微積分三大中值定理詳解

1、微積分（一）微積分（一） calculus4.1微分中值定理微分中值定理4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則4.3用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值值4.4函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)4.5曲線的漸近線與函數(shù)作圖曲線的漸近線與函數(shù)作圖4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第四章第四章 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微積分（一）微積分（一） calculus4.1 微分中值定理微分中值定理一、引言一、引言二、微分中值定理二、微分中值定理 1、羅爾、羅爾(Rolle)定理定理 2、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)定理定理 3、柯西、柯西

2、(Cauchy)定理定理三三 、小結(jié)、小結(jié)微積分（一）微積分（一） calculus一、引言一、引言(Introduction) 導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，它反映導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，它反映函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；但在理論研究函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；但在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的和實(shí)際應(yīng)用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。整體變化性態(tài)。 中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用問題的中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用

3、問題的模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的理論基石。模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的理論基石。微積分（一）微積分（一） calculus二、微分中值定理二、微分中值定理The Mean Value Theorem 在微分中值定理的三個(gè)定理中，拉在微分中值定理的三個(gè)定理中，拉格朗日格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。理是它的推廣。 下面我們逐一介紹微分中值定理。下面我們逐一介紹微分中值定理。微積分（一）微積分（一） calculus1、羅爾、羅爾 ( Rolle ) 定理定理(R-Th),ba

4、1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù); 2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);有一點(diǎn)有一點(diǎn)則在則在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少),( ba 使使.0)(f若函數(shù)若函數(shù))(xf滿足：滿足：),()(bfaf3)aboyABx)(xfy 微積分（一）微積分（一） calculus幾何意義幾何意義: 在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點(diǎn)外處處有不垂直于若除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸軸的切線的切線,則此曲則此曲線弧上至少有一點(diǎn)處的切線是水平的線弧上至少有一點(diǎn)處的切線是水平的.或者說切或者說切線與端點(diǎn)的連線線與端點(diǎn)的連線AB平行平行.aboyABx)(xf

5、y 微積分（一）微積分（一） calculus證明證明( ) , max(min) ( )M(m) , f xC a bf xa bxaboyAB)(xfy 1) 若若,mM 即即)(xf恒為常數(shù)恒為常數(shù), 0)( xf可取可取(a, b)內(nèi)任一點(diǎn)作為內(nèi)任一點(diǎn)作為;2) 若若,mM 由由)()(bfaf知知,M , m 至少有一個(gè)要在至少有一個(gè)要在),(ba內(nèi)取得內(nèi)取得.不妨設(shè)不妨設(shè) M 在在),(ba內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) 處取得處取得,即即( )fM)(affxf( )( )xfxf)()(0000,xx ( )0( )0ff所以所以,. 0)(f證畢證畢.微積分（一）微積分（一） calculus3

6、11( 1)(1)0(0)0yxfff在在，端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值不不相相等等，即即, ,但但存存在在 = = , ,使使如如, ,得得例例. .110 xy3yx注意：注意：羅爾定理的條件組是結(jié)論成立的充分條羅爾定理的條件組是結(jié)論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。件，任一條都不是必要條件。 若函數(shù)不滿足條件組，則不一定有羅爾定若函數(shù)不滿足條件組，則不一定有羅爾定理的結(jié)論。理的結(jié)論。微積分（一）微積分（一） calculusxyo1 11再如再如, 1 011- )(2xxxxf0,(0)0f存在使得在右端點(diǎn)不連續(xù)在右端點(diǎn)不連續(xù),但但微積分（一）微積分（一） calculus然而然而,;

7、1 , 1, xxyw注意：注意：零值定理求函數(shù)的零點(diǎn)零值定理求函數(shù)的零點(diǎn)(函數(shù)方程的實(shí)根函數(shù)方程的實(shí)根)，羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)方程的實(shí)根導(dǎo)數(shù)方程的實(shí)根)。w題型題型1：驗(yàn)證定理的正確性。定理結(jié)論中的：驗(yàn)證定理的正確性。定理結(jié)論中的 客觀客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導(dǎo)存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。w題型題型2：找區(qū)間：找區(qū)間(比較復(fù)雜比較復(fù)雜)；w題型題型3：找函數(shù)：找函數(shù)(由結(jié)論入手，求解微分方程由結(jié)論入手，求解微分方程)yx101yx在在x=0處不可導(dǎo)處

