構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧

1、構(gòu)造平行四邊形證幾何題技巧總結(jié)總論：一、有關(guān)線段的證明1構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行2構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等3構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系4構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系5構(gòu)造平行四邊形證兩線段互相平分6構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系二、有關(guān)角的證明7構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系與相等關(guān)系三、有關(guān)點(diǎn)的證明8、證三線共點(diǎn)四、有關(guān)線段長(zhǎng)度、角的度數(shù)、面積等計(jì)算與證明9、在計(jì)算角的度數(shù)中的妙用10、在計(jì)算線段長(zhǎng)度中的妙用1 1、證特殊圖形1 2、證面積問題在證明或計(jì)算某些幾何問題時(shí)，若能根據(jù)圖形的特征，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出平行四邊形，并利用其性質(zhì)可使 問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，下面舉例說明。一、

2、有關(guān)線段的證明1. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行例1.已知如圖，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC和BD交于O, E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，過 0任作 直線分別交AB、CD于G、H。求證：GF/EH。證明：連結(jié)GE、FH四邊形ABCD是平行四邊形OA =0C, BAO =/DCO 又 AOG =/COH:AOG 二 COHOG =OH又 OE =OF.四邊形EHFG是平行四邊形.GF / EH例 2 在厶 ABC中, AE BD CF為中線，F(xiàn)M/ BD, DM/ AB 求證：MC/ AE連結(jié)AM FDb證明：AF FM/ BD, DM/ AB二四邊形FBDM平行四邊形 AF= BF 二 AF

3、 DM BF/ DM四邊形AFD麗平行四邊形 AM FD又 F、D E分別為AB AC BC邊中點(diǎn) Fh EC AM EC,四邊形AECMfe平行四邊形 MC/ A巳2. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等例3.如圖，ABC中，D在AB 上, E在AC的延長(zhǎng)線上，BD=CE連結(jié)DE，交BC于F,/ BAC外角的平分 線交BC的延長(zhǎng)線于 G,且AG/DE。求證：BF=CF分析：過點(diǎn)C作CM/AB交DE于點(diǎn)M,可以證明BD=CM，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)得到BF=CF證明：過點(diǎn) C作CM/AB 交BE于點(diǎn)M，連接BM、CD，則/ CME= / ADEAG/DE 且/12 ADE ", E &q

4、uot;2 CME "ECM =CE =BDBD /=CM四邊形BMCD為平行四邊形故 BF=CF3. 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系1例4.如圖，AD是厶ABC的邊BC上的中線，求證： AD (AB - AC)21分析：欲證AD (AB AC)，即要證2AD : AB AC，設(shè)法將2AD、AB、AC歸結(jié)到一個(gè)三角形中，利2用三角形任意兩邊之和大于第三邊來證明。注意到AD為 ABC的中線，故可考慮延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD，則四邊形ABEC為平行四邊形。從而問題得證。證明：延長(zhǎng) AD至U E,使DE=AD，連結(jié)BE、ECAD =DE,BD =DC.四邊形ABEC是平行四邊形BE =

5、AC在.ABE 中，AE<AB+BE即 2AD<AB+AC1.AD (AB AC)2點(diǎn)評(píng)：此題是利用三角形三邊關(guān)系定理、平行四邊形的判定，通過延長(zhǎng)中線將證明三角形中三條線段間的不 等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系，從而使問題迎刃而解。4. 構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系例5.如圖，分別以ABC中的AB、AC為邊向外作正方形 ABEF和正方形ACGH , M是BC的中點(diǎn)，求證:FH=2AM證明：延長(zhǎng) AM至U D，使MD=AM，連結(jié)BD、CD, M是BC的中點(diǎn)四邊形ABDC為平行四邊形.BAC ABD =180而.FAB = HAC =90FAH BAC =180FAH 二 ABD

6、又 AF=BA , AH=AC=BDFA ABD.FH =AD故 FH=2AM例6如圖5,分別以 ABC勺邊AB BC為邊向外作正方形 ABD昏口 BCFG BM為AC邊上的中線求證：DG= 2BM證明：延長(zhǎng)BM到N,使MNk BM連結(jié)則四邊形ANC助平行四邊形 AN= BC又 BG= BC,二 AN= BG又/ DBG 180°/ ABC/ BAN= 180°/ ABC/ DBG / BAN DB= BA DBQA BAN DG= BN,而 BN= 2BM DG= 2BM5. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段互相平分例7.平面上三個(gè)等邊三角形 厶ACE、厶ABD、厶BCF兩兩共有一

7、個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示，求證： CD與EF互相平 分分析：要證CD與EF互相平分，須證四邊形 DFCE是平行四邊形證明：連結(jié) DE、DF、AF易知AD=AB=BDBF 二BC, DBF =60 - FBA = ABCABC 三 DBFDF 二AC 二EC又 AE=AC , AD=AB/ DAE=60 ° / EAB= / BACADE 二 ABCDE =BC =FC四邊形DECF是平行四邊形故CD與EF互相平分6. 構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系例 8.如圖， ABC 中，點(diǎn) E、F 在邊 AB 上，AE=BF，ED/AC/FG，求證：ED+FG=AC 證明：過 E作EH/BC交AC于HE

