一元二次方程常見解法論文

1、一元二次方程常見解法探析摘 要 一元二次方程作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其在初 中代數(shù)中的地位不言而喻。在一元二次方程的學(xué)習(xí)過程中，關(guān)鍵在 于其基本解法。本文著重研究了一元二次方程的多種常見解法，并 在此基礎(chǔ)上分析各解法的特點及具體適用性，力求幫助學(xué)生更有效 率的解答一元二次方程。關(guān)鍵詞 一元二次方程 解法 探析一、一元二次方程解法教學(xué)的重要性一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其在數(shù)學(xué)和實際生活中 的運用不勝枚舉，且在中考中占據(jù)大量分值。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的 不斷深入，一元二次方程更多的是以解題工具的形式出現(xiàn)，如在應(yīng) 用題、取值題等題型中的運用。因此，一元二次方程的解往往成為 判定解題準(zhǔn)確與否關(guān)

2、鍵。由此可見，既快又準(zhǔn)的解一元二次方程在 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。鑒于此，本文就一元二次方程的幾種常見解 法進行分析，力圖建立特定的解方程思維模式，以幫助學(xué)生提高解 決此類題之效率。二、一元二次方程解法分析一元二次方程的重點與關(guān)鍵在于其解法。常用的解法主要有： 因式分解法、配方法、直接開方法和公式法。為更直觀展現(xiàn)解法特 點，本文選取本分題型加以歸類分析：（一）直接開方法適用此法的方程多以 x2=p 或（ ax+b）2=p的形式出現(xiàn)。觀察此類方程特征發(fā)現(xiàn)，其中一次項系數(shù)為 0。例 7. 解方程 x2=225例 8. （ x+3）2=9直接開方得 x1=15， x2= -15直接開方得 x+3=

3、77;3x1= 0 ， x2= -6該方法較為簡單，僅能決部分一元二次方程。且在考試中多出 現(xiàn)在解題的某一環(huán)節(jié)中，而較少單獨作為大題來命題。二）因式分解法因式分解法是運用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特 點在于分解后的因式中至少一個為零。具體原則： （1）將方程式右邊化為 0，且始終為 0；（2）將等式左邊盡可能化簡成為兩個因式的成績；（3）令各因式結(jié)果為0；（4）解化簡后的多個因式。因式分解法具體包括：提公因式法、公式法、十字相乘法。1. 提公因式法。特有模式：ax2+bx=0（其中 a，b 為系數(shù)），此方法的特點在于等式右邊值為0，等式左邊存在公因式。例 1. 解方程 5x2+15x

4、=0例 2. 解方程（ 2x+3（2=4x+6因式分解得： 5x（x+3） =0移項得（2x+3）2-2（2x+3）=0x1=0， x2= -3因式分解得（ 2x+3）2x+3-2)=0x1= -3/2 ， x2= -1/2例 1 是提取公因式法較為直接的使用。但在考試中，例 2 更為常見。通過例 2 可知，在使用提取公因式法時，不能僅限于觀察未知項，需從整體進行分析2.公式法。直接利用常見公式解方程求根的方法。在此法中較 為常見的公式有平方差公式和完全平方公式。具體表現(xiàn)形式如下：（1）平方差：（a2-b2）=（a+b）（a-b ）；（2）完全平方：（a±b） 2=a2±2

5、ab+b2。此方法特點在于已知方程與上述公式形式一致。例 3. 解方程 4x2-9=0 例 4. 解方程9x2+6x+1=0因式分解得（ 2x-3 ）（2x+3）=0因式分解得（3x+1）2=0x1= -3/2 ， x2=3/2x= -1/3公式法的使用可以大幅提高解題速度，但其關(guān)鍵在于必須熟記 平方差和完全平方公式。3、十字相乘法。十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于 常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)。特有模式： x2+（ a+b） x+ab=0。通常在方程既有常數(shù)項，又無上述公式可使用時，慣用此 法。該法可以快速的解出跟，提高學(xué)生自信心。例 5. 解方程 3x2+11x+10=0