8、不可導(dǎo),也不存在結(jié)也不存在結(jié)論中的點(diǎn)論中的點(diǎn)0( ).f，使得微積分（一）微積分（一） calculus32( )2525, 1,1,( )( )0.1 f xxxxxf xRollef設(shè)驗(yàn)證是否滿足定理的條件？若滿足,求出使例定理中的322( )2525 ( )6102( ) 1,1( 1,1)( 1)(1)0.( ). f xxxxfxxxf xfff xRolle都是多項(xiàng)式；在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且滿足定理的三個(gè)條件解微積分（一）微積分（一） calculus21211( )61020 ( 11)537( 1,(1)65376( 1,1)(1,1) (0.) ff而得 ， 在內(nèi)存在一點(diǎn) ，使

9、得舍去微積分（一）微積分（一） calculus( )(2)(1)(1)(3)2,( )0f xxxxxfx已知不求導(dǎo)數(shù)，試確定有幾個(gè)實(shí)根例及其所在范圍.( ),( )( )-2 -1-1113( )(-2 -1) (-11) (13)( 2)( 1)(1)(3)0,( )-2 -1-1113Th. f xfxf xf xfffff xR都是多項(xiàng)式在閉區(qū)間， ， ，上連續(xù)， 在開區(qū)間， ， ，上可導(dǎo);且在， ， ，上均滿足條件解微積分（一）微積分（一） calculus112233123( 2, 1)( )0( 1,1)()0(1,3)()0. ( )0.ffffx在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一

10、點(diǎn)點(diǎn), ,使使；在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn), ,使使；在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn), ,使使即即、 、 是是的的三三個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根( )0(-2 -1),(-11),(13) .fxQ又又為為三三次次方方程程它它最最多多只只有有三三個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根這這三三個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根，它它們們分分別別在在區(qū)區(qū)間間，內(nèi)內(nèi)注：注：本例中，應(yīng)用定理的本例中，應(yīng)用定理的關(guān)鍵關(guān)鍵是主動(dòng)是主動(dòng)找區(qū)間找區(qū)間。微積分（一）微積分（一） calculus( ) , (0)( , )( ),( , )( )( )(.3) xa baba bff abaa bf bff設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)至少存在一得例點(diǎn) ，使(

11、)( )( )( )0( )0;( )( )(0( )( )f xfxxfxf xxxf xF xxf xF xxf xFx 若令 則問題的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為證明構(gòu)造輔助函數(shù)，就可以用 羅爾定理分析來證明。微積分（一）微積分（一） calculus( )( ),( )( )( )( ) , ( , )( )( )( ) , ( , )( )0,( )( )( )0( ). F xxf xF xxfxf xF xa ba bF aF babF xa ba bFffff令則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且端點(diǎn)值相等：,在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是至少存在一點(diǎn)，使得即證明微積分（一）微積分（一） calculus例

12、例4 設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，試證在，試證在(a,b)內(nèi)內(nèi)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ，使，使f( )+f ( )=0證明：證明：構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) F(x)=f(x)ex則則 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于由于F(x)在在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)且且 F (x)=f (x)ex+f(x)ex所以，在所以，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，有，有F ( )=0即即 e f ( )+e f( )=0 f( )+f ( )=0微積分（一）微積分（一） calculus例例5 已知已知f(x)在區(qū)間在區(qū)

13、間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，ax1x2x3b，且，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明，試證明在在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使，使f ( )=0證明：證明：f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)內(nèi)二階可導(dǎo)f(x)在區(qū)間在區(qū)間x1,x2，x2,x3內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo) f(x1)=f(x2)=f(x3)由羅爾定理，存在由羅爾定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3)使得使得f ( 1)=0，f ( 2)=0再由羅爾定理得，再由羅爾定理得，12( , )( , )a b Q3123( ,)( , ),()0. a b f 存存在在使使得得微積分（一

