2019—2020北京朝陽高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)

1、1.2.3.4.5.6.2020北京朝陽高二（上）期末（ 考試時間本試卷分為選擇題（共第一部分、 選擇題 : 本大題共 10 小題 , 每小題 5 分，合題目要求的一項 .不等式 x（x 2） 0 的解集是A) x 0 x 2B) x x 0已知 x 1 ，A)1已知雙曲線A)9則當(dāng)2 x2 a在平面直角坐標(biāo)系2020.1120 分鐘滿分 150 分 ）50 分）和非選擇題（共 100 分）兩部分選擇題 共 50 分）50分. 在每小題給出的四個選項中 ,選出符C) x x 2D) x x 0 或 x 2x x4 取得最小值時，xx 的值為B)2C)3D)421y6 1（a 0）的一個焦點(diǎn)為

2、（5 , 0） ，則 a的值為B)6C)5D)3xOy中，橢圓 C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) F1,F2在 x軸上，離心率為圓于 A , B兩點(diǎn)，且 ABF2的周長為 16，則橢圓 C 的方程為22A) x2 y2 18422B) x2 y2 116 422C) x2 y2 18 16D）22xy16 8若向量 a , b,c 不共面，則下列選項中三個向量不共面的是A) b c , b, b cC) a b , a b , cB) a b , c , a b cD) a b,a b, a已知 m,l 是兩條不同的直線， , 是兩個不同的平面，則下列各組條件中能推出 m ,l , m,l , m ,l

3、, m,l ,A）B）C）D）2，過 F1的直線 l 交橢2m l 的所有序號是5 / 107.A)4B)6C)8D)1612已知 mn 0， 2m n 1 ，則的最小值是mn8.已知數(shù)列an和bn滿足bnan ，則“數(shù)列an為等比數(shù)列”是“數(shù)列bn為等比數(shù)列”的A）充分而不必要條件B）必要而不充分條件9.C）充分必要條件D）既不充分也不必要條件2經(jīng)過雙曲線 M : x2a2y2 1（a 0,b 0）的左焦點(diǎn)作傾斜角為 60°的直線 l，若 l與雙曲線 M的左支有兩個不 b2同的交點(diǎn)，則 M 的離心率的取值范圍是A)(2 ,)B)(1, 2)C) (1, 3)D)( 3 , )10.

4、已知球 O的直徑為 3， A,B,C,D是球 O上四個不同的點(diǎn)，且滿足分別用 S1 ,S2 ,S3表示 ABC, ACD, ABD的面積，則 S1 S2 S3的最大值是A）B）C)9D) 18第二部分（非選擇題 共 100 分）二.填空題 :本大題共 6小題,每空 5分,共30分，答案寫在答題卡上 .211. 雙曲線 x y2 1 的漸近線方程是 .412. 拋物線 y2 2x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ；準(zhǔn)線方程是 .13. 已知公比不為 1的等比數(shù)列 an 滿足 a1 2，a2 a3 4，則 a4 .14. 某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 ，面積最大的側(cè)面的面積為 俯視圖15. 萊茵德紙

5、草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，其中一道題目的背景是這樣的：把 100 片面包分給 5 個 1人，使每個人分得的面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三個數(shù)之和的 1 是較小的兩個數(shù)之和，若將這 5 個數(shù)從7 小到大排列成遞增的等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為 .16. 不等式 x2 2y2 cx（y x）對滿足 x y 0的任意實(shí)數(shù) x , y恒成立，則實(shí)數(shù) c 的最大值是 三.解答題 :本大題共 4小題,共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明 ,演算步驟或證明過程17. （本小題滿分 16 分）已知數(shù)列 an 是遞增的等差數(shù)列， a2 3，且 a1 , a2 , a5成等比數(shù)列）求數(shù)列 an 的通項公式；）設(shè)

