專題一等腰三角形的存在性問題

1、專題練習(xí)一等腰三角形的存在性問題專題攻略如果 ABC是等腰三角形,那么存在 AB= AC,BA= BC,CA = CB三種情況.腰長(兩定一動)：分別以兩腰的頂點(diǎn)為圓心,腰長為半徑畫圓；底邊(兩定一動：)畫底邊的垂直平分線.解等腰三角形的存在性問題,有幾何法和代數(shù)法,把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合, 可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長,分類列方程,解方程并檢驗(yàn).針對練習(xí)1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3, 4),點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個動點(diǎn),如果 DOP是等腰三角形,求點(diǎn) P的坐標(biāo).2、如圖,直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn),交y軸于

2、B點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C (3,0).(1)、求A B的坐標(biāo)；(2) 、求拋物線的解析式；(3) 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn).,使 ABQ是等腰三角形？假設(shè)存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由.3、如圖,在矩形 ABCD中,AB = 6, BC = 8,動點(diǎn)P以2個單位/秒的速度從點(diǎn) A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移 動,同時動點(diǎn)Q以1個單位/秒的速度從點(diǎn) C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn) 時那么停止運(yùn)動.在 P、Q兩點(diǎn)移動過程中,當(dāng) PQC為等腰三角形時,求 t的值.4、如圖,直線y= 2x+ 2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸正半

3、軸上的一個動點(diǎn),直線 PQ 與直線AB垂直,交y軸于點(diǎn)Q,如果 APQ是等腰三角形,求點(diǎn) P的坐標(biāo).A D C上的一個動點(diǎn)(點(diǎn) E與點(diǎn)A不5、如下圖,矩形 ABCD中,AB=4 , BC=4占,點(diǎn)E是折線段重合),點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn).在點(diǎn) E運(yùn)動的過程中,使 PCB為等腰三角形的點(diǎn) E的位置共有()個.A、2 B、3 C、4 D、56、如圖,在 ABC中,AB= AC = 10, BC = 16, DE = 4.動線段 DE (端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿BC以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動,當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時運(yùn)動停止.過點(diǎn)E作EF/AC交AB于點(diǎn)F (當(dāng)點(diǎn)E 與點(diǎn)C重合時,EF與CA重合

4、),聯(lián)結(jié)DF,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(t > 0).(1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；(2) 在這個運(yùn)動過程中, DEF能否為等腰三角形？假設(shè)能,請求出 t的值；假設(shè)不能,請說明理由；(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn),求整個運(yùn)動過程中,MN所掃過的面積.7、如圖,點(diǎn) A在x軸上,OA = 4,將線段OA繞點(diǎn).順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由.5. 11湖州24

5、如圖1,正方形 OABC的邊長為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC 的中點(diǎn).P0,m是線段OC上一動點(diǎn)C點(diǎn)除外,直線PM交AB的延長線于點(diǎn) D.1求點(diǎn)D的坐標(biāo)用含 m的代數(shù)式表示；2當(dāng) APD是等腰三角形時,求 m的值；3 設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與 x軸正半軸交于點(diǎn) E,過點(diǎn)O作直線ME的垂線,垂足為H 如圖2.當(dāng) 點(diǎn)P從O向C運(yùn)動時,點(diǎn)H也隨之運(yùn)動.請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長不必寫解答過程.£6. (10南通27)如圖,在矩形 ABCD中,AB= m ( m是大于0的常數(shù)),BC = 8, E為線段BC上的動點(diǎn)(不與B、C重合).連結(jié)DE,作EF ± D

6、E, EF與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE=x, BF = y.(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 假設(shè)m= 8,求x為何值時,y的值最大,最大值是多少？12(3) 右y 一,要使 DEF為等腰三角形,m的值應(yīng)為多少?兩年模擬7. (2021年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題)如圖,在 ABC中,AB = AC= 10, BC= 16, DE = 4.動線段 DE (端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始)沿 BC以每秒1 個單位長度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動,當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時運(yùn)動停止.過點(diǎn) E作EF/AC交AB于點(diǎn)F (當(dāng)點(diǎn)E 與點(diǎn)C重合時,EF與CA重合),聯(lián)結(jié)DF,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(t > 0).(1) 直接

7、寫出用含t的代數(shù)式表示線段 BE、EF的長；(2) 在這個運(yùn)動過程中, DEF能否為等腰三角形？假設(shè)能,請求出 t的值；假設(shè)不能,請說明理由；(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn),求整個運(yùn)動過程中,MN所掃過的面積.析式；線交y軸于點(diǎn)使 EFG為等8. (寧波七中2021屆保送生推薦測試第 26題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,且AB = 3, BC = 2區(qū),直線y = <3x 兇3 經(jīng)過點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)G.(1) 點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C (), D ()3(2) 求頂點(diǎn)在直線 y= 扇 2 J3上且經(jīng)過點(diǎn)c、D的拋物線的解(3) 將(2)中的拋物線

