(完整版)固體物理第3章晶格振動參考答案2011

1、第二章晶格振動參考答案20113.1在單原子組成的一維點陣中，若假設每個原子所 受的作用力左右不同，其力常數(shù)如圖所示相間變化， 且 1 2。XCH0CJ3 (J1S試證明在這樣的系統(tǒng)中，格波仍存在著聲頻支和光頻支，其格波頻率為2 124 1 2 sin (qa 2)2)2證明：第2n個原子所受的力F2n2(u2 n1 U2n)1(U2 n1 U2n)(12 )u2n2u2n 11U2n 1第2n+1個原子所受的力F2n 1(U2n 2U2n 1 )2 (U2nU2n 1 )2 )U2n1U2n 12U2n這兩個原子的運動方程:mU2n( 12)U2n2U2n 11U2n 1mu2n 1( 1)

2、U2n 11U2n 12U2n方程的解a i t (2n與q u2nAea i t (2n 1)qU2n 1 Be代入到運動方程，可以得到m2A.ai2q 1e2.ai2q 2e 2B(12)Am2b.ai2q 1e 2.ai2q 2e2A(12)B經(jīng)整理，有(12m 2)Aiaq1e22i-qe 2B01ea中2e2 A(122 m)B0B有非零解，系數(shù)行列式滿足1 2.ai2q1e 22m ,.ai2q2e2 ,a1eiaqa2ei2q根據(jù)上式，有2 sin2 (qa 2)23.2具有兩維正方點陣的某簡單晶格，設原子質量為M,晶格常量為a,最近鄰原子間相互作用的恢復力 常數(shù)為，假定原子垂直

3、于點陣平面作橫振動，試證 明此二維系統(tǒng)的格波色散關系為M 2（2 cosqxa cosqya）。解：（hm+1）O00O0o00OO（1仆）（Im） （l+13m）OOOooo00（I 小 1）0 0 0000如圖所示，只考慮最近鄰原子的作用，第 l,m原子受 到（l+1,m），（l-1,m），（l,m+1），（l,m-1）四個原子的 作用力為：（l+1,m ）對它的作用力=（U| i,m U|,m），（l-1,m）對它的作用力=（U|,m U| 1,m），（l,m + 1 ）對它的作用力=（Uhm i Ul,m），（l,m-1 ）對它的作用力=（Ul,m Ul,m 1）o由于（l+1,m）和

4、（l-1,m）對它的作用力以及（l,m+1） 和（l,m-1）對它的作用力的方向都是相反的，于是運 動方程式可以寫為：d2Ui,mdt2(U I 1,mUl 1,m2Ui,m)(u l,m 1Ul,m 12U|,m)設解的形式為U|,m Uo exp i lqxa mqyat代入運動方程后，得到色散關系2Meiqxa eiqxa eiqya e iqya 422 cosqxa cosqya3.3(a)解：對于一維單原子鏈，簡正振動格波的色散關系表述為2需|sin aq m sin aq|( 1)式中，,a, m和q分別代表恢復力常數(shù)，晶格常數(shù)，原子 質量和格波波矢。<0上面表明，是q的偶

5、函數(shù)設g( q)表示q空間中單位間隔內(nèi)振動方式數(shù)，g()表示單位頻率間隔內(nèi)的振動方式數(shù)，于是有m0 g( )dijg(q)dq = 22a1；ag(q)dq從(1)式知道，當q=0時，0 :當 q= 1/2a 時，(2)m(2)式左邊可以寫成為g()d102ag()T-dqdq(3)(3)dq波矢空間的態(tài)密度 g(q)從(2)式可以得到g(2g(q)即g()2g(q)-dq d式中N為晶格原子總數(shù)。da mdqg(q)又從cos aq1/2=a( m 0)代入(4)既得g() 2g(q尸TNaNa1)式得到2 1/2a m(1 sin aq)2N 1(1)2)1/2g()2N(4m2)1/23

6、.5(a)證明：在振動能級很密集，振動頻率可以認為是準連續(xù)的情況下，晶格振動的總能量表達為h匸 kBT e-g( )d1因此比熱利用寫成CVekBT_(ekBTg(1)2)d把頻率分布2N g()(12)1/2代入上式，并令hkpTh mkB則比熱表示為2NkB ( T )D1x2ex(工 x)21/2(ex 1)-dx2在低溫因為TxDT h h mkBkBT-pim因而1 (工D2 1/2x)f)D2x2 3宀4/L L在低溫極限下，則有C 2NKb(工)D因為2 xx ex 2(e 1)x2x # / x 2 e (1 e )x(1 2e3e2x=x2 (ex 2e2x3e 3x)x2n

