空間向量(全方位無死角復(fù)習(xí)資料,可用到高三)

1、 公式的來源與推導(dǎo)、概念總結(jié)例1正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為4，、分別為棱、的中點(diǎn)（1）求證：平面平面（2）求點(diǎn)到平面的距離1 概念：什么是點(diǎn)到平面的距離？過該點(diǎn)做已知平面的垂線段，所作垂線段的長(zhǎng)度就叫做點(diǎn)到平面的距離（如下圖所示）2怎樣用向量表示點(diǎn)到平面的距離？如圖，PO于O，A是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面的距離設(shè)為d，為平面的一個(gè)法向量，則有：3怎樣用坐標(biāo)法求點(diǎn)到平面的距離？解答例1第2問如圖建立空間坐標(biāo)系，分析：要求點(diǎn)到平面的距離，由公式：，只要求出的坐標(biāo)和平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)，坐標(biāo)很好求，因?yàn)樽鴺?biāo)為：（0，0，4），坐標(biāo)為（6，6，4），所以坐標(biāo)為：（6，6，0）；下面求平面的一

2、個(gè)法向量坐標(biāo)分析：如何求平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)？基本思想：初中的數(shù)學(xué)思想：“設(shè)、列、求”。即設(shè)平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)為：(，y，z)，然后列出它們的方程，最后解方程求出x、y、z根據(jù)法向量的含義，法向量和平面垂直，故法向量和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，知道只要和兩個(gè)不共線的向量垂直即可，在本題中可推出法向量，所以，由于坐標(biāo)為（6，6，4），E坐標(biāo)為（3，6，0），F(xiàn)坐標(biāo)為（6，3，0），所以的坐標(biāo)為：（，0，），的坐標(biāo)為：（0，），利用坐標(biāo)法，得到：，由于法向量有長(zhǎng)有短，方向可以朝上，還可以朝下，所以法向量有無數(shù)多個(gè)，但法向量不可以是零向量，故不能取0，為簡(jiǎn)單起見，取，

3、得：，所以法向量=，3）代入公式，得點(diǎn)到平面的距離為：例2直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ ）A.30° B. 45° C. 60° D. 90°1 概念：什么是兩條異面直線所成的角？如圖：、是兩條異面直線，O是空間任意一點(diǎn)，過點(diǎn)O作，作，、是兩條相交直線，它們構(gòu)成四個(gè)角，我們把那個(gè)不大于90°的角稱為兩條異面直線所成的角。2 怎樣用向量表示兩條異面直線所成的角？任何直線都有方向向量，設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，、兩條異面直線所成的角為，向量、的夾角，有可能是銳角，有可能是直角，也有可能是鈍角，當(dāng)，為銳角或直角時(shí)， ，當(dāng)，為

4、鈍角時(shí)， 所以， 3怎樣用坐標(biāo)法求兩條異面直線所成的角？解答例2：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)異面直線與所成的角為，則，設(shè)AB=，易求點(diǎn)B坐標(biāo)：（，點(diǎn)坐標(biāo)：，），點(diǎn)A坐標(biāo)：（0，0，0），點(diǎn)坐標(biāo)：，），所以，），） 故選C例3如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.概念講解1什么是直線和平面所成的角？如圖：直線PA是平面的一條斜線，PO，O為垂足，A為斜足，OA為PA在平面內(nèi)的射影，我們把斜線與其射影所成的銳角叫做斜線和平面所成的角。2 怎樣用向量表示直線和平面所成的角？見右下圖，設(shè)直線PA和平面所成的角為，則，而可

5、看成向量和向量的夾角，為平面的一個(gè)法向量，顯然與向量共線，故法向量和向量的夾角與向量和向量的夾角相等或互補(bǔ)，即，或，所以 ， 3怎樣用坐標(biāo)法求直線和平面所成的角？講解例3的第（1）問如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，平面是平面BCD的一個(gè)法向量故點(diǎn)A坐標(biāo)：（0，0，）點(diǎn)B坐標(biāo)：（0，0，0）點(diǎn)M坐標(biāo)：（，）（注明：先作MOCD于O，過點(diǎn)C作CEBD于E，CGy軸于G，過點(diǎn)O作OFBD于F，OHy軸于H，再利用坐標(biāo)定義求出點(diǎn)M坐標(biāo)）于是，（0，0，） 1. 什么是二面角？（理科必考）兩個(gè)平面相交，構(gòu)成四個(gè)“角”，我們把其中一個(gè)移出（見右圖），得到的空間圖形叫做二面角。2什么是二面

6、角的平面角？在二面角棱上任取一點(diǎn)O，過O在平面內(nèi)作OA在平面內(nèi)作OB，則AOB就是二面角的平面角3什么是二面角的大小？就是二面角平面角的大小。4怎樣用向量表示二面角平面角？如圖：PA平面，PB平面，則PA，PB，所以平面PAB，設(shè)平面PAB向四周延展后交于點(diǎn)C，并連CA、CB，則有：CA，CB，故ACB是二面角平面角；另一方面，四邊形PBCA內(nèi)角和等于360°，而CBPCAP=90°，所以二面角平面角ACB與APB互補(bǔ)作向量PB，向量PA，則APB等于向量PB、向量PA的夾角 設(shè)、分別是平面、的法向量，它們的夾角，與，相等或互補(bǔ)設(shè)二面角平面角的大小為，則，或，5怎樣用坐標(biāo)法

7、求二面角的大?。拷獯鹄?的第（2）問求平面與平面所成的二面角的正弦值.分析：容易知道平面BCD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）所以只要求平面ACM的法向量坐標(biāo)即可。設(shè)平面ACM的法向量，），由，可得·=0，·=0，而A（0，0，），M（，），C，）， ，所以消，得取，得，），平面與平面所成的二面角的正弦值為。例4如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值. 本例試用坐標(biāo)法和向量工具證明直線和平面垂直（1）證明：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)ADA（0，0，0），E（0，），P（0，0，）B（0，0），C（，0）（0，），（0，（，0，0）AEPB，AEBC而 PBBCB平面（2）平面，（0，）平面BEC的一個(gè)法向量，1，1）設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量，）E（0，），C（1，0），D（1，0，0），），0）0，1，0）由， ，得：取，得，0，），二面角的平面角為鈍角二面角的平面角的余弦值為。例5如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，為上的點(diǎn)，平面。（1） 求平面與平面夾角的正弦值；（2） 求點(diǎn)到平面的距離。解：平面平面，作POAB，則PO平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，見右下圖設(shè)PO，則P（0，0，），A（0，0），B（0，1，0）， C