8、沿直線 y= <3x 2*弓平移,平移后的拋物F,頂點(diǎn)為點(diǎn)E (頂點(diǎn)在y軸右側(cè)).平移后是否存在這樣的拋物線, 腰三角形？假設(shè)存在,請求出此時拋物線的解析式；假設(shè)不存在,請說明理由.白編原創(chuàng)9. 如圖, ABC中,AB= AC= 6, BC= 8,點(diǎn)D是BC邊上的一個動點(diǎn),點(diǎn) E在AC邊上,/ ADE =Z B.設(shè)BD的長為x, CE的長為y.(1)當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時,求CE的長；(2) 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出 x的取值范圍;(3) 如果 ADE為等腰三角形,求 x的值.備用圖參考答案:1.由于 D (3, 4),所以 OD = 5, COS DOP 如圖1,當(dāng)PD = PO時,

9、作PEL OD于E.OE 3 _ 5 一 在 Rt OPE 中,cos DOP 亦-,OE 所以 OO此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為與0.6 如圖2,當(dāng)OP= OD = 5時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為5, 0.25"6P的坐標(biāo)為6, 0. 如圖3,當(dāng)DO = DP時,點(diǎn)D在OP的垂直平分線上,此時點(diǎn)3在 PQC 中,CQ = t, CP = 10-2t.如圖1,當(dāng)CP CQ時,t 10 2t,解得t如圖2,當(dāng)QP QC時,過點(diǎn)Q作QM ±AC于M,那么CM = 1 PC 5 t2在 Rt QMC 中,cos QCM 4 甄 J,解得 t 25秒.5 CQ t9如圖3,當(dāng)PQ PC時,過點(diǎn)P作PNL

10、BC于N,那么CN = 1QC 1t .221t在 Rt PNC 中,cos PCN 4 絲 一2,解得 t 80 秒.5 CP 10 2t21綜上所述,當(dāng)t為 四秒、距秒、80秒時,APQC為等腰三角形.39213. 由 y= 2x+ 2 得,A(- 1 , 0), B(0 , 2).所以 OA = 1, OB= 2. 如圖,由 AOBs QOP 得,OP : OQ = OB : OA = 2 ： 1 .設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0, m),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m, 0).4 -,-.所以付合條件的點(diǎn)P不存因此 AP2= (2m + 1)2, AQ2= m2+ 1, PQ2= m2 + (2m)2 =

11、 5m2.當(dāng) AP = AQ 時,AP2 = AQ2,解方程(2m+ 1)2= m2 + 1,得 m 0或 m在.2賠.所以P(4 2必,0).當(dāng) pa= PQ 時,PA2= PQ2,解方程(2m +1)2= 5m2,得 m1當(dāng) QA = QP 時,QA2= QP2,解萬程 m2+ 1= 5m2,得 m .所以 P(1,0) 第3題圖第4題圖4. (12 臨沂 26)(1) 如圖,過點(diǎn) B作BOX y軸,垂足為C.在 Rt OBC 中,/ BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC 2很.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 2炳.(2) 由于拋物線與x軸交于O、A(4, 0

12、),設(shè)拋物線的解析式為y= ax(x-4),代入點(diǎn)B( 2, 2捐),2焰2a ( 6) .解得a .6所以拋物線的解析式為 y Vx(x 4)寸3 x2 2：舊x .663(3) 拋物線的對稱軸是直線 x= 2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, v).當(dāng) OP = OB= 4時,OP2= 16.所以 4+y2= 16.解得 y2J3 .當(dāng)P在(2, 2構(gòu)時,B、O、P三點(diǎn)共線. 當(dāng) BP = BO= 4 時,BP2=16.所以42(y3)216 .解得y1y220 當(dāng) PB = PO 時,PB2= PO2.所以 42 (y 2右)2 22 y2 .解得 y 2舊.綜合、,點(diǎn) P的坐標(biāo)為(2, 2構(gòu).5.

