概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題3詳解

1、一、第三章習(xí)題詳解：3.1設(shè)二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)為:求.解：因?yàn)?，所以 3.2 盒中裝有3個(gè)黑球, 2個(gè)白球. 現(xiàn)從中任取4個(gè)球, 用X表示取到的黑球的個(gè)數(shù), 用Y表示取到的白球的個(gè)數(shù), 求(X , Y ) 的概率分布.解：因?yàn)閄 + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值為(2,2),(3,1)且 ， ，故(X,Y)的概率分布為XY12200.630.403.3 將一枚均勻的硬幣拋擲3次, 用X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù), 用Y表示3次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因?yàn)?，又X的可能取值為0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值為(0,3),(1

2、,1), (2,1),(3,3)且 ， ，故(X,Y)的概率分布為XY13001/813/8023/80301/83.4設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為: (1) 確定常數(shù);(2) 求(3) 求,這里是由這三條直線所圍成的三角形區(qū)域.解：(1)因?yàn)橛?，得9a=1，故a=1/9.(2) (3) 3.5 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為:(1) 求分布函數(shù);(2) 求解：(1) 求分布函數(shù); 當(dāng)，其他情形，由于=0，顯然有=0。綜合起來(lái)，有(2) 求 3.6 向一個(gè)無(wú)限平面靶射擊, 設(shè)命中點(diǎn)的概率密度函數(shù)為求命中點(diǎn)與靶心(坐標(biāo)原點(diǎn)) 的距離不超過(guò)a 的概率.解： 3.7設(shè)二維隨機(jī)向量的概率分布如下表

3、所示, 求X 和Y 的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因?yàn)?所以，X的邊緣分布為X13P0.750.25因?yàn)?所以，Y的邊緣分布為Y025P0.200.430.373.8 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為 又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.9 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解，積分區(qū)域顯然為三角形區(qū)域，當(dāng)時(shí)，因此；其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為同理，當(dāng)時(shí)，因此其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.10 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函

4、數(shù)為(1)確定常數(shù)c的值. (2)求邊緣概率密度.解：(1)因?yàn)?所以 c = 6.(2) 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，X的邊緣分布密度為 又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，Y的邊緣分布密度為3.11 求習(xí)題3.7 中的條件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)當(dāng)X=1時(shí)，Y的條件分布為 即 Y025P1/51/37/15(2)當(dāng)X=3時(shí)，Y的條件分布為 即 Y025P1/518/252/25(3)當(dāng)Y=0時(shí)，X的條件分布為 即X13P3/41/4(4)當(dāng)Y=2時(shí)，X的條件分布為 即X13P0.5810.419(5)當(dāng)Y=5時(shí)，X的條件分布為

5、 即X13P0.9460.0543.12 設(shè) X 在區(qū)間(0,1) 上隨機(jī)地取值, 當(dāng)觀察到X = x(0 x 0,y0，都有 ,所以，X與Y是相互獨(dú)立的.3.18 設(shè)二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)為討論的獨(dú)立性.解：因?yàn)?由于 所以，X與Y是相互獨(dú)立的。3.19 設(shè)X 與Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 并且均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布, 求X+Y的概率密度函數(shù).解：由于X 與Y均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布，故X 與Y的邊緣密度函數(shù)分別為：，記,由于X 與Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,根據(jù)書(shū)中72頁(yè)（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫(xiě)為當(dāng)時(shí),若，則；若或，被積函數(shù)為0，此時(shí)顯然有.當(dāng)

6、時(shí)，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時(shí)顯然有；的其他情形,顯然有=0. 綜合起來(lái)，有此題也可以用先求分布函數(shù)然后再求導(dǎo)的方法來(lái)解,需要注意的一點(diǎn)是, 當(dāng)時(shí)，積分區(qū)域要分成兩個(gè)部分.3.20 設(shè)X 與Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 概率密度函數(shù)分別為求的概率密度函數(shù).解：記,由于X 與Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,根據(jù)書(shū)中72頁(yè)（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫(xiě)為，于是有3.21 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求的概率密度函數(shù).解: 根據(jù)書(shū)中72頁(yè)（3.7.1）式,的概率密度函數(shù)可以寫(xiě)為當(dāng)時(shí),若，則，若或，被積函數(shù)為0，此時(shí)顯然有；當(dāng)時(shí)，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時(shí)顯然有；的其他情形,顯然

7、有.綜合起來(lái)，有3.22 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,并且與相互獨(dú)立,求的概率密度函數(shù).解：由于所以分布函數(shù)為由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以分布函數(shù)為 與相互獨(dú)立，故的分布函數(shù)為對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)以后得的密度函數(shù) 3.23 設(shè)隨機(jī)變量,并且與相互獨(dú)立,求的概率密度函數(shù).解：由于所以分布函數(shù)為由于，所以分布函數(shù)為 與相互獨(dú)立，故的分布函數(shù)為對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)以后得的密度函數(shù) 3.24 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,并且都服從正態(tài)分布,求的概率密度函數(shù).解：由于相互獨(dú)立,根據(jù)P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函數(shù)為： 其中，3.25 對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5 次, 得到觀察值.設(shè)它們是相互獨(dú)立的

8、隨機(jī)變量, 且有相同的概率密度函數(shù), 求的分布函數(shù).解：由題意，的分布函數(shù)為：又由于，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 根據(jù)書(shū)中77頁(yè)（3.8.6）式, 的分布函數(shù)為： 3.26 設(shè)電子元件的壽命X(單位: 小時(shí)) 的概率密度函數(shù)為今測(cè)試 6 個(gè)元件, 并記錄下它們各自的失效時(shí)間. 求(1) 到 800 小時(shí)時(shí)沒(méi)有一個(gè)元件失效的概率;(2) 到 3000 小時(shí)時(shí)所有元件都失效的概率.解：電子元件的壽命X(單位: 小時(shí)) 的分布函數(shù)為：(1) 一個(gè)元件使用到 800 小時(shí)時(shí)沒(méi)有一個(gè)失效的概率為=，由于6 個(gè)元件顯然彼此獨(dú)立，因此，到 800 小時(shí)時(shí)沒(méi)有一個(gè)元件失效的概率為二、第三章定義、定理、公式、公理小

9、結(jié)及補(bǔ)充：（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?，則稱(chēng)為離散型隨機(jī)向量。設(shè)=的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱(chēng)為=的分布律或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|axb,cyd有則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱(chēng)為=的分布密度或稱(chēng)為的聯(lián)合分布密度。分布密度具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） 0;（2）

10、 （2） 二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3） 聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù),二元函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）分別對(duì)和是非減的，即當(dāng)時(shí)，有;當(dāng)時(shí)，有;（3）分別對(duì)和是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y

11、的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱(chēng)（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）

12、U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱(chēng)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱(chēng)隨機(jī)變量W服從