中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型歸納

1、中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型 歸納(1)兩直線平行OL”且（2）中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類一、?？键c(diǎn)匯總1兩點(diǎn)間的距離公式：A8 = J。-為I +國f 2、中點(diǎn)坐標(biāo)：線段A8的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為：中,中)的位置關(guān)系:直線y =勺x + 4 （占工0）y = k2x + b,（攵，00兩直線相交心(3)兩直線重合=攵=3且4 =%(4)兩直線垂直03-3、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范 VI E3 EJ解方程，求出方程的根；(兩種形式：分式、 二次根式)分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)； 若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于X的一元二次方程

2、2(, +巾+/=0有兩個(gè)整數(shù) 根，,5且,為整數(shù)，求？的值。4、二次函數(shù)與1軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。（方法同上）例：若拋物線y = m2+（3m + l卜+ 3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且加為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下:已知關(guān)于x的方程nix2 一3（m 一 l）x + 23 = 0 （加為實(shí)數(shù)）,求證：無論，為何值，方程總有一個(gè)固定的根。解：當(dāng)， =0 時(shí)，x = l ；當(dāng) m 工 0, A = (w-3)2 > 0 > x = 3(l 1)± VZ , $ = 2 一、x2 = 1 ；2mm綜上

3、所述：無論，為何值，方程總有一個(gè)固定的根 是1。6、函數(shù)過固定點(diǎn)問題，舉例如下:已知拋物線2-2已是常數(shù)）,求證:不論利為何值，該拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，并求出 固定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于7的方程），4+2二4",）；尸，+2 = 0l-x = 0，解得：尸X = 1，拋物線總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（1, -Do（題目要求等價(jià)于：關(guān)于，"的方程y 4 + 2 =疝t）不論，為何值，方程恒成立）小結(jié)：關(guān)于X的方程g有無數(shù)解。二： /? = 07、路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸）（1）如圖, 上確定兩點(diǎn)用、直線八人點(diǎn)A在乙上,分別在八直線八相交,（2）如圖,

4、分別在人上確定兩點(diǎn)八 小。兩個(gè)固定點(diǎn)八N 9 使得 8M + MN+AN之和最（3）如圖，A、8是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，線段在直線/上確定兩點(diǎn)八尸（E在F的左側(cè)），使得四邊 形 AEFB的周長最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直 割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如； pm=1/2 , PM Ax=l/2 , AN , Ay9、函數(shù)的交點(diǎn)問題：二次函數(shù) (y=ax2+bx- 函數(shù) (y=kx-h )解方程組卜二：'+，可求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的坐 y=kx+h標(biāo)。(2)解方程組卜即"WT)x+ci=。， y=kx+h通過可判斷兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)O A>0僅有

5、一個(gè)交點(diǎn)O A = 0沒有交點(diǎn)<=> A<010、方程法5(1)(2)的數(shù)量(3)設(shè)：設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時(shí)，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要 求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖 形跟平行 有關(guān)的 圖形平移/)=£=k = 51 " ，1XX 一 £平行四 邊形 矩形梯形勾股定理 逆定理直角三跟直角利用相似、角形有關(guān)的全等、平A8 =，(以 - % )2 + 3 一 & )2直角梯圖形

6、行、對頂形角、互余、互補(bǔ)等矩形跟線段利用幾何AB =- % )2 + -辦)2等腰三有關(guān)的中的全等、圖形 中垂線的性質(zhì)等。角形全等等腰梯跟角有 關(guān)的圖 形利用相似、 全等、平 行、對頂 角、互余、 互補(bǔ)等【例題精講】一基礎(chǔ)構(gòu)圖:y=/-2一（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是 這個(gè)）和1:小,在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的和最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)在對稱軸上找一點(diǎn)P,使得PBPC的差最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)求面積最大 連接AC,在第四象限找一點(diǎn)P,使得AAC尸面積最大，求出P坐標(biāo)討論直角三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn) P,使得為直角三角形，求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn)P,使八4。尸 是以AC為直角邊的直角

7、三角形.9討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn)P,使 得 A4CP為等腰三角形，求出P坐標(biāo)討論平行四邊形1、點(diǎn)£在拋物線的對稱上，點(diǎn)方在拋物線上,且以B, A, F, E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊 形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)二綜合題型例1 (中考變式)如圖，拋物線尸+匕與x軸 交與A(l,0),B(-3, 0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。交Y軸于C (1)求該拋物線的解析式與4ABC的面積。在拋物線第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)M,使版附 是以NBCM為直角的直角三角形，若存在, 求醺、P的坐標(biāo)。若沒有，請說明理由若£為拋物線笈、。兩點(diǎn)間圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不 與A、B重合），過E悴EF與X軸垂直

