中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題專題講解

1、動點(diǎn)及動圖形的專題復(fù)習(xí)教案所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn) , 它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目 . 解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜, 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題 .關(guān)鍵 : 動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“ 對稱、動點(diǎn) 的運(yùn)動 ” 等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)

2、的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。 在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué) “ 動點(diǎn) ” 探究題的基本思路, 這也是 動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（ 1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教

3、師在教學(xué)中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀百八、專題一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么，我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢？下面結(jié)合中考試題舉例分析 一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB勺弧AB上，有一

4、個(gè)動點(diǎn)P,PHI±OA,垂足為H,4OPH勺重心為G. 當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時(shí),線段GO GP GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè)PH x,GP y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變 量x的取值范圍).(3)如果PGH等腰三角形，試求出線段PH的長.解：(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時(shí)，OP保持不變，于是線段GO GR GH中，有長度保持不變的線段，這條線段是_22 1GH=2NH=2 10P=2.33 2(2)在 R9P0H中，oh TOP2 PH2 J36 x2 ,.1 1 MH -OH ,36 x2 .2 2在 R

5、tAMPH,y=GP=2MP=1 ,36 3x2 (0< x<6).3 3(3) PGh等腰三角形有三種可能情況GP=PH日寸，1，36 3x2 x,解得x 呢.經(jīng)檢驗(yàn)，x “話是原方程的根, 3且符合題意.GP=GHH，1J36 3x2 2,解得x 0.經(jīng)檢驗(yàn)，x 0是原方程的根，但 3不符合題意.PH=GH寸，x 2.綜上所述，如果 PGH等腰三角形，那么線段PH的長為6或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例2如圖2,在 ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)BD=x,CE=y .(1) 如果/ BAC=30，/DAE=105，試確定y與x之間的函數(shù)解析式；(2)

6、 如果/ BAC的度數(shù)為，/DAE的度數(shù)為，當(dāng)，滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中y與x之間的函數(shù)解析式還成立很說明理由.解:(1)在4ABC中，AB=ACABAC=30 ,B C / DAB吆 CAE=75 , 圖 2BAC=30 , /DAE=105丁. / ABC"CB=75 ,ABD"CE=1057n又/ DAB吆 ADB之 ABC=75丁/ CAEN ADB,.ADH EAC,AB BDCE AC(2)由于/ DAB吆CAE=,又/ DAB吆ADBN ABC=90 -,且函數(shù)關(guān)系式成立,90二 ,整理得 一90 .22當(dāng) 90時(shí)，函數(shù)解析式y(tǒng) 1成立.2x如 三、應(yīng)用求

7、圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式例4 ()如圖，在 ABC中,/ BAC=90 ,AB=AC=2J2 , OA的半徑為1.若點(diǎn) O(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,在BC邊上運(yùn)動(與點(diǎn)B C不重合)，設(shè)BO=x, AOC勺面積為y.(2)以點(diǎn)。為圓心，BO長為半徑作圓O,求當(dāng)。與。A相圾 AOC勺面積.解:(1)過點(diǎn)A作AFU BC,垂足為H./ BAC=90 ,AB=AC=2 2, S AOC1 “1OC AH , 2.BC=4,AH=1 BC=2.2x 4 (0x4).OC=4-x.(2)當(dāng)。O與。A外切時(shí),在 RtMOHt3,OA=x 1,OH=2 x,此時(shí)，AOC勺面積y = 4 - 17.6

8、6當(dāng)。O與。A內(nèi)切時(shí)，在 RtMOHt3,OA=x 1,OH=x 2,(x 1)2 22 (2 x)2.解得 x -6(x 1)2 22 (x 2)2 - I2此時(shí)，AOC勺面積y = 4 7 1.22綜上所述，當(dāng)。O與。A相切時(shí)，AOC勺面積為17或1.62專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯 形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就

9、此問題的常見題型作簡 單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動態(tài)幾何為主線的（二）線動問題在矩形ABC并，AB= 3,點(diǎn)。在對角線AC上，直線l過點(diǎn)O,且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.（1）若直線l過點(diǎn)B,把 ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長;（2）若直線l與AB相交于點(diǎn)F,且A*1AG設(shè)AD的長 4為X,五邊形BCDEF勺面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；探索：是否存在這樣的x,以A為圓心，以x 3長 4為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)本題以矩形為背景，結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編

10、制得到.第一小題考核了學(xué)生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內(nèi)容；當(dāng)直線l沿AB邊向上平移時(shí)，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點(diǎn)一、加入直線與圓的位置關(guān)系（相切問題）的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點(diǎn)二.區(qū)分度性小題處理手法1 .找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形 用割補(bǔ)法.2 .直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用 d=r建立方程.3 .解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段 略解（1） .A'是矩形ABCD勺對稱中心A'B=AA= 1AC2. AB= AB, AB= 3； AO 6 BC 3, 3AC 尿一1 9 , AO -Vx2 94AFAEX

