高中物理八大解題方法之五：極值法(可編輯修改word版)

1、高中物理解題方法之極值法江蘇省特級教師戴儒京高中物理中的極值問題，是物理教學(xué)研究中的活躍話題。本文通過例題歸納綜合出極 值問題的四種主要解法。-、二次函數(shù)求極值2b 2 b 2 - 4acb二次函數(shù) y = ax + hx + c =a（x + 一）,當(dāng) x = _時，y 有極值2a 4。2a4ac _ b?ym=,若a>0,為極小值，若a<0,為極大值。4。例1試證明在非彈性碰撞中，完全非彈性碰撞（碰撞后兩物體粘合在一起）動能損失最大。設(shè)第一個物體的質(zhì)量為回，速度為匕。第二個物體的質(zhì)量為4,速度為匕。碰撞 以后的速度分別為V,和vl假使這四個速度都在一條直線上。12根據(jù)動量守恒定

2、律有：陽v+/n v=？ v' +陽V9 （1）1 12 21 122如果是完全非彈性碰撞，兩物體粘合在一起,（1）則變?yōu)?M +m2V2=（m1 +m2）Vf(2)八 十 m2現(xiàn)在就是要證明，在滿足（1）式的碰撞中，動能損失最大的情況是（2）式。碰撞中動能損失為99(3)(4)m v ' m v - m v Ek=(D#)-(J+M)222轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題： Ek為v的二次函數(shù):(in v + m v - m v )由(1)得：V2 X =112211m2將（4）代入（3）得:2mm (in v +m v )V； 4*一二=耳(in v + ni v )2I 】2 22nb二次

3、函數(shù)求極值,（5）時（叫 + m2）A Ek有極大值。回到物理問題，將代入（4）得v '=2 272（八十 ?2）此兩式表明,m1和m2碰后速度相等，即粘合在一起，此時動能損失（A Ek）最大。二、 由公式伍一尸之。得+b2>2ab當(dāng)時，。2 + 2有極小值2出?，若正=1 ,此時極小值為2o ba2 + b2同理，的極大值為o2例2 求彈性正碰中m工所傳遞給m2的動能最大或最小的條件。設(shè)一個質(zhì)量為m”動能為Ek的物體與一個質(zhì)量為m2的不動的物體正碰，假定發(fā)生 的是彈性碰撞，試討論m1傳遞給mz動能最大或最小的條件，設(shè)m原來的速度為V,碰撞后兩物體的速度分別為V和V,，根據(jù)彈性正

4、碰中的動1112量守恒和動能守恒，有方程組：f，m V = m V + m V11 J J 1 E'2 m V = ni V + m V2tnx匕m + m22 1 '2 ' 12 2 2 八一八'解此方程得：匕1匕，匕=m+m 2mi傳遞給m?動能，即為m?獲得的動能:， ， Ek = m V2 = m ( 2叫 V)2 =4" Ek °2 T 22- 21；F22 /Wj + m2(?+62)Ek現(xiàn)在求eR的極值條件和極值,Ek： = 411 22L+2+ifb當(dāng)mi= m2時.管有極小值2,所以當(dāng)mi= m2時，Ek有極大值Ek，即pi

5、傳 e ,77i遞給mz動能最大的條件是二者質(zhì)量相等。此時rm的全部動能傳遞給mz，也就是說：碰撞 之后v'=o,這在物理學(xué)史上有一段趣聞，在成立不久的英國皇家學(xué)會的一次例121會上，一位工程師的表演引起了與會者的極大興趣：兩個質(zhì)量相同的鋼球A和B,分別吊在 細(xì)繩上，靜止時緊靠在一起，使A球偏開一個角度后放開，它回到原來的位置時撞上B球， 碰撞后A球靜止下來，B球擺到與A求原來高度幾乎相等的高度?；菟雇ㄍㄟ^對此現(xiàn)象的研究 和解釋中確定了動能的定義。此問題可擴(kuò)大到第二個物體原來不靜止的情況。設(shè)m?碰前的速度為V2,則方程組變 r/， m V + m V = m V + m V為：11 1

6、12 21 1 2 ，2|2，m V2+ m V2= m V2 + m V215 - 2 2 2 2 1 1 2 2 2' HL 一其解為：V, 一匕=1， 叫 m + m -v'= 2 叫.+ 62 叫/八 + rn2 m + m2fiif則反=樂 Ek = mV ”1/2,將v的表達(dá)式代入此式，并且以Ek- 22 1212代入吃孫彳，以欣2代入-/%或，得：AEk = 4?盛 （EkEk）_力小嗎（八一？）.匕,當(dāng)mjm?時，因后項為 （八 + fn2） -（? + ni2Y零，前項取最大值，故球取最大值。此時，m1把原來m2多的那部分動能全部傳遞給m20 三、三角函數(shù)求極