8、,交BC于 F,設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF的長度為L, 求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍?當(dāng)£點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段£廠的值最大，并 求此嘮笛點(diǎn)的坐標(biāo)？82鋤四邊形為平行四邊形?(4)在(5)的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于 點(diǎn)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以點(diǎn)E、F、H、D(5)在(5)的情況下點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使三角形BCE的面積最大? y &1 分二至 nf F r b虎（點(diǎn)/與從。不重合），過點(diǎn)尸作y軸的平行(2交BC-zKS(3R，'試用含機(jī)電”軍式表 崩炭鎘積的最大值,并求此時(shí)自嚴(yán)向坐楙例3 如圖,考點(diǎn)：討論等已知拋物線與y軸相交于C,

9、與X軸相交于A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2, 0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0, -D.（1）求拋物線的解析式;（2）點(diǎn)£是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)石作。E_Lx軸于點(diǎn)。，連結(jié)OC,當(dāng)OCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn) 。的坐標(biāo);（3）在直線bC上是否存在一點(diǎn)P,使尸為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說 明理由.例4考點(diǎn)：討論直角三角如圖，已知點(diǎn)A (1, 0)和點(diǎn)B (1, 2： 標(biāo)軸上 確定點(diǎn)P,使得4ABP為直角三角形，則滿足這一件的點(diǎn)P共有().6個(gè)(D) 7個(gè)(A) 2個(gè) (B) 4個(gè)(C)已知：如圖一次函數(shù)丁 =產(chǎn)+1的圖象與X軸交 于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)&二次函數(shù)y=；x2+%+

10、c 的圖象與一次函數(shù)7=產(chǎn)+1的圖象交于萬、。兩點(diǎn), 與X軸交于0、E兩點(diǎn)且。點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形5DEC的面積S；若不存在，請說明理由.(3)在軸上是否存在點(diǎn)尸，使得P3C是以尸為 直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，該由所有的點(diǎn)P,20例5考點(diǎn)：討論四邊形 已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線(aNO)與x軸交于點(diǎn)A (-2, 0),點(diǎn)3 (6, 0),與J軸交于點(diǎn)C.母翻懶鬻鷺麗嵋瓣麻重等 解藏形，寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，螺色直線AD的 方)爵健館讖舞簿嘴 的坐標(biāo)；如果不存在，請錫明理由.綜合練習(xí):1、平面直角坐標(biāo)系X。/中，拋物線y = aF-4ax+4n + c軸

11、交于點(diǎn)4、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, 0), OB=OC9拋物線的頂點(diǎn)為O。 (1)求此拋物線的解析式；B 若坐氈物線的襯稱軸上的點(diǎn)P滿足NAP3 = zacb9求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；一 卷鼬坐上一點(diǎn)， 此時(shí)即降于向戛鮮標(biāo)系g中乙 熟三次函數(shù)二爐- 1s 的©像與、藕交于氤(。，3),與渤交手A、B兩點(diǎn),點(diǎn) 5闞坐標(biāo)為(-3,0)。(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形AC05分成面積為1 ：2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)”的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問:點(diǎn)P在何處時(shí) CPB的面積最大？最大面 積是

12、多少？并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)。3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系g中，拋物線尸&_2入與 m軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為8,且對稱軸與軸交于點(diǎn)C。(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo)(用含，的代數(shù)式表示)；(2)。為08中點(diǎn)，直線A0交y軸于E,若E (0, 2), 求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)m在直線os上，且使得SAMC 的周長最小，P在拋物線上，0在直線BC上，若以 4 M、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐 標(biāo)。©已知關(guān)于x的方程(1 - m)x2 +(4- m)x + 3 = 0 o(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求，的取值范圍;(2)若正整數(shù),滿足8-2/n >

