北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)第四章基本平面圖形角

1、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換:2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法：3. 會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或訃算：4. 掌握角的和、差、倍.分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】_ 要點(diǎn)一.角的概念1. 角的定義：(1) 定義有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的 兩條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,圖1(2) 定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平而部分是角的內(nèi)部.如圖 2所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位豊0A是角的始邊，終止位置0B是角的

2、終邊.要點(diǎn)進(jìn)階：(1) 兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線：角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).(2) 平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直線時(shí)，所形 成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn).0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.AB)周角BOA 平角圖I2角的表示法：角的幾何符號(hào)用表示，角的表示法通常有以F四種:表示方法圖示鼻記法適用范圍(1)用三個(gè)大 寫字母表示0B乙AOB 或乙BOA任何情況都適 用表示頂點(diǎn)的 字母寫在中間(2)用一個(gè)大 寫字母表示ZO乙0以某一點(diǎn)為頂點(diǎn) 的角只有一個(gè) 時(shí)可以用頂點(diǎn) 表示角(3)用阿拉 伯?dāng)?shù)字表示Z1任何情況梆適用

3、(4)用希脂字 母表示丄任何情況都適用要點(diǎn)進(jìn)階:用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字 母.3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30° . 45°、60°、90°等特殊角.（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角.角的度量單位是度、分.秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1。的丄為160分，記作S的丄為1秒，記作“1" ”這種以度、分.秒為單位的角的度量制，叫做角度制.601 周角= 360° , 1 平角= 180° ,

4、 1° =60，r =60"要點(diǎn)進(jìn)階：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位， 從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一 位進(jìn)位.晏點(diǎn)三、角的比較與國(guó)|1角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.方法1:度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.方法2：疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.如比較ZA0B和0r B'的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得ZA0BVZA' 0 B':由圖（2）可得ZA0B=ZAz 0 B'

5、;:由圖（3）可得ZA0B>ZAf 0 Bf 2. 角的和、差運(yùn)算如圖所示，ZA0B是Z1與Z2的和，記作：ZA0B=Zl+Z2： Z1是ZA0B與Z2的差，記作：Z1 = ZA0B-Z2.要點(diǎn)進(jìn)階：用量角器量角和畫角的一般步驟：對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）：重合（一邊與刻度尺上 的零度線重合）；讀數(shù)（讀岀另一邊所在線的度數(shù)）.（2）利用三角板除了可以做岀30°、45°、60°、90°夕卜，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15° ,75° , 105° , 120° , 135° , 150&#

6、176; , 165° 的角.3. 角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)岀發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，0C是 ZA0B 的角平分線，ZA0B=2ZA0C=2ZB0C,ZAOC=ZBOC=izAOB.要冬進(jìn)階二由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣.要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60° :射 線OB的方向是南偏西30°這里的“北偏東60° ”和“南偏西30° ”表示方向的角，就叫做方位角.要點(diǎn)進(jìn)階（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需

7、要用角度來(lái)表示.（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60° ” 一般不說(shuō)成“東偏北30° ” .（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的''十字線”，確左其觀察點(diǎn) 的正東、正西、正南、正北的方向.（4）圖中的點(diǎn)0是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以0為端點(diǎn)鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分.每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí) 轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題.【典型例題】類型一、角的概念例1利用一副三角板上的角，能

8、畫出多少個(gè)小于180。的角，試一一畫出來(lái).舉一反三：【變式】下列說(shuō)法中，正確的是（）A. 兩條射線組成的圖形叫做角B. 有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C. 角可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D. 角可以看做是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形類型二.角度制的換算例2計(jì)算下列各題：(1) 152° 49 12" +20. 18° ；(2)82° -36° 42° 15"；(3)35° 361 2 47" X9：(4)41° 37f 三3舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)23&

9、#176; 45f 36" +66° 14z 24" : (2)180° -98° 24 30":(3) 15° 501 42" X3：(4) 88° 14 48" 4-4.類型三、角的比較與運(yùn)算例3.如圖所示表示兩塊三角板.舉一反三：【變式】如圖，ZAOB的平分線OM,ON為ZMOA內(nèi)的一條射線，0G為ZAOB外的一條射線.某同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)貞分析，得到一個(gè)關(guān)系式是ZMON= - （ZBON-ZAON）,你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確, 2請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過(guò)程寫出來(lái).例 4如圖，ZAOB

