中考必會(huì)幾何模型：中點(diǎn)四大模型

1、中點(diǎn)四大模型模型 1 倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形AAE圖模型分析 如圖，AD 是ABC 的中線，如圖， D 是 BC 中點(diǎn)，延長(zhǎng) FD 當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時(shí)候， 可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線， 構(gòu)造全等三角形， 目的是對(duì) 已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移延長(zhǎng) AD 至點(diǎn) E 使 DEAD，易證：ADC EDB（ SAS） 至點(diǎn) E 使 DE FD ，易證： FDB EDC（SAS）模型實(shí)例如圖，AC 于點(diǎn) F已知在 ABC中， AD 是 BC邊上的中線， E是 AD 上一點(diǎn)，連接 BE并延長(zhǎng)交 AFEF，求證： AC BE191如圖，在 ABC中，AB12，AC20，求 BC邊上

2、中線 AD 的范圍A解：延長(zhǎng) AD 到 E，使 AD DE ，連接 BE，AD 是 ABC 的中線，BDCD，在 ADC 與 EDB 中，BD CDADC BDE ，AD DE ADC EDB（SAS），EBAC 20，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理： 2012<AE<20 12， 4<AD<16，故 AD 的取值范圍為 4<AD <162如圖，在 ABC中， D是BC的中點(diǎn)， DM DN，如果 BM2CN2DM2DN21求證： AD2 （AB2AC2）4B D C證明：如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 AC 的平行線交 ND 的延長(zhǎng)線于 E，連 ME BDDC，EDDN 在

3、BED 與 CND 中，BD DC BDE CDNED DN BED CND （SAS）BENC MDN 90°， MD 為 EN 的中垂線EMMNBM2BE2BM2NC2MD 2DN2MN2EM2， BEM 為直角三角形， MBE 90°ABCACB ABC EBC90° BAC 90°11AD2（ BC）2 （AB2AC2）24模型 2 已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合模型分析等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到： “邊等、角等

4、、 三線合一”模型實(shí)例如圖，在 ABC 中，ABAC5，BC6，M 為 BC 的中點(diǎn)， MNAC 于點(diǎn) N，求 MN 的長(zhǎng)度解答： 連接 AM ABAC5，BC6，點(diǎn) M為 BC中點(diǎn)，1AM BC，BMCM BC32AB5，AM AB2 BM 252 32 4MNAC，1S ANC MC·AM 1AC·MN2即：11×3× 4 ×5×MN22 MN 5跟蹤練習(xí)1如圖，在 ABC 中， AB AC，D 是 BC 的中點(diǎn)， EDB FDC AE DE，AF DF ，且 AEAF，求證：證明：連結(jié) AD ，ABAC，D 是BC 的中點(diǎn)，AD

5、 BC， ADB ADC90° 在 Rt AED 與 Rt AFD 中，AB AF ，AD ADRt AED RtAFD （ HL） ADE ADF， ADB ADC90°， EDB FDC 2已知 Rt ABC中， AC BC， C 90°， D為 AB邊的中點(diǎn)， EDF90°，EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC、 CB（或它們的延長(zhǎng)線）于 E、 F 1（1）當(dāng) EDF 繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DF AC于E時(shí)（如圖） ，求證： SDEFSCEF SABC；2（2）當(dāng) EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時(shí)，在圖和圖這兩種情況下，上述結(jié)論

6、是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，SDEF、 SCEF、SABC 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明圖圖解：（ 1）連接 CD；如圖 2 所示：AC BC， ACB90°，D 為 AB 中點(diǎn)，11 B45°， DCE ACB45°，CDAB，CD ABBD，22 DCE B， CDB 90°， EDF 90°， 1 2，在 CDE 和 BDF 中，12 CD BD ， DCB B CDE BDF （ ASA），1SDEFSCEFSADE SBDF SABC；21（2）不成立； SDEF - SCEF S ABC ；理由如下：連

