高數(shù)公式匯總

1、導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)(ctgx) (secx) (cscx) (ax)2sec x2csc xsecx tgx cscx ctgxIn a(lOg a x)xlna基本積分表:tgxdxIn cosctgxdxIn sinxsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscxctgx高等數(shù)學(xué)公式(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)_1_1 x212,1 x1-2x11 x2dx2 xdx2 a-arctg Ca-1ln 2adx2- cos xdx_._2 sin xsecxcscxaxdxsec2 xdx2.csc xdxtgxdxsecxctgx

2、dxshxdxtgx Cctgx Ccscx Cx aln achxdx2a xdx22a x. x arcsin一 aIn2sin xdxo2_2_,x a dxdx三角函數(shù)的有理式積分: 2u sin x r, cosx1 u22幺2， ucosoxdxchxdxdx2 - xshx=ln( x xx2 a2) C a2In2 a ln( x22 a . 一In x.x2 a2) C22 a . x 一arcsin - Cdx2du1 u2一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切：thxlimx 02shx exlim (1 )x e 2.71828182845

3、9045x xchx e earshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)arthx1ln12 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：、里數(shù)角 Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ct

4、g a360 + asin acos atg actg asin()sincoscossincos()coscossinsintg()Mtg_1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差角公式:和差化積公式:sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos2cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg2半角公式:'1 cossin 一 j212tq1cos1 cossintg 2',1cossin1cos正弦定理：a

5、bc2Rsin AsinBsinC2sin23sin3 3sin 4sinc，3ccos34cos3cosx c 3tg tg31tg3 3tg2cos2:1 cos22ctg J2'1 cos1 cossin1 cossin1 cos余弦定理：22c ab2 2ab cosC2 cos反三角函數(shù)性質(zhì):arcsinx一 arccosx 2arctgxarcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( Leibniz )公式：n (n)ck (n k) (k)(uv) Cnu v k 0 (n) (n 1) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k)的u v nu v - u v

6、 -u v2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上-f-(a) fq F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds 1 丫,*,其中丫 tgs： MM弧長(zhǎng)。平均曲率：K I一I :從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變 化量;M點(diǎn)的曲率：K lim II II 廣y s 01 s| |ds|.(1 y2)3直線：K 0;半徑為a的圓：K -. a定積分的近似計(jì)算：b矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)ab拋物線法：f (x)aaz(y0 V1 nb a1/、-2(y0 yn)b a

7、、盂(義Yn)yn 1 )yi2(y2yn 1V4yn 2) 4(y1 y3yn 1 )定積分應(yīng)用相關(guān)公式: 功：W F s水壓力：F p A引力：Fkm粵,k為引力系數(shù) r-1 b函數(shù)的平均值：y f(x)dx b a a均方根：1 f2(t)dt,b aa空間解析幾何和向量代數(shù):空間 2點(diǎn)的距離：d M 1M 2 （Xx2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）2 向量在軸上的投影：Pr ju AB AB cos ,是AB與u軸的夾角。Prju（a a?） Prja Prja2a b cosaxbxa ybyazbz,是一個(gè)數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbxaybyazbz22ax

8、 ay2. 2azbxby2bz2cabaxbxay byaz bza b sin線速度:w r.向量的混合積:abc （aaxayazbxbybzcxcycz例:b） cac cos ,為銳角時(shí),代表平行六面體的體積平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x xo) B(y2、般方程：Ax ByCzy。）DC（z0zo）。，其中 n A,B,C, Mo（xo,yo,z。）3、截距世方程：x y a b平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:Axo By。Czo DA2 B2 C2空間直線的方程:x x。my y。nz。Pxt,其中s m,n, p;參數(shù)方程：yxoy。mtntz。pt二次曲面:1、橢球面:2、拋物