10、二90° , ZA0C=30° ,且 OM 平分ZBOC, 0N 平分ZA0C,（1）求ZM0N的度數(shù)；（2）若ZA0B二a英他條件不變，求ZM0N的度數(shù)：（3）若ZA0C=3 （B為銳角）其他條件不變，求ZM0N的度數(shù)：（4）從上而結(jié)果中看出有什么規(guī)律？舉一反三:【變式】如圖，已知0是直線AC上一點(diǎn)，0D平分ZAOB, 0E在ZB0C內(nèi)，且ZB0E=丄ZEOC, ZD0E=類型四、方位角例5.已知小島A位于基地0的東南方向，貨船B位于基地0的北偏東50°方向,那么ZA0B的度數(shù)等于類型五.鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題例6.在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條

11、直線?舉一反三：【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購(gòu)物，表上的時(shí)針和分針的夾角恰為110° ,下午7點(diǎn)前回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)表 上的時(shí)針和分針的夾角又是110。,試算出此人外出用了多長(zhǎng)時(shí)間？【鞏固練習(xí)】 一、選擇題1.關(guān)于平角、周角的說(shuō)法正確的是（）.A.平角是一條直線.B.周角是一條射線.C.反向延長(zhǎng)射線0A,就成一個(gè)平角. D.兩個(gè)銳角的和不一龍小于平角.2在時(shí)刻& 30時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針之間的所成的夾角是（）A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°3.如圖所示，將一幅三角板疊在一起,C.大于180° D.不能確立使直角

12、的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)0,貝UA0B+ZD0C的值（4. 下面等式成立的是（）B. 37° 12f 36" =37.48°D. 41.25° 二41° 15zA. 83.5° =83° 50，C. 24° 24 24" =24.44°5. 如圖，OB、0C是ZA0D的任意兩條射線,0M平分ZAOB, ON平分ZC0D,若ZM0N= a , 則表示ZA0D的式子是（）.A. 2a -0 Ba-B Ca + B D以上都不正確6. 如圖，0為我國(guó)南海某人造海島，某國(guó)商船在A的位宜，Z1二40° ,

13、下列說(shuō)法正確的是A商船在海島的北偏西50°方向C.海島在商船的東偏南50°方向B.海島在商船的北偏西40°方向D.商船在海島的東偏南40°方向二. 填空題7. 書店、學(xué)校、食堂在同一個(gè)平面上，分別用點(diǎn)A、B、C來(lái)表示，書店在學(xué)校的北偏西30° ,食堂在學(xué)校的南偏東15° ,則平而圖上的ZABC應(yīng)該是.8. 把一個(gè)平角16等分，則每份（用度、分、秒表示）為.9. 如圖所示，ZAOC與ZBOD都是直角，且ZAOB:ZAOD=2:lb則ZAOB=10從A沿北偏東60。的方向行駛到B,再?gòu)腂沿南偏西20°的方向行駛到C,則ZABC二

14、度11. 如圖，在一個(gè)正方體的兩個(gè)面上畫了兩條對(duì)角線AB, AC,那么這兩條對(duì)角線的夾角等于12. 如圖，在ZAOE的內(nèi)部從O引出3條射線，那么圖中共有個(gè)角；如果引出5條射線,有個(gè)角：如果引出"條射線，有一個(gè)角.三. 解答題13如圖，在A、B兩處之間要修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路疋向是北偏東46° , A、B兩地同時(shí) 開(kāi)工，若干天后公路準(zhǔn)確接通.<1)B地修公路的走向是南偏西多少度？(2)若公路AB長(zhǎng)12千米，另一條公路BC長(zhǎng)6千米，且BC的走向是北偏四44° ,試求A到公路BC的I14. 如圖，點(diǎn)0為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0作直線0C,已知ZA0CH90。，射線0D平分ZAOC,射線0E 平分ZBOC,射線OF平分ZD0E求：(1) 當(dāng) 0° VZA0CV90。時(shí)，求ZF0B+ZD0C 的度數(shù)：(2) 若ZD0C二3ZC0F,求ZA0C 的度數(shù).15. 如圖，已知ZA0B是直角，ZB0C二60° , 0E平分ZAOC, 0F平分ZB0C.(1)求ZE0F的度數(shù)；(2) 若ZA0C=x° , ZE0F=y°則諳用x的