7、值：三角函數(shù)y = sinx ,當(dāng)x = 0時，丁取最小值0,當(dāng)x=寸，y取最大值1, （ x ,2在0到范圍內(nèi)），同理，丁 = cosx,x =。時，y取最大值1, x=時，y取最小值0。22例3在傾角=30°的斜而上，放置一個重量為200牛頓的物體，物體與斜而間的滑同動摩擦系數(shù)為=> 要使物體沿斜面勻速向上移動，所加的力至少要多大？方向如何？ 3設(shè)所加的外力F與斜而夾角為。，物體受力情況如圖所示，由于物體作勻速直線運動，根據(jù)共點力的平衡條件，有方程組：F cos a - mg sin 一 / = 0< N + Fsina-mgcos =0/ = N解此方程組，消去N,

8、得：_ 吆(sin + cos ) r -，,cos a + sin a因為為已知，故分子為定值，分母是變量為 4的三角函數(shù)，令V = cos a + sin a = J+ , cos a + , sin )=4 + 2 (sin cos + cos sin )=、"+ 2 sin( + ci) 1 1 其中，sin =， cos =即 fg =，當(dāng)a + = 90°時，即 a = 90° - 時，)，取最大值yl+ 2 , F最小值為cos 1 由于 =也，即吆=晅,所以 =60°將吆= 200 N, 3=30。，= 史，代入上式得：當(dāng)a = 90&#

9、176;-60° = 30°時，F(xiàn)最小值為10峭n,約為 3.173No四、導(dǎo)數(shù)法求極值：一般的函數(shù)_y= f(x),求一階導(dǎo)數(shù))，'=fx),令其為零時的x值祝，即為)，取極值的條件；再求二階導(dǎo)數(shù)y=/''(x),當(dāng)x = xo時，若)">0,則上述極值為極小值；若了'<0,則為極大值。例4在用滑線式電橋測電阻的實驗中，觸頭在滑線中點附近平衡時，實驗誤差較小。證明：設(shè)滑線長為/，觸點一邊長為6,則另一邊長為當(dāng)電橋平衡時，待測電阻 凡的計算式是：凡一氏，求其全微分為：R J冬 + R & _A/x 又 I 2 i

10、T兩邊同除以RrR土,得：型=竺+竺+，這就是待測電阻的相對誤差的表達(dá)式。R、 R h I2AR因一卬滑線長度的讀數(shù)誤差無關(guān)，故此項不再考慮，將人=/-/】代入，并考慮到 R一A/, = A/2 （同一尺上的讀數(shù)誤差），得上式中后兩項之和（設(shè)為，）為:r= 1 小設(shè)。的系數(shù)為R= 人 ,rr 11（7-/y111dR II = （2/i -1）1求R對，的導(dǎo)數(shù)：=忻巾十3一丁 彳"一,'當(dāng)時，值為0,此時R有極值，再求二階導(dǎo)數(shù)：d2R 22（/_/）2_Q/_/）/.2/（/-/） 2 _/2（/_/）一 、1 I1 一 ，111北一/4 （/一 /） 411 /當(dāng)/=時，大

11、于0,故此時R有極小值，即說明滑動觸頭在中點平衡時，實驗誤差最 2小。除了上述四種基本方法以外，還可以用不等式求極值，也可以根據(jù)物理中的臨界條件求 極值，等等。從上述例題可以看出：用求極值方法解決物理問題的關(guān)鍵在于：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問 題，首先要正確地分析物理過程，建立正確的物理模型或物理圖景，恰當(dāng)?shù)剡\用物理規(guī)律和物 理公式，正確地把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后才能用極值方法去解.五、平拋運動中的極值問題例1 一探險隊員在探險時遇到一ft溝，ft溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物 線形狀。此隊員從ft溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面。如 圖所示，以溝底的0點為原點建立坐標(biāo)系O

12、xy。已知：ft溝豎直一側(cè)的高度為2h,坡面的拋物線方程為尸!”，探險隊員 2/2的質(zhì)量為m。人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為go（1）求此人落到坡面時的動能；（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少?【解析】（1）平拋運動的分解：x=vt, y = 2/?-lg/2 （注意：此處不能像通常那樣寫 °2成），=102,因為本題是以圖中的0點為坐標(biāo)原點，以向上為正方向。而2通常的公式y(tǒng)=Lg"是以拋出點為原點、以向下為正方向得到的），得平2拋運動的軌跡方程y = 2h-,此方程與坡面的拋物線方程為y二-7-I”的交點為工=I 4/j2

