2022年(輔導(dǎo)班適用)高二數(shù)學(xué)寒假講義12《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題》（含詳解）

1、2022年(輔導(dǎo)班適用)高二數(shù)學(xué)寒假講義12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題一、選擇題方程x36x29x10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是()A.3 B.2 C.1 D.0若存在正數(shù)x使2x(xa)1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，) B.(2，) C.(0，) D.(1，)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示.當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y=f(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4若關(guān)于x的不等式x33x29x2m對(duì)任意x2,2恒成立，則m的取值范圍是()A.(，7 B.(，20 C.(，0 D.12,7設(shè)f(x)是定義在R上的奇

2、函數(shù)，且f(2)=0，當(dāng)x>0時(shí)，有<0恒成立，則不等式x2f(x)>0的解集是()A.(2,0)(2，)B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，)D.(，2)(0,2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(x)1，f(0)=4，則不等式exf(x)ex3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為( )A.(0，) B.(，0)(3，)C.(，0)(0，) D.(3，)若不等式2xln xx2ax3對(duì)x(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，0) B.(，4 C.(0，) D.4，)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=2ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln xln 2上，則|PQ|的最小值為()A.

3、1ln 2 B.(1ln 2) C.2(1ln 2) D.(1ln 2)已知函數(shù)（lnx是以e為底的自然對(duì)數(shù)，e=2.71828.），若存在實(shí)數(shù)m,n(m<n)，滿足f(m)=f(n)，則n-m的取值范圍為( )A.(0,e2+3) B.(4,e2-1 C.5-2ln2,e2-1 D.5-2ln2,4做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為()A.3 B.4 C.6 D.5函數(shù)f(x)=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A.(- ,0)  B.(0,+ )   C.(- ,3)和(1,

4、+ )   D.(-3,1)已知函數(shù)f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域?yàn)?2a,0，則b的取值范圍是( )A.0,3 B.0,2 C.2,3 D.(1,3二、填空題若函數(shù)f(x)=2x39x212xa恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a=_.函數(shù)y=x2cos x在區(qū)間上的最大值是_.已知函數(shù)f(x)=x，g(x)=2xa，若任意x1,1，存在x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.直線x=t分別與函數(shù)f(x)=ex1的圖象及g(x)=2x1的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則|AB|的最小值為 .三、解答題已知函數(shù)f(x)=lnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1

5、，f(1)處的切線方程；(2)求證：f(x)>0.已知函數(shù)f(x)=aexln x1.(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.已知函數(shù)f(x)=x2(a2)xalnx(a為實(shí)常數(shù)).(1)若a=2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；(2)若存在x1，e，使得f(x)0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2xln x(2a1)xa1(aR).(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e，f(e)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x1，)，函數(shù)f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=(aR).(1)求函數(shù)f(x

6、)的單調(diào)區(qū)間；(2)若任意x1，)，不等式f(x)1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=(xa1)ex，g(x)=x2ax，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x0，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)f(x)=(ax2)ex在x=1處取得極值.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)在m，m1上的最小值；(3)求證：對(duì)任意x1，x20，2，都有|f(x1)f(x2)|e.答案解析答案為：C；解析：設(shè)f(x)=x36x29x10，f(x)=3x212x9=3(x1)(x3)，由此可知函數(shù)的極大值為f(1)

7、=60，極小值為f(3)=100，所以方程x36x29x10=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為1.答案為：D；解析：2x(xa)1，ax.令f(x)=x，f(x)=12xln 20.f(x)在(0，)上是增加的，f(x)f(0)=01=1，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，).答案為：D解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖所示.由于f(0)=f(3)=2,1<a<2，所以y=f(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案為：B解析：令f(x)=x33x29x2，則f (x)=3x26x9，令f (x)=0得x=1或x=3(舍去).f(1)=7, f(2)=0, f(2)=20，f(x)的