9、面:2 x 2 a2 x2p2 y b22 y2qz,（p,q 同號(hào)）3、雙曲面:2單葉雙曲面：今a2雙葉雙曲面：與 a2 L b22 y b22 zc2 zc1(馬鞍面)多元函數(shù)微分法及應(yīng)用x fx(x,y) xy z fy(x,y) y全微分： dz dx dy x y全微分的近似計(jì)算：z dz, u . u , u .du dx dy dz多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z fu(t),v(t)dz z u z v dt u t v tz fu(x,y),v(x,y)當(dāng) u u(x,y), v v(x,y)時(shí),du dx - dy x y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:dvdxxdyy隱函數(shù)F(x,y) 0,包

10、dx隱函數(shù) F(x,y,z) 0, x2m"(昌+(昌當(dāng)Fy dx x Fyy Fy dx上二匕Fz yFz隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v) 0G(x, y,u,v) 0F FJ (F，G)7 飛(u,v)G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)xJ(x,v)u1(F,G)yJ(y,v)v1(F,G)xJ(u,x)v1(F,G)yJ(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線yz(t)在點(diǎn)M (x0, y0,z0)處的切線方程: x x0 (to)y y° zz°(to) (to)在點(diǎn)M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z zo)

11、 o若空間曲線方程為：F(x，y，z)則切向量T FyFz, FzFx, 'FyG(x,y,z)oGyGzGzGxGxGy曲面 F(x, y,z) o上一點(diǎn) M (xo,yo,z0),則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：n Fx(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(x0,yo,zo)2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程:Fx(xo,yo,zo)(xxo)Fy(xo,yo,zo)(yy°)Fz(x°,y°, %)(zz°)3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:x Xoyyoz zoFx(Xo, yo, zo) Fy(Xo,yo,zo) Fz(Xo, yo,zo)方向?qū)?shù)與梯

12、度:函數(shù)z f (x,y)在一點(diǎn)p(x, y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：2cos sinl x y其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x,y)在一點(diǎn) p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f gradf (x,y) e,其中e cos i sin j,為l方向上的 單位向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(xo, yo)AC B2則：AC B2AC B2fy(xo,yo) 0,令：fxx(x0,y°) A, fxy(x0,y°) B, fyy(x0,y°) CA 0,(x

13、0, y。)為極大值0A 0,(x0,y0)為極小值0時(shí)，無(wú)極值0日t,不確定重積分及其應(yīng)用:f(x,y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd曲面z f(x,y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x MxMx (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸I x(x,y)d ,y (x, y)dD(x,y)dD對(duì)于y軸I y2,、，x (x, y)dD平面薄片(位于 xoy平面)對(duì)殍由上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a0)的引力:Fx f D / 2(x(x,y)xd3，a2)2Fy f D / 2(x(x, y)ydFzfaDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd(x2柱

14、面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):x r cos柱面坐標(biāo)：y r sinf (x, y, z) dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,z z其中： F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)x rsin cos球面坐標(biāo)： y r sin sin ,dv rd rsin d dr r2 sin drd dz r cosf (x, y, z)dxdydz F (r,)r2sin drd d2r(,)d d F (r, , )r2sin dr000重心：x x dv,M11y dv, z z dv,其中 M xMMdv轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix (y2 z2) dv,I y (x2 z2) dv,Iz (x2

15、y2) dv曲線積分:第一類曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：x ，(t)，則:y (t)f (x, y)ds f (t), (t)V 2(t)2(t)dt () 特殊情況:L第二類曲線積分(對(duì)坐 標(biāo)的曲線積分)：設(shè)L的參數(shù)方程為x ，則: y (t)P(x,y)dx Q(x,y)dyLP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt兩類曲線積分之間的關(guān) 系：Pdx Qdy (PcosLLL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。Qcos )ds 其中和分別為Q PQ P格林公式：(一 一)dxdy - Pdx Qd冊(cè)林公式：(一 一)dxdy . P

16、dx Qdyd x yld x yl當(dāng)P y,Q x,即：-Q 2時(shí)，得到D的面積：A dxdy 10xdy ydx x yd2l平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件:1、G是一個(gè)單連通區(qū)域;2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！,且-Q = -P。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng) x y二元函數(shù)的全微分求積：,Q P_ .在-Q=一時(shí)，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中: x y(x.y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 0。(x0,y0)曲面積分：對(duì)面積的曲面積分:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:22 ,f