13、 2 , 設(shè)二次函數(shù) y = (1 - in)x2 +(4- m)x + 3的圖象與, 軸交于aB兩點(diǎn)， 將此圖象在X軸下方的部分沿X軸翻折， 圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的 圖象；請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直y = kx + 3與此圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出女的值(只需要求出兩個(gè)滿足題意的人值即可)。6425如圖，拋物線y=ax2+2ax+c (a/0)與y軸交于點(diǎn)C0）和B.(0, 4),與x軸交于點(diǎn)A ( - 4, (1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)Q作QEAC,交BC于點(diǎn)E, 接CQ.當(dāng)ACEQ的面積最大時(shí), 點(diǎn)Q的坐標(biāo)；D 0 03過 連 求(3)

14、平行于x軸的動(dòng)直線1與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2, 0).問是否有直線1,使AODF是等腰三角形?若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說,明理 由.三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題 題型一、拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn) 的兩側(cè)例1.已知二次函數(shù)產(chǎn)=/+(Rl)x+2»2的圖象 與x軸相交于4 (%, 0), B 5, 0)兩點(diǎn)，且X1V(1)若為也0,且必為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若為VL為L求0的取值范圍;(3)是否存在實(shí)數(shù)“使得過4 6兩點(diǎn)的圓與？軸 相切于點(diǎn)。(0, 2),若存在，求出"的值；若不存在，請說明理由;(4)

15、若過點(diǎn)D(0,的直線與(1)中的二次函數(shù)圖象相交于胴N兩點(diǎn),且舞=：,求該直線U1N O的表達(dá)式.題型二、拋物線與X軸兩交點(diǎn)之間的距離問題 例2已知二次函數(shù)產(chǎn)工2+機(jī)力+/%5(1)求證：不論m取何值時(shí)，拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);(2)求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例L已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m<5,則整數(shù)m的值為例2.已知二次函數(shù)y=x22/%x+4/w8.(1)當(dāng)xW2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求機(jī)的取值范月E3Az22(2)以拋物線y=x 28的頂點(diǎn)2為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正必皿(M, N兩點(diǎn)在拋物線上

16、)，請問：麗 的面積是與機(jī)無關(guān)的定值嗎?若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由;(3)若拋物線y =x 22機(jī)x+4m8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù), 求整數(shù)機(jī)的值.題型四、拋物線與對稱，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對 稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1.已知拋物線y = x2 +bx + c (其中力0, cWO)與y軸 的交點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為且 AB=2.(1)求相力的值如果拋物線的頂點(diǎn)位于軸的下方，且萬。=同。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(友情提思考）題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用（線段長、 定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、等等） 例1.已知：二次函數(shù)y = x2 -4x + ?

17、 的圖象與X軸交于不同的兩點(diǎn)A（A-, 0）、B （覆,0）同VQ,其 頂點(diǎn)是點(diǎn)C,對稱軸與x軸的交于點(diǎn)D.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍;（2）如果（再+1） £+1） =8,求二次函數(shù)的解析式;（3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下 平移，如果平移后的函數(shù)圖象與X軸交于點(diǎn)A,、B, 頂點(diǎn)為點(diǎn)CL且是等邊三角形，求平移后所得 圖象的函數(shù)解析式.綜合提升L已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于小B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C （0, 4）,且|相|=2 5,圖象的對稱軸為x=l.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若二次函數(shù)的圖象都在直線尸x+必的下方,求團(tuán)的取值范圍.2 .已知二次函數(shù) y=x2+mx

18、m-2.(1)若該二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)4、B 分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且 但乖，求的值；(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C,二次 函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)瓶兒且Smnc =279 求"的值.303 .已知關(guān)于x的一元二次方程2(A+l)x+A?=0有兩個(gè)整數(shù)根，Y5且女為整數(shù).(1)求女的值;(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù) 片儲(chǔ)一2("+l)x+的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；(3)根據(jù)直線y=x+b與(2)中的兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求6的取值范圍.4 .已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1, 0)和點(diǎn)夕(

19、2, 1),且與p軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為卬.(1)若"為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)Z的另 一個(gè)交點(diǎn)，求團(tuán)的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象截直線 尸一x+l所得線 段的長為2也，求的值.四、中考二次函數(shù)定值問題1 .如圖，已知二次函數(shù)Li： y=x? - 4x+3與x軸交于A. B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C.（1）寫出二次函數(shù)L的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)研究二次函數(shù) L2： y=kx2 - 4kx+3k (kWO).寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L有關(guān)圖象的兩條相 同的性質(zhì);若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請求出EF的長度；如果會(huì)，請說明理由.2 .如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A（2, 0）、B（2, O）、C（O, 一1）三點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)0的直線y二kx 與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分別