7、接 CD，如圖 3 所示：2同（ 1）得： DEC DBF ， DCE DBF 135° S DEF S 五邊形 DBFEC ，S CFE SDBC ，1S CFE SABC，2S DEFSCFE 1 SABC21SDEF、SCEF、SABC 的關(guān)系是： SDEF SCEF SABC2模型 3已知三角形一邊的中點(diǎn)，可考慮中位線定理模型分析在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DEBC，且 DE 1 BC 來(lái)解題中位線定理中既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該2模型可以解決角問題，線段之間的倍半、相等及平行問題模型實(shí)例 如圖，在四邊形 ABCD 中

8、，ABCD，E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn)，連接 EF 并延長(zhǎng)， 分別與 BA、CD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M，N求證： BME CNEM解答如圖，連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) H，連接 HE 、HFE、 F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn)，11FH AB，F(xiàn)H AB，HE DC，HE NC22又 ABCD ，HEHF HFE HEFFH MB，HENC， BME HFE ， CNE FEH BME CNE 練習(xí)：1. （1）如圖 1，BD，CE分別是 ABC 的外角平分線，過(guò)點(diǎn) A作 ADBD，AECE，垂足1分別為 D，E，連接 DE ，求證： DEBC，DE= 1 （AB+BC+AC）；2（2）如

9、圖 2， BD ，CE 分別是 ABC 的內(nèi)角平分線，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立？（3）如圖 3，BD 是ABC 的內(nèi)角平分線， CE是 ABC的外角平分線，其他條件不變， DE 與 BC 還平行嗎？它與 ABC 三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想， 并對(duì)其中一種情 況進(jìn)行證明 .C1.解答（1）如圖，分別延長(zhǎng) AE， AD 交 BC 于 H，K. 在 BAD 和 BKD 中，ABD DBKBD BDBDA BDK BAD BKD （ASA） AD=KD，AB=KB. 同理可證， AE=HE ， AC=HC.1DE= HK.2又 HK =BK+BC+CH =AB+BC+AC.DE=1

10、2AB+AC+BC）ABD DBKBD BDBDA BDK BAD BKD （ASA） AD=KD，AB=KB 同理可證， AE=HE ， AC=HC.1DE= HK.2 又 HK =BK+CH -BC =AB+AC-BC1DE= 1 （AB+AC-BC）2C（3）圖的結(jié)論為 DE=1 （BC+AC-AB）2證明：分別延長(zhǎng) AE， AD 交 BC 或延長(zhǎng)線于 H ，K. 在 BAD 和 BKD 中，ABD DBKBD BDBDA BDK BAD BKD （ASA） AD=KD，AB=KB. 同理可證， AE=HE ， AC=HC.1DE= KH.2 又 HK=BH-BK =BC+CH-BK =

11、BC+AC-AB1DE= 1 （BC+AC-AB）.2A2. 問題一：如圖，在四邊形 ABCD 中，AB與 CD 相交于點(diǎn) O，AB=CD，E，F(xiàn)分別是 BC， AD 的中點(diǎn)，連接 EF，分別交 DC，AB 于點(diǎn) M， N，判斷 OMN 的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論 .問題二：如圖，在 ABC中， AC>AB，D點(diǎn)在 AC上， AB=CD， E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的 中點(diǎn)，連接 EF 并延長(zhǎng)，與 BA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G，若 EFC=60°，連接 GD ，判斷 AGD 的形狀并證明 .ACFNMOGAC 中點(diǎn) H，連接 FH ，EH，如圖）2.證明（1）等腰三角形（提示：取2）

12、 AGD 是直角三角形 如圖，連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) H，連接 HF，HE. F 是 AD 的中點(diǎn)，1HF AB， HF= AB.2 1= 3.1 同理， HECD，HE= 1CD，2 2= EFC， AB =CD ， HF=HE. 1= 2. EFC=60°， 3=EFC=AFG=60°. AGF 是等邊三角形 .AF =FG .GF=FD. FGD= FDG=30°. AGD=90 °，即 AGD 是直角三角形E 圖 2模型 4 已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線AA模型分析 在直角三角形中， 當(dāng)遇見斜邊中點(diǎn)時(shí)， 經(jīng)常會(huì)作斜邊上的中線