6、bn an 2n ，求數(shù)列 bn 的前 n項和 Sn；2）若 cn2 ，設(shè)數(shù)列 cn 的前 n 項和為 Tn ，求滿足anan 124Tn的 n 的最小值 .2518. （本小題滿分 18 分）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形，平面 PAD 平面 ABCD. 已知 PA PD AB ， APD 900 .（）證明：AD平面 PBC ；（）證明：AB PD ；）求二面角 A PB C 的余弦值 .19. （本小題滿分 18 分）已知拋物線 y2 2px（p 0）經(jīng)過點(diǎn) （1, 2） .（）求拋物線 C 的方程及其準(zhǔn)線方程；（）過拋物線 C的焦點(diǎn) F的直線 l交C于 A , B

7、兩點(diǎn)，設(shè) O為原點(diǎn)（）當(dāng)直線 l 的斜率為 1 時，求 AOB 的面積；（）當(dāng) FA 3FB 時，求直線 l 的方程.20. （本小題滿分 18 分）C 的左焦點(diǎn) A. 過原點(diǎn) O 的一條直線與直線 lx2 y23已知橢圓 C : x2 y2 1（a b 0） 的離心率為 3 ，直線 x y 2 0 經(jīng)過橢圓 a b2）求橢圓 C 的方程；）設(shè)直線 l:y kx m（k 0）交橢圓 C于M ,N兩點(diǎn)（ M , N不同于點(diǎn) A）交于點(diǎn) P ，與直線 AM ,AN 分別交于點(diǎn) D,E.）當(dāng) k 2 時，求 MN 的最大值； ）若 OD OE ，求證：點(diǎn) P 在一條定直線上2020北京朝陽高二（上）

8、期末數(shù)學(xué)參考答案、選擇題：（本題滿分 50 分）題號12345678910答案ABDDCACABB、填空題：（本題滿分 30 分）題號111213141516答案1 yx21(12,0)1x21616105562 2 4三、解答題：（本題滿分 70 分）17（本小題滿分 16 分） 解：()設(shè) an的公差為 d ( d 0)，a1 d 3, 由條件可得 a1(a1 4d) (a1 d)2,d 0,解得 a1 1, d 2.所以 an 1 2(n 1) 2n 1 ， n N * 5 分()由()知 bn an 2n 2n 1 2n ，則Sn b1 b2 b3bn1 3 5 (2n 1) 2 22

9、 232n(1 2n 1)n 2 2n 12 1 22 n 1 n2 2n 1 2.所以數(shù)列 bn 的前 n項和 Sn n2 2n 1 2 1分111 / 10)因?yàn)?cn anan 1 (2n 1)(2n 1)2n 112n 1111 所以 Tn 1 31 31 1512n 112n 12n2n 1由 2n 24 得n 12 ，又因?yàn)?n N* ，2n 1 25所以滿足 Tn的 n的最小值為 13. 1分62518（本小題滿分 18 分）解：（）因?yàn)樗倪呅?ABCD 為矩形，所以 ADBC 又因?yàn)?BC 平面 PBC ，AD 平面 PBC ，所以 AD 平面 PBC 4 分（）根據(jù)題意，平面

10、 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ，因?yàn)?AB ì平面 ABCD，且 AB AD ，所以 AB 平面 PAD 又因?yàn)?PD 平面 PAD ，所以 AB PD 9 分（）取 AD的中點(diǎn)為 O，取 BC的中點(diǎn)為 E，連接 OP,OE ，則OE AD ，又因?yàn)?PA PD ，所以 PO AD，所以 PO 平面 ABCD ，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OA, OE ,OP所在直線為 x 軸， y軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖不妨設(shè) AB 2 ，因?yàn)?PA PD AB ， APD 90 ，所以 PA PD2 ， AD 2， OP 1所以 A(1,0,0) ，

11、 B(1, 2,0) ，C( 1, 2,0) ， P(0,0,1) ， D( 1,0,0) 所以PB (1, 2, 1) ，BC( 2,0,0) ，PD ( 1,0, 1) 由（）可知， AB PD 因?yàn)?APD 90 ，所以 PA PD 所以 PD 平面 PAB 所以 PD 為平面 PAB 的一個法向量設(shè)平面 PBC 的一個法向量為 n x, y,z ，即 x 2y z 0, 2x 0.取 y 1，得平面 PBC的一個法向量為 n （0,1, 2） 則 cos PD, n PD nPD n223由圖可知，二面角 A PB C 為鈍角，所以二面角 A PB C 的余弦值是 3 1分8319（本