8、最小值為f(2)=20，故m20.答案為：D解析：當(dāng)x>0時(shí)，<0，(x)=在(0，)為減函數(shù)，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)在R上單調(diào)遞增.f(2)=0，在(0,2)內(nèi)恒有f(x)>0；在(2，)內(nèi)恒有f(x)<0.故在(，2)內(nèi)恒有f(x)>0；在(2,0)內(nèi)恒有f(x)<0.故x2f(x)>0的解集為(，2)(0,2).答案為：A；解析：設(shè)g(x)=exf(x)ex(xR)，則g(x)=exf(x)exf(x)ex=exf(x)f(x)1，因?yàn)閒(x)f(x)1，所以f(x)f(x)10，所以g(x)0，所以g(x)=exf(x)ex在

9、定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)閑xf(x)ex3，所以g(x)3.又因?yàn)間(0)=e0f(0)e0=41=3，所以g(x)g(0)，所以x0.答案為：B；解析：由題意知a2ln xx對(duì)x(0，)恒成立，令g(x)=2ln xx，則g(x)=1=，由g(x)=0得x=1或x=3(舍)，且x(0,1)時(shí)，g(x)0，x(1，)時(shí)，g(x)0.因此g(x)min=g(1)=4.所以a4，故選B.答案為：D.解析：由已知可得y=2ex與y=ln xln 2=ln 互為反函數(shù)，即y=2ex與y=ln xln 2的圖象關(guān)于直線xy=0對(duì)稱，|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線xy=0的最小距離的2倍，令Q(t，ln tl

10、n 2)，過(guò)點(diǎn)Q的切線與直線xy=0平行，函數(shù)y=ln xln 2的導(dǎo)數(shù)為y=，其斜率為k=1，所以t=1，故Q(1，ln 2)，點(diǎn)Q到直線xy=0的距離為d=，所以|PQ|min=2d=(1ln 2).答案為：C；答案為：A；解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則V=R2l=27，l=，要使用料最省，只需使圓柱的側(cè)面積與下底面面積之和S最小.由題意，S=R22Rl=R22·.S=2R，令S=0，得R=3，則當(dāng)R=3時(shí)，S最小.故選A.答案為：D答案為：A；解析：由f(x)=(xa)33xa，得f(x)=3(xa)23，令f(x)=0，得x1=a1，x2=a1.當(dāng)x(，a1)(a

11、1，)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(a1，a1)時(shí)，f(x)0，則f(x)在(，a1)，(a1，)上為增函數(shù)，在(a1，a1)上為減函數(shù).又f(a1)=22a，要使f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域?yàn)?2a,0，則f(1a)=22a0，若22a=0，即a=1，此時(shí)f(1)=4，f(0)=0，22a=4，f(3)=0，f(2)=4.b0,3；若22a0，即a1，此時(shí)f(1)=(1a)33a=a33a22a2，而f(1)(2a2)=a33a22a22a2=a33a24=(1a)·(a2)20，不合題意，b的取值范圍是0,3.故選A.答案為：4或5；解析：f(x)=6x218x12

12、，令f(x)=0得x=1或x=2，又當(dāng)x1或x2時(shí)，f(x)0，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0.因此x=1和x=2分別是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).由題意知f(1)=0或f(2)=0，即5a=0或4a=0.解得a=4或a=5.答案為：.解析：y=12sin x，令y=0，又x，得x=，則x時(shí)，y>0；x時(shí)，y<0.故函數(shù)y=x2cos x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.答案為：(，1；解析：當(dāng)x,1時(shí)，f(x)=10，f(x)min=f(1)=5.當(dāng)x2,3時(shí)，g(x)=2xa是增函數(shù)，g(x)min=4a.由題意知54a，即a1.答案為：42ln2；解析：

13、由題意得，|AB|=|et1(2t1)|=|et2t2|，令h(t)=et2t2，則h(t)=et2，所以h(t)在(，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，)上單調(diào)遞增，所以h(t)min=h(ln2)=42ln20，即|AB|的最小值是42ln2. (1)解：f(x)=lnx的定義域是(0，)，f(x)=，所以f(1)=，又f(1)=1，則切線方程為x2y3=0.(2)證明令h(x)=x32x23x2，則h(x)=3x24x3，設(shè)h(x)=0的兩根為x1，x2，由于x1x2=1<0，不妨設(shè)x1<0，x2>0，則h(x)在(0，x2)上是單調(diào)遞減的，在(x2，)上是單調(diào)遞增的.而