14、）微積分（一） calculus( )0,1(0,1)(1)0,:(0,1)2 ( )( )sin20.6xffff 在在上上連連續(xù)續(xù)，在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且證證明明 至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得例例2 ( )( )sin20ff當(dāng)當(dāng) （0 0，1 1）分分析析時(shí)時(shí), ,有有( )( )sincos0ff1( )( )sin0cosff21( )( )tan0cosff ( )tan 0 xf xx解解答答微積分（一）微積分（一） calculus( )( )tan ,F xf xx證設(shè)明( )0,1(0,1)(0)(0)tan0(1)(1)tan10( )0,1F xFfFfF x顯然，

15、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且有所以，在上滿足羅爾定理的條件.( )0,2 ( )( )sin20.Fff于是，至少存在一點(diǎn)(0,1),使得即微積分（一）微積分（一） calculus解解答答2( )23, 1,3,( )( )0. f xxxxf xRollef 設(shè)驗(yàn)證是否滿足定理的條件？若滿足,求出定理中使的2( )23( ) 1,3( 1,3)( 1)(3)0.,( ).( )2(1)0( 13),1( 1,3)1( )0.f xxxf xfff xRolleff Q 是是一一個(gè)個(gè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在上上連連續(xù)續(xù), ,在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)又又因因此此滿滿足足定定理理的的三三個(gè)個(gè)條條件件故故有有得得即即在在

16、內(nèi)內(nèi)存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使得得微積分（一）微積分（一） calculus解解答答.015有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)正正實(shí)實(shí)根根證證明明方方程程 xx2）唯一性）唯一性, 1)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 1)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的正實(shí)根即為方程的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使01( ), ,f xx xQ在在之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的 條條件件使得使得之間之間在在至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)),(10 xx . 0)( f015)(4 xxf但

17、但)1 , 0( x矛盾矛盾,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根1）存在性）存在性注意：注意：在后面，本題還將用其他方法加以證明。在后面，本題還將用其他方法加以證明。微積分（一）微積分（一） calculus2、拉格朗日、拉格朗日 (Lagrange) 定理定理(L-Th)或或f bf afba( )( )( )(1), ba1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù); 2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),( ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn) (),ab使 得若函數(shù)若函數(shù))(xf滿足：滿足：aboyABx)(xfy C( )( )( )( - ) (2)f bf afb a則在則在),(ba內(nèi)內(nèi)定理定理微積分（一）微

18、積分（一） calculus幾何意義：幾何意義： 在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有不垂直于不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點(diǎn)點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行，在該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行.aboyABx)(xfy C( )( )f af b當(dāng)時(shí)，結(jié)論就是羅爾定理,即羅爾定理是拉格朗日中值定注：理的特例.微積分（一）微積分（一） calculus分析分析要證要證( )( )( ),f bf afba即證即證0)()() (abafbff即證即證( )( )( )()0f bf af xxaba

19、令令( )( )( )( )()f bf axf xxaba只須證只須證( )0, 只須證只須證)(x在在,ba上滿足羅爾定理?xiàng)l件上滿足羅爾定理?xiàng)l件.微積分（一）微積分（一） calculus證明證明( )( )( )( )()f bf axf xx ab a易見易見)(x在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)， 在在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 且且( )a( ),f a即即( )( ).ab根據(jù)根據(jù)羅爾定理羅爾定理知，知，),(ba使使( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba即即構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)( )( )( ).f bf afba( )( )bf a微積分（一）微積分（一） ca

20、lculus2) 定理結(jié)論肯定中間值定理結(jié)論肯定中間值 的客觀存在的客觀存在,但但未指明確切位置未指明確切位置,可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確定。定。(題型題型1：驗(yàn)證定理的正確性：驗(yàn)證定理的正確性)1) 定理的條件組是充分條件定理的條件組是充分條件。.注意注意3)題型題型2：找區(qū)間；：找區(qū)間；4)題型題型3：找函數(shù)；：找函數(shù)；5)題型題型4：證明等式；：證明等式；6)題型題型5：證明不等式：證明不等式。微積分（一）微積分（一） calculus1) (1)或或(2)式對于式對于ab 時(shí)也成立時(shí)也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.2) 若令若令,aba則則10,于是拉格朗日公式