12、小題滿分 18 分） 解：（）由拋物線 y2 2px過點(diǎn) （1,2），得 2p 4 于是 p 2 ，所以該拋物線的方程為 y2 4x，準(zhǔn)線方程為 x 1 4分（）設(shè) A（x1,y1）， B（x2, y2 ） 焦點(diǎn) F的坐標(biāo)為 （1，0） （i ）由題可知，直線 l 的方程為 y x 1 y2 4x,聯(lián)立 y 4x, 得 y2 4y 4 0 y x 1,y1 y2 4,由韋達(dá)定理可得 1 2y1 y2 4.因?yàn)閨OF | 1，|y1| | y2 | | y1 y2 |，所以SAOB SOFA S OFB111y2)2 4y1y221|OF| |y1| 12|OF| |y2| 12|OF| |y1

13、| |y2| 21|y1 y2 | 21 (y11 16 16 2 2.210 分所以 AOB 的面積為 2 2 ( ii )易知直線 l 的斜率存在且不為 0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0) ， 設(shè)直線 l :y k x 1 y2 4x, 2 2 2 2聯(lián)立得 k2x2 (2k2 4)x k2 0 y k x 1 ,由韋達(dá)定理可得 x1 x2 2 k2 ,x1x2 1.由題意， |FA| 3| FB|，因?yàn)?A,B分別到準(zhǔn)線的距離等于 A,B到焦點(diǎn) F 的距離，所以 x1 1 3(x2 1) ，即 x1 3x2 2 1聯(lián)立，解得 x1 3,x2 ，代入得 k2 3，所以 k 3 3所以直線 l 的方

14、程為 y 3 x 1 20(本小題滿分 18 分)18 分解：()設(shè) A( x0 ,0) ，因?yàn)辄c(diǎn) A在直線 x y 2 0 上，所以 x0 2 0，得 x02，所以 A( 2,0) 所以 a 2 又因?yàn)殡x心率 e c 3 ，所以 c 3 ， b 1 a22所以橢圓 C 的方程為 x y2 1.45分)設(shè) M (x1,y1),N(x2,y2) y 2x m,i )因?yàn)?k2 ，由2x2消去 y 可得 x ( 2x m)24 y 1, 4即 9x2 8 2mx 4m2 4 0，由16m2 144 0得 m2 9由韋達(dá)定理，8 2mx1 x2,x1x294m2 4由弦長公式得|MN | (1 k2

15、)( x1 x2)2 4x1x2(1 2)( 8 2m)2 4(4m2 4)16m2 14492713 / 10由于 16m2 144 144 ，所以 |MN | 16m 144當(dāng)且僅當(dāng) m 0時，|MN |取到最大值 4 3 . 11分3ii )若|OD | |OE|，則O為 DE 的中點(diǎn)，所以 xD xE 0.設(shè)直線 DE : y k0x，直線 AM : yy1 (x 2)，x1 2兩個方程聯(lián)立可得：y1 (x 2) k0x x1 22y12y2解得 xD1 ，同理 xEk0(x1 2) y1k0(x2 2) y2所以 xD2y12y2k0(x1 2) y1 k0(x2 2) y20,即 k0y1(x2 2) y1y2 k0 y2(x1 2) y1y2 0.所以 k0y1 y2k m k0y2 y1k m 2k0(y1 y2) 2y1y2 0.化簡得：1)y1y2 (2k0y1 y2) 0. 15 / 10y kx m, 由 x22 可得 :y2 1,4 y 1,2 2 2 2 2 2 2 2(y m)2 4k2y2 4k2，即 (1 4k2)y2 2my m2 4k2 0 ，由4m2 4(1 4k2)(m2 4k2) 0 ，得 m2 1 4k