11、2 94x4 XS ,2 2-AE AF (9-296xS 3x22(X 9)96x3.3)若圓A與直線l相切，則x 34Xi0（舍去）X28 .一 X25不存在這樣的X,使圓A與直線l相切.例3:如圖，在等腰直角三角形 ABC中，斜邊BC=4 OABC于。，點(diǎn)E和點(diǎn)AO別在邊AR AC上滑動并保持AE=CF但點(diǎn)F不與A、C重合,點(diǎn)E不與B、A重合。判斷 OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF勺面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值A(chǔ)EF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問

12、題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等(可以通過 A E O F四點(diǎn)在以EF 為直徑的圓上得出很多結(jié)論)例8:如圖，在矩形 ABC前，AB=12cm BC=6cm點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開 始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動；點(diǎn) Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘 米/秒的速度移動。如果3P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動的時(shí)間(0& t < 6),那么：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，三角形 QA泅等腰三角形？(2)求四邊形QAPC勺面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q A P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似？分析：(1)當(dāng)三角形QA四等腰三角形時(shí)，由于/ A為直角，只能是AQ

13、=AP 建立等量關(guān)系，2t 6 t,即t 2時(shí)，三角形QA曲等腰三角形；(2)四邊形QAPC勺面積=ABCD面面積一三角形 QDC面面積一三角形 PBC 的面積1112 6 12 x (12 2x) 6=22=36,即當(dāng)P、Q運(yùn)動時(shí)，四邊形QAPC勺面積不變。(3)顯然有兩種情況： PA6AABCC AQAfPAABC2x 12 2x 6由相似關(guān)系得"6或6" 而，解之得x 3或x 1.2建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來 解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全

14、等、 相似、共圓等方面的知識求解。專題四：函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為 A (2, 1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Bo12y x x求拋物線的解析式；(用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為4)若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn) D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求 D點(diǎn)的坐標(biāo);連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得AORP與4OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。分析：1 .當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)O、 C、 D、 B頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線 為四邊形的邊和對角線來考慮問題以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平

15、行四邊形要分類討論：按OB為邊和對角線兩種情況2.函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特 點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知 三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函 鰲、蟲量 旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解 析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。例1(,已知 ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn) P、Q同時(shí)從A B兩 點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AB BC勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是

16、1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動的 速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t (s), 解答下列問題：(1)當(dāng)t=2時(shí)，判斷 BPQ勺形狀，并說明理由;2(2)設(shè)4BPQ勺面積為S (cm),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)彳QRS bpq1解：(1) 4BP幅等邊三角形, 2當(dāng) t=2 時(shí),AP=2X 1=2,BQ=2X 2=4，所以 BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP又因?yàn)? B=600，所以 BPQ是等邊三角形.(2)過 Q作 QHAB,垂足為 E,由 QB=2,得 QE=2t- sin60 0=731,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 S BPQ = 1 X

17、BPX QE=1 (6- t) X 曲 t= 13t 2+3731 ； 222(3)因?yàn)?QR/ BA,所以/ QRC=A=600, / RQC=B=600,又因?yàn)? C=6d,所以AQR0等邊三角形，這時(shí)BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)?BE=BQ cos60 0=1 X 2t=t, AP式所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 2所以EP=QRX EP/ QR,所以四邊形EPRCg平行四邊形，所以PR=EQ=3t,由APR FRQ得到空 空，即± 31L,解得t=6, PR RQ 3t 6 2t5所以當(dāng) t=6 時(shí)，APR/o APRQ. 5點(diǎn)評：本

18、題是雙動點(diǎn)問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大，對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時(shí)需要用運(yùn)動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運(yùn)動、變化的全過程，并特別關(guān)注運(yùn)動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動中取靜，靜中求動.)如圖，在 RtzXABC 中， A 90°, AB 6, AC 8, D, E 分別是邊 AB, AC 的中 點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ BC于Q,過點(diǎn)Q作QR/ BA 交AC于R,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動.設(shè)BQ x, QR y. (1)求 點(diǎn)D到BC的距離DH的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)是否存在點(diǎn)P,使4PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有 滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.分析：由ABHDABAC,可得DH;由RQr ABC,可得Q點(diǎn)D為AB中點(diǎn),BDQ DHB A 90 BHD c/dABAC ,DH BDAC BC 'BD DH ACBC1012(2) QQR /ABQRC A RQCA ABC ,RQ QCAB BC '1010x,即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y-x 6.5y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；由腰相等列方程可得x的值；注意需分類討論解：(1) Q A Rt , AB 6,