21、可寫成于是拉格朗日公式可寫成:( )( )( )()f bf af ababa) 10(3)3) 若令若令,xxbxa則得有限增量公式則得有限增量公式:)()(xfxxfyxxxf)() 10(4)說明說明( )( )( )()f bf afba（2）注注 式中的式中的可能不止一個(gè)可能不止一個(gè),這并不影響它在理論上的應(yīng)用這并不影響它在理論上的應(yīng)用微積分（一）微積分（一） calculus 4） 是函數(shù)增量是函數(shù)增量 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式 是函數(shù)增量是函數(shù)增量 的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式y(tǒng)y()fxxx ( )dyfxx微積分（一）微積分（一） calculus( ) , ( , )( )0,

22、( )1,f xa ba bfxf xa b如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)恒有則在閉區(qū)間上恒推論為常數(shù).證明證明 不妨設(shè)不妨設(shè)12,xx在在,21xx上應(yīng)用中值定理上應(yīng)用中值定理,),(21xx使使)()()(1212xxfxfxf0)()(12xfxf所以所以, 由由21,xx的任意性知的任意性知,( )f x 恒為常數(shù).),(,21baxx 對對微積分（一）微積分（一） calculusarcsinarccos.27xx例證明等式:( )arcsinarccos( ) 11( 1,1)( )0;1, 11( ),arcsinarccos.f xxxf xfxf xc cxxc令;顯然

23、，在，上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且由推論 知 在，上 ( 為常數(shù)）即證明0;2arcsinarccos.2xcxx令,得故有微積分（一）微積分（一） calculus例例8 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)在在(,+ )內(nèi)滿足關(guān)系式內(nèi)滿足關(guān)系式f (x)=f(x)，且，且f(0)=1,證明：證明：f(x)=ex 。證明：證明：構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)( )( )xf xF xe2( )( )( )()xxxfx ee f xF xe( )( ),( )0;( )fxf xF xF xQ為為常常數(shù)數(shù). .0,(0)1,( )1.x FF x 取取( ).x f xe從從而而微積分（一）微積分（一） calculus(

24、)( ) , ( , )( )( ),( ) , ( )( )2f xg xa ba bfxgxf xa bf xg xcc如果函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)恒有則在閉區(qū)間上恒有推論（ 為常數(shù)）證明證明( )( )( )F xfxg x有, 0由推論由推論1知知,)(cxF即即( )( ).f xg xc( )( )( ),F xf xg x令微積分（一）微積分（一） calculus解解在閉區(qū)間在閉區(qū)間0，1上連續(xù)上連續(xù),在開區(qū)間在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),滿足拉格朗日中值定理的條件滿足拉格朗日中值定理的條件, 2( )f xx)0() 1 (ff)01)(f即即201) 1 , 0

25、(21即的確在即的確在 (0,1) 內(nèi)找到內(nèi)找到12使定理成立使定理成立.應(yīng)用定理知應(yīng)用定理知例例9 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)2( )f xx在區(qū)間在區(qū)間 0,1 上的正確性上的正確性,并求并求.微積分（一）微積分（一） calculus的的值值。論論求求拉拉格格朗朗日日定定理理，并并由由結(jié)結(jié)上上滿滿足足，在在驗(yàn)驗(yàn)證證函函數(shù)數(shù) 10arctan)(xxf解解答答).10(4411)(11)(40arctan1arctan01)0() 1 ()() 1 , 0() 10( 10arctan)(22fxxffffxxf又又，使得，使得點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)至少存在一內(nèi)至少存在一所以在所