13、 (11湖州24) (1)由于PC/DB,所以竺現(xiàn) 匹 1 .因此PM = DM , CP = BD = 2-m.所以AD BD DM MB=4- m.于是得到點(diǎn) D的坐標(biāo)為(2, 4-m).(2)在 APD 中,AD2 (4 m)2 , AP2 m2 4, PD2 (2PM)2 4 4(2 m)2. 當(dāng)AP = AD時,(4 m)2 m2 4 .解得m 3 (如圖1)2 當(dāng) PA= PD 時,m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4 (如圖2)或m 4 (不合題意,舍去).3 當(dāng) DA = DP 時,(4 m)2 4 4(2 m)2.解得m -(如圖3)或m 2 (不合題意,舍去).3綜上所

14、述,當(dāng) APD為等腰三角形時,m的值為3 , 4或2 .233第5題圖1第5題圖2第5題圖3另解第(2)題解等腰三角形的問題,其中、用幾何說理的方法,計算更簡單： 如圖1,當(dāng)AP= AD時,AM垂直平分 PD,那么 PCMs MBA.所以 PC MB 1.因此 pc 1, m 3.CM BA 222 如圖2,當(dāng)PA= PD時,P在AD的垂直平分線上.所以DA = 2PO.因此4 m 2m .解得m -3(3)點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為 恒 .思路是這樣的：4如圖4,在Rt OHM中,斜邊OM為定值,因此以 OM為直徑的.G經(jīng)過點(diǎn)H,也就是說點(diǎn) H在圓弧上運(yùn)動.運(yùn)動過的圓心角怎么確定呢？如圖5, P與

15、.重合時,是點(diǎn)H運(yùn)動的起點(diǎn),Z COH = 45° , Z CGH = 90°第5題圖4第5題圖6. (10 南通 27)(1)由于Z EDC與Z FEB都是Z DEC的余角,所以/ EDC = Z FEB.又由于/ C =Z B= 90° ,所以 DCEs EBF.DC EB * m因此,即CE BF x整理,得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為1 2(2)如圖1,當(dāng)m= 8時,y -x 8x = 4時,y取得最大值為2.y號那么專1 28x x.mm12x(x 4)82.因此當(dāng)x .整理,得x2 m8x12 0.解得x = 2或x = 6. 要使 DEF為等腰三角形, 由于

16、 DCEs EBF,所以 CE= BF ,即12m12將x = y = 2代入y將x = y = 6代入y第6題圖1只存在ED = EF的情況.x = y.m= 6 (如圖2)；m= 2 (如圖3) .第6題圖2第6題圖3BE t 4, EF 5(t 4)-8所以平行四邊形的高為 3 - 9,面積為-2 -7. (1)(2)如圖1 ,當(dāng)DE = DF時,DE也即4AB BC 1016A.解得t如圖2,當(dāng)ED = EF時,54 -(t 4)-8解得t第7題圖1第7題圖2第7題圖3(3) MN是 FDE的中位線,MN/DE , MN = 2, MN掃過的形狀是平行四邊形. 如圖4,運(yùn)動結(jié)束,N在A

17、C的中點(diǎn),N到BC的距離為3;如圖5,運(yùn)動開始,第7題圖4第7題圖58. (1) C(4,2/3) , D(1,2V3).(2)頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線上,橫坐標(biāo)為 5,代入直線y= J3x 2際,得y 史.22A DEF 中,Z DEF =/ C是確定的.15625125如圖3,當(dāng)FD = FE時,10史.解得t160,即D與B重合.D與B重合,M到BC的距離為34DE BC4FE AC即吉4)設(shè)拋物線的解析式為y a(x 5)2爽,代入點(diǎn)C(4,2 73),可得a 叢22368所以物線的解析式為y L3x 52 -3.3223由頂點(diǎn)E在直線y= V3x 2構(gòu)上,可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為0, 2后,

18、直線與y軸正半軸的夾角為 30° , 即 Z EGF = 30° .設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,必m 2炳,那么EG= 2m,平移后的拋物線為 y 2.3 x m2 J3m 習(xí)3 .所以點(diǎn)F 的坐標(biāo)為0,*3m2思m 2響. 如圖 1,當(dāng) GE= GF 時,yF yG = GE= 2m,所以 翌3m2 J3m 2m -3解得m= 0或右 3 . m = 0時頂點(diǎn)E在y軸上,不符合題意. 2此時拋物線的解析式為 y 登x 3 32 3 三. 322 如圖2,當(dāng)EF = EG時,FG = 2很左,所以 3m2 網(wǎng) 20m .解得m= 0或| .此時拋物線的解析式為 y Hx 32 -2 .322 當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)時,/ FEG為鈍角,因此不存在 FE = FG的情況.第8題圖1第8題圖289.(1)當(dāng) D 為 BC 的中點(diǎn)時,AD ± BC, DE ± AC, CE -.3(2) 如圖 1,由于Z ADC =Z ADE + Z 1, Z ADC = Z B+Z