17、(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxyP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxRx, y,z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào);DxyPx(y,z), y,zdydzDyz取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào);Qx, y(z,x),zdzdx>Dzx取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。Rcos )ds兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos高斯公式:PQ R八八(一一)dv二 PdydzQd

18、zdxRdxdy 二(PcosQcosxy z高斯公式的物理意義一通量與散度:散度：divR,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若 zRcos )dsdiv 0,則為消失通量： A ndsAnds(PcosQ cosRcos)ds,因此，高斯公式又可寫成：divAdvAnds斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:RQPR(一 )dydz ( )dzdxyzzxQ ( x)dxdyyPdxQdy Rdz上式左端又可寫成:空間曲線積分與路徑無(wú)旋度：rotA向量場(chǎng)A沿有向閉曲線常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等比數(shù)列：1dydzdzdxdxdycoscoscos等差數(shù)列：1調(diào)和級(jí)數(shù)：1級(jí)數(shù)審斂法:關(guān)的條件:y QR

19、x的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz - A tdsn (nn1 q1 q1)n21、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)： l/mn.U，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散01時(shí)，不確定2、比值審斂法：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)： 1防引，則 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 n UUn1時(shí)，不確定3、定義法：sn u1 u2un;1imsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的審斂法萊布尼茲定理：un un 1如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足limu 0,那么級(jí)數(shù)收斂且其和s u1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rn| un1 n n絕對(duì)收斂與條件收斂：u1 u2 un ,其中un為任意實(shí)數(shù)；（2）

20、3 u2 u3un如果（2）收斂，則 肯定收斂，且稱為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù);如果（2）發(fā)散，而 收斂，則稱（1）為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1發(fā)散，而 （-斂； nn級(jí)數(shù)：烏收斂； n爾將 1 /P 1時(shí)發(fā)散p級(jí)數(shù)： 一 （p np . p 1時(shí)收斂哥級(jí)數(shù)|x 1時(shí)，收斂于對(duì)于級(jí)數(shù)(3)aa1x2a?x數(shù)軸上都收斂，則必存在R,求收斂半徑的方法：設(shè)limn函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù):函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù):余項(xiàng)：RnXo|x 1時(shí)，發(fā)散nanxan 1an,如果它不是僅在原點(diǎn) 收斂，也不是在全R時(shí)收斂R時(shí)發(fā)散,其中R稱為收斂半徑。R時(shí)不定其中aan 1是(3)的系數(shù),則f (x0)2f(x) f(x0)(x x0)

21、 M(x x0)f(n 1)()-一d(x x°)n 1, f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的(n 1)!0時(shí)即為麥克勞林公式:f (0) 2f(0)x /些函數(shù)展開成騫級(jí)數(shù):m(1 x)d m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!sinx x3 x3!5 x5!2n 1歐拉公式:ixe cosxisinxf(t)Ao其中，a0An sin( nn 1aan1)n1x(2n 1)!0時(shí),R時(shí)，R*2(x x°)n n!充要條件是：lim Rn0f(n)(0) nxn!(1x1)cosx或sinxAn sin n，bnix eix eixe2ix e

22、2(an cosnxn 1An COs n，bn sin nx)正交性: 1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, cosnx上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：t x。任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 在af(x) - (an cosnx bn sin nx), 周期 22 n 11an 一 f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )其中,1bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3 )11211113T 52812T 3y 42358.234工工工21 ± 1 A22 42 622422 32 422正弦級(jí)數(shù)：an 0, bn 一 f (x)sin nxdx02余

23、弦級(jí)數(shù)：bn 0, an 一 f (x)cosnxdx02（相力口）62（相減）12n 1,2,3 f (x)bnsinnx是奇函數(shù)n 0,1,2 f (x) a0ancosn娓偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):a0n x n xf(x) (ancos bnsin), 周期2ln 1ll1 1n x- f (x) cos dx (n 0,1,2 )1 i1i1n xf (x)sindx (n 1,2,3 )1 11an其中bn微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y f (x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程