13、， 利用直角三角形斜邊上的中1線等于斜邊的一半，即 CD=2 AB，來(lái)證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個(gè)等腰三角 形： ACD 和 BCD ，該模型經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用.模型實(shí)例如圖，在 ABC中，BE，CF分別為 AC，AB上的高，D 為BC的中點(diǎn)， DM EF于點(diǎn) M， 求證： FM=EM.AD證明連接 DE， DF.BE， CF 分別為邊 AC， AB 上的高， D 為 BC 的中點(diǎn)，DF=1BC，DE=1 BC.22DF =DE ，即 DEF 是等腰三角形DMEF，點(diǎn) M 是 EF 的中點(diǎn)，即 FM =EM.C練習(xí)：1.如圖，在 ABC 中， B=2C，ADBC 于 D

14、，M 為 BC 的中點(diǎn)， AB=10，求 DM 的長(zhǎng)度 .C1.解答取 AB 中點(diǎn) N，連接 DN，MN.在 RtADB 中， N 是斜邊 AB 上的中點(diǎn)，1DN= AB=BN=5.2 NDB= B.在 ABC中，M，N分別是 BC，AB的中點(diǎn)，MNAC NMB= C，又 NDB 是 NDM 的外角， NDB= NMD+DNM.即 B=NMD +DNM = C+ DNM . 又 B=2 C， DNM=C=NMD .DM=DN. DM=5.2.已知， ABD 和 ACE 都是直角三角形，且 中點(diǎn)，連接 MB ， MC ，求證： MB=MC.ACABD= ACE=90°，連接 DE，M

15、為 DE 的2.證明延長(zhǎng) BM 交 CE 于 G ，ABD 和ACE 都是直角三角形， CEBD. BDM=GEM.又 M 是 DE 中點(diǎn)，即 DM=EM ， 且 BMD=GME， BMD GME.BM=MG.M 是 BG 的中點(diǎn)，在 Rt CBG 中， BM=CM.3.問題 1：如圖，三角形 ABC 中，點(diǎn) D 為點(diǎn) E，F(xiàn).AE、 BF 交于點(diǎn) M，連接 DE ，是 AB 邊的中點(diǎn)， AE BC，BF AC ，垂足分別 DF，若 DE=kDF，則 k 的值為 問題 2：如圖， 三角形 ABC中，CB=CA，點(diǎn) D是 AB邊的中點(diǎn)， 點(diǎn) M在三角形 ABC內(nèi)部， 且MAC=MBC，過(guò)點(diǎn) M

16、分別作 ME BC，MF AC，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)，連接 DE，DF ，求證： DE=DF .問題 3：如圖，若將上面問題 2 中的條件“ CB=CA”變?yōu)椤?CB CA”，其他 條件不變， 試探究 DE 與 DF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .C圖33. 解答（ 1）AEBC， BFAC， AEB和 AFB 都是直角三角形， D 是 AB 的中點(diǎn)，11 DE= AB， DF = AB.22 DE=DF. DE =KDF ， k=1.（2） CB=CA ， CBA =CAB . MAC= MBC， CBA-MBC= CAB-MAC，即 ABM=BAM.AM=BM.ME BC， MF AC

17、， MEB= MFA=90°又 MBE=MAF ， MEB MFA（ AAS） BE =AF .D 是 AB 的中點(diǎn)，即 BD=AD ， 又 DBE=DAF ， DBE DAF （SAS） DE=DF.（3）DE =DF .如圖，作 AM 的中點(diǎn) G，BM 的中點(diǎn) H，連 DG ，F(xiàn)G，DH ，EH.圖2點(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)，1DG BM ，DG= BM.21 同理可得： DH AM，DH= AM.2 MEBC 于 E，H 是 BM 的中點(diǎn) .1在 Rt BEM 中，HE=1 BM =BH .2 HBE=HEB. MHE =2 HBE .11 又 DG= BM，HE= BM ，

18、22 DG=HE. 同理可得： DH =FG . MGF =2 MAC . DGBM，DH GM， 四邊形 DHMG 是平行四邊形 . DGM =DHM .MGF =2 MAC ， MHE =2MBC ， MBC =MAC ， MGF=MHE. DGM +MGF =DHM + MHE . DGF = DHE .在 DHE 與 FGD 中DG HEDGF DHEDH FG DHE FGD （SAS） DE=DF.高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)21)一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所 涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和