7、xnxxx e0 (ex 1)2dxnxnx 2x dx 2n02 3所以CV2NkB（T）D）323.9格林艾森常數(shù)。(a)證明頻率為 的聲子模式的自由能為kBT In 2sinh 2kBT；(b)如果是體積的相對變化量，則晶體的自由能密度可以寫為1 2F（，T） 2B kBTInq2sinh -2kBT其中B為體積彈性模量。假定與體積關系為為格林艾森常數(shù)，且與模q無關。證明當B 口 2 (q)coth莎乎 時，F(xiàn)對于 為極小。禾【J用內(nèi) 能密度的定義，證明可近似表達為U(T)： B。解: (a)雙曲函數(shù)基本定義sinh x =(ex -e-x)/2 cosh x =(ex + e-x)/2

8、 tanh x =sinh x / cosh x coth x = 1 / tanh x考慮頻率為的聲子模，配分函數(shù)為kBT2kBT (12kBTkBTe /kBT e2 kBT )1/2kBT/2kBTee1(1)2si nh2kBT故自由能為F - kBT In ZkBT In 2sinh2kpT(b)晶體的自由能為F(V, T) E(V) kBTqln 2sinh2kpT(3)E(V)為OK時晶體的內(nèi)能，第二項為所有聲子模的貢 獻。若晶體體積改為 V，則F(VV, T) E(VV)kBTIn 2sinhq(V V)2kpT而E(VV, T) E(V)扌2eV2E(V) 1 B 22其中B

9、2e為體積模量，0于是與有關的自由能為F( ,T)1B22 kBTIn 2sinhk(VV)2kBT(4)其中(V V)(V)(V)嘰)VVVV(5)q4n為格林艾森常數(shù)假定q與模式q無關，即q ，則由F( ,T)對的極小條件(VV)kBTIn 2sinh q2kBTB 1 coth匕(6)2 q2kpT利用(5)式，(V V)，由此有1q2平均熱能為coth2kBTU(T) FkBqIn2sinh2kpT(8)1coth q 22kpT這里假設與T無關。將(8)式代入(7)式得U(T)/B3.10假定作用在n平面上總的力為Fnp UnPUn其中晶面間的力常數(shù) P為P八 sin k。paA p

10、a ，這里A和。(1)利用此式ko為常數(shù)，p取所有整數(shù)。這種形式的力常數(shù)主要出 現(xiàn)在電子一聲子相互作用很強的金屬中 和晶格振動方程證明，聲子色散關系為2(q) t p(1 cosqpa)M p o 計算2(qV q的表達式。證明當qko時，2(q)J q為無窮大，并討論 2(q)的變化情況。 解: ( 1)設第n個原子面對平衡位置的位移為 Xn，第n+p和n-p個原子面位移為xn p和xn p，則第n+p和第n-p個原子面對第n個原子面的作用力可以寫成pp(Xn p Xn)p (XnXn p )p(Xnp2Xn pXn)晶體中每個原子面對第n個原子面都有相互作用力，所以第n個原子面的運動方程為

11、mX&p(Xn p2Xn p Xn)試探解為Xn Aei(t 2 naq)代入到運動方程中得到2/ i 2 paqmp(ep 0i 2 paq e2)= p(2cos(2p 0paq) 2)故格波的色散關系為cos(2paq)pSin2( paq)若面間力常數(shù)取A譽的形式，代入色散關系2(q)p(1cosqpa)中得到2(q)2(q) q2Asin k0 pa?sin pqa02 sin k0 pa兀0八"(1 C0SqPa)當q k0時，2(q)/ q2Asin2 k0pai右邊級數(shù)發(fā)散，即2(q)q這說明聲子色散關系2（q）或（q）曲線在qk°處的斜率出現(xiàn)了垂直

12、的正切變化，即聲子色散關系曲線在ko處有扭折（kink）。這種情況稱為Kohn反常。有關的效應 W.Kohn在文獻Phys. Rev. Letters 2 （1959）393中曾作過預言。在某些 金屬（如Pb,AI等）中已經(jīng)觀察到這種效應。 （q）的 精確的中子測量實驗中清楚地看到奇異點的存在。補充習題1.考慮一維單原子鏈，原子的質量為m,原子的間距 為a。計及所有原子間的長程作用，且最近鄰原子間 的恢復常數(shù)為1，次近鄰以下各原子間的恢復力常數(shù) 依次為2，3，L L，求原子鏈格波的色散關系。解 設第n個原子對平衡位置的位移為 xn，第n+p和n-p個 原子位移為xn p和xn p，則第n+p和

13、第n-p個原子對第n 個原子的作用力可以寫成pp(XnpXn)p(XnXnp)p(Xnp2Xnp Xn)鏈上每個原子對第n個原子都有相互作用力， 所以第n個原 子的運動方程為mxnfpp 0p (xn2xn pXn)試探解為xn Aei( t 2 naq)代入到運動方程中得到i2p(epaqi 2 paq e2)= p(2cos(2 paq) 2)p 0故格波的色散關系為4p(1 cos(2 paq) mpSin2( paq)2.已知金剛石的彈性摸量為1012N/m2 ,密度為3.5g/cm2，試求金剛石的德拜溫度d。解：d之間的振動模式數(shù)為2d按照德拜模型，頻率在g( )d3V2 2v3引入德拜溫度 D 亍 由下列積分（德拜假定，格波的總kB個