(完整版)拋物線的性質(zhì)歸納及證明

1、拋物線的常見(jiàn)性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段；焦點(diǎn)弦：兩端點(diǎn)在拋物線上且經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)線段稱為焦點(diǎn)弦性質(zhì)及證明過(guò)拋物線y2= 2px (p> 0)焦點(diǎn)F的弦兩端點(diǎn)為A(xi, yi), B(x2, y2),傾斜角為，中點(diǎn)為C(xo,y 0),垂足為A'、B'、C .1.求證:分別過(guò)A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線，焦半徑I AF I xiP -；11 i 2 i cosI-；一|+人片=2；弦長(zhǎng) I ABI = xi + X2+ p= 2p ;特別地，當(dāng) Xi=X2( =90 ) 丨AF丨丨BF丨Psin 2焦半徑|BF| £號(hào)鳥(niǎo)2同理，1 BF

2、 =罟=盤2時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短，稱為通徑，長(zhǎng)為鳥(niǎo)卩：厶AOB的面積Soa=p2sin 證明：根據(jù)拋物線的定義，| AF |= | AD |= xi+ p, | BF |= | BC |= x2 + 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= xi + X2+ p如圖2,過(guò)A、B引x軸的垂線AAi、BBi，垂足為Ai、Bi，那么 | RF |= | AD | FAi |= | AF | AF |cos ,.I af |=1 RF 1 = pi cos i cosj AB =1 AF |+1 BF =血 + 盅=話S5 = S5 + Sobf = 2| OF | yi |+1| OF |

3、yi | =舟舟 yi 1+ I yi I)-yiy2= p2,貝V yi、y2異號(hào)，因此，| yi |+ | yi |= | yi y2 |二 SOAB = 4| yi y2 | = /(yi + y2)2 4yiy2 = g/4m2p2+ 4p2=p/i + m2=21,1 2 十IAF | BF | p22.求證：x冷P ，劉24當(dāng)AB丄x軸時(shí)，有AF BF p,成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 AB的方程為:y k x衛(wèi)代入拋物線方程:22k2 x號(hào)2px.化簡(jiǎn)得：k2x22pk2 2x 中211方程（1 ）之二根為X1 , X2, xx21_ _1_ _1_ _1AF BFAA,

4、 BB1X2x-ix2p2ppx1x2xix2243.求證:x12P 衛(wèi)X2Px1x22p_4AC'Bx1x2pA'FB' Rt Z .x1x2p先證明：Z AMB = Rt Z【證法一】延長(zhǎng) AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖3, 則 ADM ECM , I AM |= | EM |, | EC |= | AD | | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |圖3=| BF |十 | AF |= | AB | ABE為等腰三角形，又 M是AE的中點(diǎn), BM 丄 AE,即/ AMB = Rt /【證法二】取 AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，貝U| MN |

5、= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN | ABM為直角三角形，AB為斜邊,故/AMB = Rt / .【證法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-2,屮),由此得m(2,y+y2)2 ).yi + y2 yi_ 2 kAM =xi + Py y2p(yi y2)y2+ P222 2p + pp(y于)y2+ P2衛(wèi)yi,同理kBM=p2,=心 + 軀1 + X2)+ 孚-P2 . p yl斗 _y|_ p2 y1+ yl 2yiy2=4 + 2(2p + 2p) + 4 4=疋+地=丘+二= 0

6、2 2 2 2 "ma 丄 Pb，故/ AMB = Rt/ .【證法五】由下面證得/ DFC = 90，連結(jié)FM，貝U FM = DM.又 AD = AF，故 ADM AFM，如圖 4/ 1 = Z 2，同理/ 3 =Z 4 "Df 丄"Cf，故z dfc = 90 .1/ 2+Z 3 = 2X 180 = 90/ AMB = Rt Z .接著證明：Z DFC = Rt Z【證法一】如圖 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可設(shè)Z AFD =Z ADF =Z DFR =, 同理，設(shè)Z BFC =Z BCF = Z CFR =, 而Z AFD

7、 + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180 2( + ) = 180，即 + = 90，故Z DFC = 90【證法二】取CD的中點(diǎn)M，即M( 2,豊嚴(yán))由前知 kAM = P , kcF = y = = P y1+ p+ pp y12 2 kAM = kCF, AM / CF，同理， BM / DF Z DFC =Z AMB = 90 .【證法三】 "Df = (p, y1), "Cf = (p, y2), - DF CF = p2 + y1y2 = 0【證法四】由于I RF 2= p2= y2= I DR | - | RC |,即嗟 =1 RF 1，且Z

8、 DRF = Z FRC = 901 RC 1 DRF FRC Z DFR = Z RCF，而Z RCF+Z RFC = 90 Z DFR + Z RFC= 90 Z DFC = 904. C ' A、C' B是拋物線的切線2【證法一】T kAM = p, AM的直線方程為y y1 = °(x ¥)lM1yO / FxN1An圖7圖8y1yr 2p7與拋物線方程y2= 2px聯(lián)立消去x得y-yi=y(2p 2p，整理得 y2- 2yiy+ y2= 0可見(jiàn)= (2yi)2 4y2 = 0, 故直線AM與拋物線y2= 2px相切， 同理BM也是拋物線的切線，如圖