8、H/BC,ED/AC.四邊形CHED為平行四邊形EH/BC,FG/AC.AEH = . B,. A = BFG又 AE=BF ，.AEH ：- FBC.AH =FGHC 二 EDED FG =AH HC =AC例9女口圖4,在厶ABC的邊AB上截取 AE BF,過E作ED/ BC交AC于 D,過F作FG/ BC交AC 于Go求證：ED FG 二 BC證明：過G作GH/ AB交BC于H,則四邊形FBHG為平行四邊形 FG 二 BH, FB 二 GH AE =BF,. AE =GHv AB/GH, ED/BC/ A 二 / HGC，/ ADE 二 / C AEDN GHC ED 二 HCBH C二

9、 ED FG 二 HC BH 二 BC二、有關(guān)角的證明7. 構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系與相等關(guān)系例10.如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC，對(duì)角線 AC>BD求證：/ DBC> / ACB證明：過點(diǎn)D作DE/AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則四邊形ACED是平行四邊形ZACB NE,AC 二DE又 AC BDDE BD在 BDE 中，/ DBE> / EDBC ACB例11如圖，在四邊形 ABCD中, AD=BC E、 線于 S、T,求證：/ ATF=/ BSF.F分別是CD AB的中點(diǎn)，直線EF分別交BC AD延長(zhǎng)G【分析】由于/ ATF和/BSF不在同一個(gè)三角形內(nèi)，又不可能

10、在兩個(gè)全等的三角形內(nèi)，所以需要把 兩個(gè)角轉(zhuǎn)移，由此想到會(huì)通過某些點(diǎn)做平行線， 再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)以達(dá)到目 的.證明 過點(diǎn)F做G醴CD且FG=FH連接DG CH AG BH.則四邊形DGH(和四邊形AGBH是平行四 邊形.二 AG=BH DG=CH DG/SF/CH. /-Z ADGM ATF, / BCHM BSF.又 AD=B，ADGA BCH (SSS，/Z ADGZ BCH /Z ATF=/ BSF.三、有關(guān)點(diǎn)的證明8、證三線共點(diǎn)例12求證：四邊形兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線與兩對(duì)角線中點(diǎn)連線這三線共點(diǎn)【分析】 如圖，即證EF、MN和HL三線共點(diǎn)，易猜想這三線兩兩互相平分，結(jié)合平行

11、四邊形對(duì)角 線性質(zhì)，可想到構(gòu)造平行四邊形.證明 如圖，設(shè) N H、M L、F、E分別為AB BC CD DA AC BD的中點(diǎn)，只需證明 EF LH和 ML三線共點(diǎn).連接 LE, EH, HF, LF，NE EM MF FN.貝U LE、HF分別為 ABDfA ABC的中位線，所以 LE= 1AB HF 1AB,所以LE HF,故四邊形EHFL是平行四邊形，設(shè)EF, LH相交于0,則0平分EF. 2 2同理可證：四邊形NFM是平行四邊形，所以MN平分EF,即卩MN經(jīng)過點(diǎn)0.故EF, LH, MN三線共點(diǎn).四、有關(guān)線段長(zhǎng)度、角的度數(shù)、面積等計(jì)算與證明9、在計(jì)算角的度數(shù)中的妙用例13 如圖，在等腰

12、厶ABC中，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE恰有AD=BC=CE=DE 求/ BAC的度數(shù).匚【分析】 題設(shè)條件給出的是線段的等量關(guān)系，要求的卻是角的度數(shù)，相等的線段可得到全等三角 形、特殊三角形，為此需通過構(gòu)造平行四邊形改變它們的位置.證明 過點(diǎn)C做CF/AD,過點(diǎn)D做DF/BC, CF與DF相交于F,連結(jié)EF.則四邊形DBFC是平行四 邊形，所以DF=BC FC=DB. ADE中, AD=ED其底角/ EAD必為銳角，則/ BAC必為鈍角，必為 ABC的頂角，所以AB=AC 又 EC=AD： AE=DB： AE=FC；AD/FC,./ EADM ECFADEA CEF( SAS

13、，二 EF=DE 從而DE=DF=EF故厶EDF是等邊三角形.0設(shè)/ BAC=a，貝U/ ADFM ABC，/ DAE=80° a，/ ADE=18°-2 /2DAE=800 2(180° a) =2a 180°.因?yàn)? ADF+/ ADEM EDF=60°，所以：180 一a +(2a -180°) = 60° , 2解之得 a=1000，即/ BAC=000.10. 在計(jì)算線段長(zhǎng)度中的妙用 例 14 四邊形 ABCD中，已知 AB=© , BC=5-T3 , CD=6，/ ABC=35°，/ BCD=