14、h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一零點(diǎn)x0，且x0(1,2)，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增.所以f(x)f(x0)=lnx0，因?yàn)閤0(1,2)，lnx0>0，f(x)>>0，所以f(x)>0.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)=aex.由題設(shè)知，f(2)=0，所以a=.從而f(x)=exln x1，f(x)=ex.當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增.(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)ln x1.設(shè)g(x)=ln

15、 x1，則g(x)=.當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(1)=0.因此，當(dāng)a時(shí)，f(x)0.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x22lnx，則f(x)=2x，f(1)=0，所求切線方程為y=1.(2)f(x)=2x(a2)=，x1，e.當(dāng)1，即a2時(shí)，x1，e，f(x)0，此時(shí)f(x)在1，e上單調(diào)遞增.所以f(x)的最小值為f(1)=a1，所以1a2；當(dāng)1<<e，即2<a<2e，x（1，）時(shí)，f(x)<0，f(x)在（1，）上單調(diào)遞減；當(dāng)x（，e）時(shí)，f(x)>0，f(x)在（，e）上單調(diào)遞

16、增，所以f(x)的最小值為f()=aaln=a(ln -a-1).因?yàn)?<a<2e，所以0<ln<1，所以f()=aln -a-1)<0恒成立，所以2<a<2e；當(dāng)e，即a2e時(shí)，x1，e，f(x)0，此時(shí)f(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(e)=e2(a2)ea，因?yàn)閍2e>，所以f(e)<0，所以a2e，綜上，a1.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xln xx1，則f(x)=ln x，則f(e)=1，f(e)=1，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(e，f(e)處的切線方程為y1=(xe)，即xy1e=0.(2)f(x)=2ax1

17、ln x(2a1)=2a(x1)ln x，易知，ln xx1，則f(x)2a(x1)(x1)=(2a1)(x1)，當(dāng)2a10，即a時(shí)，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)f(1)=0符合題意.所以a.當(dāng)a0時(shí)，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞減，f(x)f(1)=0顯然不滿足題意，故a0舍去.當(dāng)0<a<時(shí)，由ln xx1，得ln 1，即ln x1，則f(x)2a(x1)（1）=·(2ax1).因?yàn)?<a<，所以>1.當(dāng)x1,時(shí)，f(x)0恒成立，此時(shí)f(x)在1,上單調(diào)遞減，f(x)f(1)=0

18、不滿足題意，所以0<a<舍去.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為,+).解：(1)f(x)=，當(dāng)a時(shí)，x22x2a0，故f(x)0，函數(shù)f(x)在(，)上遞增，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(，)，無(wú)遞減區(qū)間.當(dāng)a時(shí)，令x22x2a=0x1=1，x2=1，列表由表可知，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，遞減區(qū)間為(1，1).(2)f(x)112ax2ex，由條件2ax2ex，對(duì)任意x1成立.令g(x)=x2ex，h(x)=g(x)=2xex，h(x)=2ex，當(dāng)x1，)時(shí)，h(x)=2ex2e0，h(x)=g(x)=2xex在1，)上遞減，h(x)=2xex2e0，即

19、g(x)0，g(x)=x2ex在1，)上遞減，g(x)=x2exg(1)=1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max=1e，a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，）.解：(1)因?yàn)閍=2，所以f(x)=(x1)ex，所以f(0)=1，f(x)=(x2)ex，所以f(0)=2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，所以切線方程為2xy1=0.(2)令h(x)=f(x)g(x)，由題意得h(x)min0在x0，)上恒成立，h(x)=(xa1)exx2ax，所以h(x)=(xa)(ex1)，若a0，則當(dāng)x0，)時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)min=h(0)=a1，則a10，得a