9、8.【證法二】由拋物線方程y2= 2px,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，(y2)x= (2px)x,得2y yx= 2p, y* = p,故拋物線y2= 2px在點(diǎn)A(xi, yi)處的切線的斜率為 k切=yx| y d = P=yi 一 .yi又kAM = yi, k切一 kAM，即AM是拋物線在點(diǎn) A處的切線，同理 BM也是拋物線的 切線【證法三】過(guò)點(diǎn) A(xi, yi)的切線方程為yiy p(x+ xi)，把M( p, y ； y)代入左邊一 yi yi + y y2+ yy 2pxi p22 = 2 = 2=pxi pf2 ,A的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M ,右邊一 p( p + xi)= p + pxi，左邊一右

10、邊，可見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)即AM是拋物線的切線，同理 BM也是拋物線的切線5. C'A、C'B分別是/ A 'AB和/ B 'BA的平分線【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖9,則厶 ADM ECM，有 AD / BC, AB= BE,/ DAM 一/ AEB 一/ BAM ,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜角是直線AM的傾斜角的2倍即可，即 =2 且 M(-p，中)tan k y2 y1 y2y1 2p-tan Kab = 22 X2 xiy2 y1yi + y2p 2p/ tan 22tan1 tan2

11、2Pyi2pyi2pyi222i(p)2 y2 py2+ yiy2(yi) tanyi + y22，即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.6. AC ' A '、y軸三線共點(diǎn)，BC ' B '、y軸三線共點(diǎn)【證法一】如圖iO,設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)Gi,由以上證明知| AD | | AF |, AM平分/ DAF，故AGi也是DF邊上的中線,Gi是DF的中點(diǎn).設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)Di, DF與y軸相交于點(diǎn)易知，| DDi |= | OF |, DDi / OF ,故厶 DDiG2 FOG2I DG2 | | FG2 I,則 G2也是 DF 的中點(diǎn).- Gi

12、與G2重合（設(shè)為點(diǎn) G），貝U AM、DF、線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn).2【證法二】am的直線方程為y-yi=器x-稽）,令x 0得AM與y軸交于點(diǎn)Gi（0,等）,又DF的直線方程為y （x p）,令x 0得DF與y軸交于點(diǎn)p 2G2(0 , AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn) G（0,羅），貝AM、DF、y軸三線共點(diǎn),同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn) H .由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形yi+ y2( p2)tan :yi2yi y2p(yi y2)p(yiyi ) p,pyi ,yi +p2yi +p2yixi + 22 + p22p7. A、0、B '三點(diǎn)共線，B、0

13、、A '三點(diǎn)共線.【證法一】如圖11, k0A=比=洛=2P ,xiyiyi2py22y22py2 2py2 2pkoc =2 =ppp2 yiy2 yi2二 koA = koc,貝U A、0、C 三點(diǎn)共線，同理D、0、B三點(diǎn)也共線.【證法二】設(shè) AC與x軸交于點(diǎn) 0 ,T AD / RF / BC.| RO |= | C0 |= | BF | 0 F |= | CB |'| AD | = | CA | = | AB |， | AF | = | AB |，又| AD |=| AF |, | BC |=| BF |,I R0 |I AF |I 0F |I AF | | R0 |

14、= | 0 F |,貝U 0與0重合，即C、0、A三點(diǎn)共線，同理D、0、B三點(diǎn)也【證法三】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn) 0 , RF / BC,10U| CB |遲| AB |，|CB |AF|= | AB |=| BF| | AF |= | AF |+ | BF |=i + i 2 | AF |+| BF |【見(jiàn)證】 0與0重合，則即C、0、A三點(diǎn)共線，同理 D、0、B三點(diǎn)也共線.【證法四】0C = ( p, y2), 0A = (xi, yi),p yi xi y2= 2 -yipyiyi岳 y2= 2yiy2yi2p叫吐=02 2p "0c / 3a，且都以0為端點(diǎn) A、0、C三點(diǎn)共線，

15、同理 B、0、D三點(diǎn)共線.【推廣】過(guò)定點(diǎn) P(m, 0)的直線與拋物線 y2= 2px ( p > 0)相交于點(diǎn) A、B，過(guò)A、B兩 點(diǎn)分別作直線I: x= m的垂線，垂足分別為 M、N，貝U A、0、N三點(diǎn)共線，B、0、M 三點(diǎn)也共線，如下圖：共線.8.若| AF I： | BF |= m : n,點(diǎn)A在第一象限為直線AB的傾斜角則cosm n m+ n ；【證明】如圖14,過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線I的垂線，垂足分別為D,C,過(guò)B作BE丄AD于 E,設(shè) | AF |= mt,| AF |= nt,則| AD |= | AF |, | BC |= | BF |, | AE |= | AD |

16、BC | = (m n)t亠 "亠 ,I AE I (m n)t m n在 Rt ABE 中, cos/ BAE =祐=卷=/ cos = cos/ BAE= mn. m+ n【例6】設(shè)經(jīng)過(guò)拋物線 y2= 2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,且| AF |: | BF |= 3: 1,則直線AB的傾斜角的大小為9以AF為直徑的圓與y軸相切, 相切；A' B'為直徑的圓與焦點(diǎn)弦以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線AB相切.A'yX-'C'K B'OJB【答案】60或120 .【說(shuō)明】如圖15,設(shè)E是AF的中點(diǎn),xi則E的坐標(biāo)為（一2,則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d=曹=1| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切,同理以BF為直徑的圓與y軸相切.N,則【說(shuō)明】如圖15,設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作 MN丄準(zhǔn)線I于1 1 1I MN |= -(| AD 汁 | BC |)= 2(l AF |+ |