《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》試卷及答案解析

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題及答案一、填空題1、用最速下降法求 f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2 的最優(yōu)解時(shí)，設(shè) X(0)-0.5,0.5 T， 第一步迭代的搜索方向?yàn)?-47;-50 。2 、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法 ,其核心一是建立搜索方向二是計(jì)算最佳步長因子。3、當(dāng)優(yōu)化問題是 _凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和 終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高- 低-高 趨勢。5 、包含 n 個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。16、函數(shù) XTHX BTX C 的梯度為 HX+B 。27

2、、設(shè) G為 n×n 對稱正定矩陣，若 n 維空間中有兩個(gè)非零向量 d 0，d1，滿足(d 0) TGd 1=0 ， 則 d0、d1 之間存在 _共軛關(guān)系。8 、 設(shè)計(jì)變量 、 約束條件 、 目標(biāo)函數(shù) 是優(yōu)化 設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù) f(x1,x2)，若在 x 0( x10 , x20 )點(diǎn)處取得極小值， 其必要條件是 梯 度為零 ，充分條件是 海塞矩陣正定 。10 、 庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11 、 用黃 金分 割 法求 一元函數(shù) f(x) x2 10x 36 的極 小點(diǎn) ，初 始 搜索區(qū)間

3、 a,b 10,10 ，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為-2.36,2.36 。12 、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、約束條件 目標(biāo)函數(shù) 、13 、牛頓法的搜索方向 dk=，其計(jì)算量 大 ，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 逼近位置。1 T T14 、 將 函 數(shù) f(X)=x 12+x 22-x 1x2-10x 1-4x 2+60 表 示 成 XTHX BTX C 的 形2 式。15 、存在矩陣 H，向量 d1，向量 d2，當(dāng)滿足 (d1)TGd2=0 ，向量 d1 和向 量 d2 是關(guān)于 H 共軛。16 、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)， 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因 子 r

4、 數(shù)列，具有 由小到大趨于無窮 特點(diǎn)。17 、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即 求。二、選擇題1 、下面 方法需要求海賽矩陣。A 、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題 min f X x12 x22 4x2 4g1 X x1 x22 1 0g 2 X 3 x1 0g 3 X x2 0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X 1 1,1T 為， X 2 52 , 12T為。A內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B. 外點(diǎn)；外點(diǎn)C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 優(yōu)_ 化問題。A 無約束優(yōu)化問題B 只含有不等式約束的優(yōu)化問題C 只含有

5、等式的優(yōu)化問題D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a，b，中間插入兩個(gè)點(diǎn) a1、b1，a1<b1，計(jì)算出 f(a1)<f(b 1)， 則縮短后的搜索區(qū)間為 。_A a1，b1B b 1 ，bC a1，bD a，b15 、不_ 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A 設(shè)計(jì)變量B 約束條件C 目標(biāo)函數(shù)D 最佳步長6、變尺度法的迭代公式為 xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不屬于 Hk 必須滿足的條件的是 。A. Hk 之間有簡單的迭代形式B. 擬牛頓條件C. 與海塞矩陣正交D. 對稱正定7、函數(shù) f ( X )在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的。A 、最速上升方

6、向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， 在_ 構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A 梯度法B 牛頓法C 變尺度法D 坐標(biāo)輪換法9、設(shè) f (X )為定義在凸集 R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， 則 f(X)在 R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣 G(X)在 R 上處處。A 正定B 半正定C 負(fù)定D 半負(fù)定10 、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述， 錯(cuò)誤的是 ， 假設(shè)要求在區(qū)間 a，b 插入兩點(diǎn) 1、2， 且1<2。A 、其縮短率為 0.618B、1=b- (b-a )C、1 =a+ (b-a )D、在該方法中縮短搜索區(qū)間

7、采用的是外推法。11 、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 上升 方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 下 降 方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 不變 方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12 、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是 。A、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為 0 的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13 、最速下降法相鄰兩搜索方向 dk和dk+1 必為向量。A 相切B 正交C 成銳角D 共軛14 、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是。A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B 懲罰因子是不斷遞減的正值C 初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)15 、通常情

8、況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是A 牛頓法 B 梯度法 C 共軛梯度法 D 變尺度法16 、一維搜索試探方法黃金分割法比二次插值法的收斂速度A 、慢 B、快 C、一樣 D 、不確定17 、下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是。 A 需要求海賽矩陣B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度 C 共軛梯度法具 有二次收斂性D 第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度三、問答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理 區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間 的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割

9、法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù) 的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法 稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù) 結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)懲罰函數(shù) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值， 以期得到原問 題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答 主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長因子的近似值4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是

10、直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢， 越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每 次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。5 、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式， 并說明公式中各變量的意義， 并說明迭代公式的意義。四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù) f（X）=1.5x 12+0.5x 22- x1x2-2x1 的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x（0）=-2 ，4T,選代精度=0.02 （迭代一步）2、試用牛頓法求 f( X )=(x 1-2) 2+(x 1-2x 2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn) x(0)=2,1 T 3、設(shè)有函數(shù) f(X)

11、=x 12+2x 22-2x 1x2-4x 1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。4 、求目標(biāo)函數(shù) f( X )=x 12+x 1x2+2x 22 +4x 1+6x 2+10 的極值和極值點(diǎn)。5、試證明函數(shù) f( X )=2x 12+5x22 +x 32+2x 3x2+2x 3x1-6x2+3 在點(diǎn)1，1，-2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2) 2s.t. g 1(X)= x12x22 50g 2 (X)= x12x24 0g 3 (X)= x 10g 4 (X)=x 20驗(yàn)證在點(diǎn) X 2，T Kuhn-Tucker 條件成立。7、設(shè)非線性規(guī)劃問題

12、minf(X)2(x1 2)22x2s.t.g1(X)x1 0g2(X)x2 0g3(X)x12 x22 10用 K-T 條件驗(yàn)證 X * 1,0 T 為其約束最優(yōu)點(diǎn)x 的方塊并折轉(zhuǎn)，試寫出這一優(yōu)10 、如圖，有一塊邊長為 6m 的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（ x 取何值）才能獲得最大容器的箱子 化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序11 、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為 8000cm 3 的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原 材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB 軟件求解的程序。12 、一根長 l 的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例 截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以 及用 MATLAB 軟件求解的程序13 、求表面積為 300m 2 的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模 型以及用 MATLAB 軟件求解的程序。14 、薄鐵板寬 20cm ，折成梯形槽，求梯形