26、以在滿足拉氏定理的條件，滿足拉氏定理的條件，內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在，在在由于由于4(0,1) () 舍去微積分（一）微積分（一） calculus0 x時(shí)時(shí),例例10 證明證明: 當(dāng)當(dāng).)1ln(1xxxx證證 設(shè)設(shè)( )ln(1),f xx0 x對對)1ln()(xxf在在0, x上應(yīng)用上應(yīng)用拉氏中值定理拉氏中值定理,), 0(x, 使使)0)()0()(xffxf)01ln()1ln( x即即,1x因因0, x 所以所以1x xx1. x即即.)1ln(1xxxx微積分（一）微積分（一） calculus( ) , ( , )( , ),( )( )( )( )11f xa

27、ba ba bbf baf affba已已知知在在上上連連續(xù)續(xù), ,在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,證證明明在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得例例( )( ),( ) , ,( ) , ( )( )( )()F xxf xF xa ba bF xa bF bF aFabba設(shè)根據(jù)已知可得：在上連續(xù),在()內(nèi)可導(dǎo)；在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件.明故有證微積分（一）微積分（一） calculus( )( )( ),( )( )( )( , )( )( )( )( )FxfxxfxFffa bbf baf affba又因 此 ， 在內(nèi) 存 在 一 點(diǎn)， 使微積分（一）微積分（一） calculus( ) ,

28、 ()( , )( , )1()aba bxa b aba bfa bbeaeba ee 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證在內(nèi)存在一點(diǎn) ，使得()()baxxbeaeeexeba改寫為：析式分等證證明明微積分（一）微積分（一） calculus( , )( )( )( )a bF bF aFba由拉格朗日定理知，至少存在一點(diǎn)使得1,()babeaeeba即（）1().aba bbeaeba ee故( ),( ) , ( , )( )xxxF xxeF xa ba bF xexe設(shè)則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且證明；微積分（一）微積分（一） calculusarcsinarcsin,1,1證明若，不等式顯然

29、成立.( )arcsin ,( ) ,( )( )( )()()f xxf xfff 若，不妨設(shè);令顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是有證證明明微積分（一）微積分（一） calculus21arcsinarcsin.1在上式兩邊取絕對值得arcsin- arcsin.對的 情 形 ， 證 法 類 似 .故21arcsinarcsin(),()1即2211,1,0 111.1 注意到因此微積分（一）微積分（一） calculus若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf滿足滿足:,則在則在 ),(ba內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得使得,ba1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù);()()()()()()

30、fbfafg bg ag 2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);( )0,g x且且( )THg xxL柯柯西西中中值值定定理理是是拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的推推廣廣，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，即即為為注注- -意意：. .3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(C-Th)定理定理微積分（一）微積分（一） calculus2( )1( )ln1221f xxg xx驗(yàn)證與在 ，上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，并求相應(yīng)例的值.2( )1, ( )ln1 2,1(1,2),( )0 (1,2);( )( )1 2,(1,2)(2)(1)( )(12)(2)(1)( )f xxg xxg xxxf

31、 xg xfffggg由由于于在在 ，上上連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且所所以以與與在在 ，上上滿滿足足柯柯西西定定理理?xiàng)l條件件因因此此在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使解解微積分（一）微積分（一） calculus52( )2ln2ln1( )133;(1,2)2ln22ln2xxfxxg xx 22取2( )1( )ln12f xxg xxx ，(2)(1)( )(12)(2)(1)( )fffggg由得微積分（一）微積分（一） calculusZ 思考思考 1 1、如如果果)(xf在在,ba連連續(xù)續(xù)，在在),(ba可可導(dǎo)導(dǎo)，c為為介介于于 ba,之之間間的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)，那那么么在在),(ba（ ）找找到到兩兩點(diǎn)點(diǎn) 12, xx，使使)()()()(1212cfxxxfxf 成成立立. . （A A）必必能能； （B B）可可能能； （C C）不不能能； （D D）無無法法確確定定能能 . .2、證明、證明bbabaaba ln微積分（一）微積分（一） calculus解答解答2o 對對f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba 111,.baabQ)(1lnln)(1babbabaa 2、證明證