6、例 6. 解方程 3x2-x-10=0分析：x 2 分析： x-23x 5 3x6x+5x=11x-6x+5x= -x因式分解得（ x+2）（3x+5）=0因式分解得（ x-2 ）（3x+5）=0x1= -2 ， x2= -5/3x1=2，x2= -5/3使用十字相乘法的關(guān)鍵在于兩點： （1）在運算過程中，務(wù)必注 意系數(shù)項的符號；（2）當(dāng)首項系數(shù)不為 1 時，需多次試驗。通過上述分析可知，使用因式分解法有一定的局限性，僅限于 解部分有特定關(guān)系的一元二次方程。（三）配方法配方法是將已知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次 方程的通法。究其根本即是將一元二次方程化為 x2=p 來加以解答例 9

7、.x2+10x+9=0 移項得 x2+10x= -9/2+1/2=0配方得 x2+10x+25=-9+25-1/2+9/16即（ x+5） 2+16直接開方得 x+5=±41/4即 x1= -1 ， x2= -9例 10.2x2+3x+1=0化首項系數(shù)為 1得 x2+3 x配方得 x2+3x/2+9/16=即（ x+3/4 ）2=1/16 直接開方得 x+3/4= ±即 x1= -1/2 ，x2= -1通過例題 9和例題 10 對比發(fā)現(xiàn)，雖配方法可解任何一元二次方 程，但當(dāng)已知方程二次項系數(shù)為 1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，該方法 的使用可大幅減少計算量。而當(dāng)二次項系數(shù)不為 1，

8、或一次項系數(shù) 不為偶數(shù)時，使用該方法計算量將增大。如在做題過程中遇到二次 項系數(shù)不為 1 時，首先需將其系數(shù)轉(zhuǎn)化為 1，然后再用配方法計算。 總結(jié)配方法口訣：“二次系數(shù)化為一，常數(shù)要往右邊移，一次系數(shù) 一半方，兩邊加減最相當(dāng)（四）公式法 此公式法與分解因式法中提及的公式法略有差異。該公式法是 用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。 其可解任何 ax2+bx+c=0 （a0）的方程。其步驟有：（1）將已知方程化為一元二次方程的 一般形式；（2）分別確定 a、b、c 的值；（3）求出 b2-4ac 的值；（ 4） 當(dāng) b2-4ac 0 時，將其帶入原方程式，求出兩根；當(dāng) b2-4ac0x1= -2

9、/3 ，x2=12、當(dāng) ax2+bx+c=0（a 0）的各項系數(shù)均為無理數(shù)，且較難使用 因式分解法和配方法時，可使用該法。例 12. 解方程 x2-5x+4=0例 13. 解方程 x2-x+4=0確定各項系數(shù)： a=1，b=-5，c=4 確定各項系數(shù)： a=1，b=-1 ， c=4=b2-4ac=25-4 × 1×4=9>0 =b2-4ac=1-4 × 1×4=-150 時， 一元二次方程有兩個不同的根；當(dāng) b2-4ac=0 時，一元二次方程 的兩根相等；當(dāng) b2-4ac<0 時，一元二次方程無解。此方法較配 方法具有更廣闊的適用性，其在使用過程中省略了配方的過程，且有效彌補了在使用配方法解決二次項系數(shù)不為 1 時所存在的不足。三、總結(jié)綜上所述，在解一元二次方程時，要善于觀察已知方程的特點。 同一方程有時可使用兩種或兩種以上不同方法解答。因而在方法選 擇上，要遵循由易到難的順序。即在遇到解一元二次方程題型時， 首先觀察該題是否可采用直接開方法解答，如若不行則依次考慮提 取公因式法、配方法、公式法。總之解法之選必為最簡單、快捷、 準(zhǔn)確之道。參考文獻：1 唐宗康 .一元二次方程幾種常見解法的選擇之我見 j. 教育 研究.2010 （ 2）2 孫致義 .對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點思考