收斂|anbn|收，n或 回收nn6 .常用收斂快慢正整數(shù) ln n n （0） an（a 1） n!nn由慢到快由慢到快連續(xù)型 lnx x (0)ax(a 1)xx7.正項(xiàng)不變號(hào)級(jí)數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1.達(dá)朗貝爾比值法limnUn

3、1Unl 1,收l(shuí) l 1,發(fā)（實(shí)際上導(dǎo)致了 lim n 0） nl 1,單獨(dú)討論（當(dāng)n為連乘時(shí)）2.柯西根值法lim unln y1,收1,發(fā)（當(dāng)n為某n次方時(shí)）1,單獨(dú)討論3.比階法代數(shù)式unVnvn收斂 n 1Un n 1I收斂，un發(fā)散Vn發(fā)散 n 1極限式lim %A,其中:vnunn 1和Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 11 . n 1Tn 一n 2 . n n 1un 3n21n1 0 1dx xundx x1, 1 、，一.4,也可選用基準(zhǔn)級(jí)數(shù) 口就可知原級(jí)2n * 12n2n28、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧萊布尼茨判交錯(cuò)級(jí)數(shù)【任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例這是個(gè)必要條件，如果不滿(mǎn)足，那么（ “

4、m Un 0 Un Un 1（ 1）n Unn 01Un必發(fā)散，假設(shè)只有不滿(mǎn)足，那么n收斂。不一n 0定收斂還是發(fā)散，要使用絕對(duì)收斂判別其斂散性。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂使用絕對(duì)值，使之轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的兩個(gè)重要技巧:a微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。b k階無(wú)窮小試探法。在不能估計(jì)出通項(xiàng)的無(wú)窮小階次時(shí)，使用該試探法,圓域X0內(nèi)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)anXn當(dāng)XX1點(diǎn)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)在圓域|xn 0Xi外發(fā)散。由阿貝爾Abel定理可見(jiàn)收斂點(diǎn)集或發(fā)散點(diǎn)集是分別連接成對(duì)稱(chēng)連續(xù)區(qū)域，這一定理是弓 入幕級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意

5、，除 X X0 X0 0外，該定理并沒(méi)有完全保證圓上每一點(diǎn)的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好事級(jí)數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果 anxn不是僅在x 0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，那么必有 n 0確定的正數(shù)R存在，使得：10.幕級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域an(X X0)n ,假設(shè) n 0anlim n an ;那么根據(jù)比值判斂法有: n -limnan 1anX0XX0limn1收斂X0R=limnanan+1收斂。收斂半徑R: Ranan 1全平面收斂， 只有一個(gè)收斂點(diǎn)=00,收斂區(qū)間X0R,X0:級(jí)數(shù)在X X0X0R, X0 R收斂；幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是非空點(diǎn)集，對(duì)an(x x0)n至少

6、在x X0處收斂，對(duì) nn anX0至少在X 0處收斂。由阿貝爾定理可以推出：幕級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)只能位于收斂區(qū)間端點(diǎn)R上收斂性待定，故收斂域是收斂域：由于級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)上收斂半徑R四種情況之X0R,X0R、X0R,X0R、X0R,X。R 或凡 R,X。3 .在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)anxn的和函數(shù)f X連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù);n 04 4) anxn絕對(duì)收斂。n 011.利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的充要條件是泰勒公式中余項(xiàng)包括拉氏余項(xiàng)，佩亞假設(shè)余項(xiàng)為零。以下是幾個(gè)常用的麥克勞林展開(kāi)結(jié)論。1,1) sin uScosu ln(11)nuu ( 1,1)nuu0 n!1)n1

7、)u)(1 u) tanun2n 1u u (2n 1)!2n 1 n u I u(2n)!n1)n1-n(1)( n!2n 1u0 2n 1ln2(1)n 1u ( 1,1 nu ( 1,1)0 arctanun 2n 1(1) un 0 2n 1u 1,1nnxn 1n 0 n!付立葉級(jí)數(shù)1 .周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)? f (x)為在l, l上周期為21的周期函數(shù)，那么?特別地，當(dāng)l 時(shí)?當(dāng)f(x)是偶函數(shù) ?當(dāng)f(x)是奇函數(shù)2 .非周期函數(shù)展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)方法如果非周期函數(shù)f x只是定義在區(qū)間0, l或 0,，兩種區(qū)間可以令t 丁 x相互轉(zhuǎn)換,為了利用付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，必須將 f x拓展，其方式有兩種，即:1偶拓展令F(x)f(x)0f( x)l使F(x)成為上的周期偶函數(shù)，展開(kāi)后取0 x l上的函數(shù)值即為x的付里葉展開(kāi)。2奇拓展令F(x)f(x)0f( x)l;使F(x)成為l, l上的周期奇函數(shù)，展開(kāi)后取0 x l上的函數(shù)值即為f x的付里葉展開(kāi)。3.狄利克雷收斂定理設(shè)函數(shù)f x在l, l上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),那么f x的付里葉級(jí)數(shù)收斂。并且:9.帚級(jí)數(shù)an(x x0)nn 01 .阿貝爾Abel定理如果級(jí)數(shù)anxn當(dāng)x x0 x0 0,因?yàn)閤0=0anx2 0顯然收斂 點(diǎn)收斂，那么級(jí)數(shù)在可逐項(xiàng)微分 f ,(x) (anx