14、20°，求 AD的長(zhǎng).D【分析】所給的條件與要求的AD無法直接建立關(guān)系，因此需要將 AD轉(zhuǎn)移到某個(gè)特殊三角形內(nèi),注意到/ ABC和/BCD勺補(bǔ)角的度數(shù)分別是45°和600，不難做出輔助線了 .解 過點(diǎn)A作AF丄CB于 F,過點(diǎn)D作DEL BC于 E,則AF/DE，再過點(diǎn)F作FG/AD交DE于G 那 么四邊形AFG助平行四邊形.v Z ABC=35°，/ BCD4200 / FBA=450，Z ECD=600在 Rt ABF中，AF=BF=-2AB= 32在 Rt CED中,1CE=CD=32DE= CD2 -CE2 二 62 一32 =3.3 EG=DE-DG=D

15、E-AF=3，EF=FB+BC+CE=8在 Rt FEG中,FG=. FE2 EG2 =219故 AD=2 191 1、證特殊圖形例15如圖6，在梯形 ABCD 中,AB / CD , AC = BD .求證：梯形ABCD是等腰梯形證明：過C點(diǎn)作CE / BD交于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,則四邊形 CDBE是平行四邊形. BD = CE , Z 1 = Z E .又 AC = BD , AC = CE ,/ 2 =Z E .又: AB = BADAB CBA . AD = BC . 梯形ABCD是等腰梯形.B（圖6）1 2、證面積問題求證：O1SABE = S 梯形 ABCD .2證明：過點(diǎn)E作M

16、N / AB ,交BC于N,交ADM，則四邊形ABNM是平行四邊形. s 1 o-SaABE = S平行四邊形ABNM2的延長(zhǎng)線于又 AD / BC, DE = CE , - S梯形ABCD = S 平行四邊形ABNMSaabe1=S 梯形 ABCD .2同步練習(xí)：1.如圖G,求證：1,在梯形BCED中,DE+FG=BC 。DE/BC延長(zhǎng)BD、CE交于A，在BD上截取 BF=AD。過F作FG/BC交EC于例16如圖7, E是梯形ABCD腰DC的中點(diǎn).2. 如圖2, ABC中，AB=AC , E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=CF , EF交BC于D。 求證：DE=DF圖23. 如圖3

17、,平行四邊形 ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE=CF , BG=DH，求證：EF與GH 互相平分4. 如圖4，已知 AB=AC，B是AD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，求證 CD=2CE圖45. 已知：如圖 5在四邊形 ABCD中，AB=DC，AD=BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD 上, AF=CE，EF與對(duì)角 線BD相交于點(diǎn) 0,求證：0是BD的中點(diǎn)。6、如圖，在 ABC中，AB=10 , AC=6，那么BC上的中線 AD的取值范圍是.7、如圖，六邊形 ABCDEF 中，若/ A= / B= / C=Z D= / E= / F, 且 AB+BC=11 , AF CD=3，貝U B

18、C+DE等于多少?且DB=CE，試說明DE>BC .8、如圖，已知 ABC中，AB=AC , D是AB上的一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),提示：1. 過點(diǎn)F作FM/AC交BC于點(diǎn)M，則有平行四邊形 FMCG。圖12. 過 E 作 EG/AC 交 BC 于 G,連結(jié) CE、GF。圈23. 連結(jié) FH、HE、EG、GF圖34. 延長(zhǎng)CE至F,使EF=CE，連結(jié) AF、BF。E四邊形AB'性質(zhì)得出等代換線段BE關(guān)系巧妙的貝U BC+DE等于角均為120°于 ABP和FPCQ為平行四5. 連結(jié) BF、DEAB 二DC,AD 二 BC.四邊形ABCD是平行四邊形.FD / BE又

19、AD =BC,AF =CEFD 二 BE四邊形BEDF是平行四邊形.0是BD的中點(diǎn)6、如圖，在 ABC中，AB=10 , AC=6，那么BC上的中線 AD的取值范圍是.解析：延長(zhǎng) AD至E, 使 ED=AD，連結(jié)BE、CE,貝UABEC為平行四邊形，所以 BE=AC，在 ABE中，因?yàn)锽E<AE<AB+BE，即 10-6<2AD<10+6,故知 2<AD<8 .點(diǎn)評(píng)：本題借助構(gòu)造平行四邊形并利用平行四邊形的于AD的2倍的線段AE，同時(shí)更重要的是將 AB、AC的及AE放在同一三角形中，再利用三角形三邊之間的不等 得出AD的取值范圍.7、如圖，六邊形 ABCDEF中，若/ A= / B= / C=Z D= / E= / F，且 AB+BC=11 ,AF CD=3 , 多少？解析：由已知/ A= / B= / C=Z D