13、v2 y2/7加+g力2hv20_2,V()+ gh根據(jù)機(jī)械能守恒，frig - 2/z H- 1 mv 2 = mgy + E 5°k12 4g2公解得 Ek = -m (v0-一p2v；+ gh（2）解法1：配方法求極值】動能公式可改寫為( &+gh2gh& +gh2 + 3g0,當(dāng)= yfgh 括號內(nèi)的值為0,3 j2mg 2h2平方項取極小值，這時，動能取極小值 匕mm=-吆 1B 111 112【解法2：求導(dǎo)法求極值】求E, =2mgh+-mv4mp 2h 2v%（%），=%并令其等于0，解得當(dāng)此人水平跳出的速度為 （詔+ g九:L3,vo=、儂7時，他落在

14、坡面時的動能最小，動能的最小值為En=吆"。2 例2.在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論。如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì) 點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角=53° ,繩的懸掛點0距水面的高度為H=3ni,不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計, 水足夠深。取重力加速度 g = 10m/ 52 , sin 53。= 0.8 , cos 53。= 0.6.（1）求選手?jǐn)[到最低點時對繩拉力的大小F；（2）若繩長/=2m,選手?jǐn)[到最高點時松手落入手中。設(shè)水對選手的平均浮力J；=800

15、N,平均阻力h=700N ,求選手落入水中的深度d；(3)若選手?jǐn)[到最低點時松手，小明認(rèn)為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越 遠(yuǎn)；小陽認(rèn)為繩越短，落點距岸邊越遠(yuǎn)，請通過推算說明你的觀點?！窘馕觥?1)機(jī)械能守恒mgl (1 cos ) = l/nv22圓周運動F' mg=m X_I解得 F' = (3 2cos ) mg根據(jù)牛頓第三定律，人對繩的拉力F=F'則 F=1080N(2)動能定理 照(H-/cos +d)-(.方土力)d=0則,) f + mg解得d= 1.2 m(3)選手從最低點開始做平拋運動x=vt=2 gt2 2且有式解得 x=2j/(-/)(1cos )【

16、解法 1】配方法：令 y = /(/7-/)=-/2+H/ = -(/-y)2+-/ HH-當(dāng)"二時,，y有最大值，即解得二L 5m時' 選手在浮臺上的落點距岸 24邊越遠(yuǎn)為x =o【解法2】求導(dǎo)法：令），=/（-/） = -/2 +印，求導(dǎo)），（/），=-2/ + ”,當(dāng)/=時， 2V（/）'=0,此時y有最大值 2;，即解得/二1-511）時，選手在浮臺上的落點距岸邊越遠(yuǎn)為x =o因此，兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5m時，落點距岸邊越遠(yuǎn). 例3.如圖所示，長為L、內(nèi)壁光滑的直管與水平地面成30°角固定放置。將一 質(zhì)量為m的小球固定在管底，用一輕質(zhì)

17、光滑細(xì)線將小球與質(zhì)量為M二km的小物塊相 連，小物塊懸掛于管口。現(xiàn)將小球釋放，一段時間后，小物塊落地靜止不動，小球 繼續(xù)向上運動，通過管口的轉(zhuǎn)向裝置后做平拋運動，小球在轉(zhuǎn)向過程中速率不變。 （重力加速度為g）（1）求小物塊下落過程中的加速度大?。唬?）求小球從管口拋出時的速度大??；-L（3）試證明小球平拋運動的水平位移總小于2【解析】（1）設(shè)細(xì)線中的張力為T,根據(jù)牛頓第二定律：曜一7 =加瓦2-1活gsm30°二即%且腸:觸/ 解得：a 2信+ 1）名（2）【解法1用牛頓定律和運動學(xué)公式解。分兩個階段研究，第一階段到M落地，設(shè)M落地時的速度大小為管，勻變速直線運動，=2nsm 30&

18、#176;。第二階段到m射出管口，珈 射出管口時速度大小為%,M落地后m的加速度大小為限根據(jù)牛頓第二定律吆 sin 30° = 4，v（）2 - v 2 = 2）L（ 1 - sin 30° ）。解得2（*+i）gZ&>2）【解法2用動能定理解.：在物塊M下落過程中，設(shè)M落地時的速度大小的,根據(jù)動能定理MgLsin30。-?g±sin30“= L（M + m）v 2 ,將加=卜代入，解得，= 221gL.在物塊M落地后，、物塊m上滑到頂端的過程中，設(shè)m射出管口時速度大小為，根據(jù)動能定理 -吆,也30°= 1八,2 ,解得2（七十1）丫 ,

19、Lsin 309 =-gt2 （3）平拋運動工二y向2區(qū)。解得<1因為上+ 1 ，所以 2 ,得證?！咀⒁狻康冢?）問中要分M落地前和落地后兩段計算，因為兩段的加速度 不相等。在用動能定理時，也要分兩個階段，有的同學(xué)企圖畢其功于一役，寫 出動能定理MgLsin -?gLsin = 1/42,解得口 =,是錯誤的，錯誤 的原因在于認(rèn)為M落地后速度為0,這個速度為0,是M與地面碰撞以后的結(jié)果， 并不是M下落和m上滑的結(jié)果?！军c評】本題考查牛頓第二定律，勻加速運動的公式及平拋運動規(guī)律。難度：中 等偏難。例4.水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為0=37°斜滑道AB和水平滑道BC 平

20、滑連接（設(shè)經(jīng)過B點前后速度大小不變），起點A距水面的高度H=7. 0m, BC氏 d=2.0m,端點C距水面的高度h=l. 0m. 一質(zhì)量m=50kg的運動員從滑道起點A無 初速地自由滑下，運動員與AB、BC間的動摩擦因數(shù)均為口二0. 1.（取重力加速度g=10m/T, sin37° =0.6, cos37° =0.8,運動員在運動過程中可視為質(zhì)點）（1）求運動員沿AB下滑時加速度的大小a；（2）求運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達(dá)C點時速度的 大小八（3）保持水平滑道端點在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長度d到圖中 B' U位置時，運動員從滑梯

21、平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B' C'【解析】運動員沿AB下滑時，受力情況如圖所示根據(jù)牛頓第二定律：mgsin - u mgcos 0 =ma得運動員沿AB下滑時加速度的大小為：a=gsin 0 - u geos 0 =5. 2 m/s:（2）運動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為：H -hWf= u mgcos 0 + U mgd= U mg d+ （ H-h） cot 0 = O.lx 50 xlOx sinX10=500J由動能定理得：mg （H-h） -Wf= Imv，2解得運動員滑到c點時速度的大小v=10m/s（3）在從C點滑出至落到水面的過程中，運動員

22、做平拋運動的時間為t,下滑過程中克服摩擦做功保持不變Wf=500J根據(jù)動能定理得：mg (H-h* ) -Wf= 1巾，'%解得v' 2g(H - 1 - /)運動員在水平方向的位移：x=v'("-1【解法 1】配方法：令 3' = (H -1 -h1)h'= -(/'-)2 +1121當(dāng)h'=H =3m時，水平位移最大為x = 6m。2【解法 2求導(dǎo)法：令 >' = (H- l-h')h'=-/7'2 +(H- 1)/7 ,求導(dǎo) y(hy = -2h'+H- 1, 當(dāng)h'=

23、上_1 -3m時，水平位移最大為x = 6m。2答：(1)運動員沿AB下滑時加速度的大小a為5. 2m/s=；(2)運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為500J,到達(dá)C點時速度的大小為10m/s；(3)滑道B' C,距水面的高度h'為3m.【注意】為什么說下滑過程中克服摩擦做功保持不變呢？因為克服摩擦做功Wf= u mgcos 0 - L + P mgd= M mg Leos +d,其大小只與水平方向的總長度有 關(guān)，而與水平滑道高度h無關(guān)。歸納總結(jié)：平拋運動中的極值問題，一般解法如下：首先根據(jù)平拋運動分解的原理列出平拋運動的方程：X = vt, )，=1/2,然。2后

24、根據(jù)其它條件結(jié)合以上兩個公式，把物理問題轉(zhuǎn)化為求極值的數(shù)學(xué)問題。 之后，用數(shù)學(xué)方法求極值。方法1 ：配方法。對形如y = 2 - + c的二次函數(shù)，配方為+ 4/： 一 於 4a，則當(dāng)x = 時，y有最小值y"cmin.方法2 ：求導(dǎo)法。對形如y = ax 2 -bx + c的二次函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)y(x)' = 2ax - b ,令其等于0,得當(dāng)X = _L時，代入得)，的最小值)，=4一一"2。m，n 4a最后探究極值的物理意義，把數(shù)學(xué)問題回歸到物理問題。六、小船渡河問題位移最小問題。設(shè)河寬為d,小船在靜水中的速度為V船，水流速度為V水，小船如何渡河到達(dá)對岸的位 移最小，最小位移是多少？分兩種情況研究：當(dāng)“ >丫水時【解析】求位移最小問題。在小船渡河過程中，將船對水的速度沿平行河岸方向和垂 直河岸方向正交分解，如圖2。當(dāng)小船沿平行河岸方向的分速度與水速大小相等，方向相反 時，即VfV水，小船的合速度（V:）就沿垂直河岸方向，這時渡河到達(dá)對岸的位移最小, Sg二d。而渡河