初中奧林匹克數(shù)學(xué)競賽知識點總結(jié)及訓(xùn)練題目-銳角三角函數(shù)

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義-銳角三角函數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國數(shù)學(xué)家為了測量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論： 在兩個大小不同的直角三角形中，只要有一個銳角相等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式.三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)：1 單調(diào)性；2互余三角函數(shù)間的關(guān)系；3同角三角函數(shù)間的關(guān)系.平方關(guān)系：sin2 a +cos2 a =1 ；商數(shù)關(guān)系：tg a = si , ctg a =

2、co ；cossin倒數(shù)關(guān)系：tg a ctg a =1 【例題求解】5【例1】 已知在 ABC中，/ A、/ B是銳角，且 si nA =, tan B=2 , AB=29cm ,13貝 UABC =思路點撥 過C作CD丄AB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA= CDAC6CDtan B=CD 2，設(shè) CD=5m , AC = 13m, CD = 2n, BD = n,解題的關(guān)鍵是求出 m、n 的值. BD注：設(shè) ABC中，a、b、c為/ A、/ B、/ C的對邊，R ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論:(1)Sabc = bcsin A2acsin

3、B21absin C -(2)asin Absin Bcsin C2R 【例 2如圖，在 ABC 中./ ACB = 90,/ ABC = 15, BC=1，貝U AC=(A 2.3 B. 2- 3 C. 0.3 D 一 32思路點撥由15 構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化.注：（1 ）求（已知）非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形.（2）求（已知）銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)線段比，有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換.【例3】 如圖，已知 ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90,過BC的中點D作DE丄AB 于 E,連結(jié) CE，求 sin/ ACE 的值.思路點撥作垂線把/

4、ACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比.【例4】 如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos / DAC , 求證：AC = BD ;1213若sinC=上,BC=12，求AD的長.思路點撥 把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，禾U用比例線段證明;13 ACAD=12 k , AC = 13k .，引入?yún)?shù)可設(shè) AD=12 k , AC = 13k .【例5】 已知：在 Rt ABC中，/ C=90 , si nA、si nB是方程x2 px q 0的兩個根.（1）求實數(shù)p、q應(yīng)滿足的條件；若p、q滿足 的條件，方程x2 px q 0的兩個根是否等于 Rt ABC中兩銳角A

5、、B 的正弦？思路點撥由韋達定理、三角函數(shù)關(guān)系建立 p、q等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù)p、q應(yīng)滿足的條件.學(xué)歷訓(xùn)練1 .已知a為銳角，下列結(jié)論 sin a +cos a =l ；如果a 45 ,那么sin a COs a；如果 cos a 1 ，那么 a 60;(sin a-1)21 sin.正確的有252.如圖，在菱形ABCD中，AE丄BC于E, BC=1 , cosB ,則這個菱形的面積為133.如圖，/I C=90 ，/ DBC=30 ,AB = BD，利用此圖可求得 tan75A L打JTJ /_ 二CABC4.化簡f第 2第3題）(

6、1) .tan2 27 tan2 632 =（2）sin2l +sin22 + +sin288 +sin289 =.5.身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽.三人放出風(fēng)箏線長、線與地面夾角如下 表（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則三人所放的風(fēng)箏中（）A .甲的最高B .丙的最高C .乙的最低 D .丙的最低學(xué)甲兩JUO90線與地W 4亍606.已知sin a cos a :1 =,且 0 a45 則 co(x -sin a的值為（)8.333A.B .C. 一D .22447.如圖，在厶ABC中,/ C= 90,/ ABC =30,D是AC的中點，貝U ctg/ DBC的值是（)A.3B .2.3

7、c .-D.241&如圖，在等腰 Rt ABC 中./ C= 90 , AC = 6, D 是 AC 上一點，若 tan/ DBA=,5則AD的長為()29.已知關(guān)于x的方程4xA. .2B. 2C. 1D. 2. 22（ m 1）x m 0的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦,值.310.如圖，D 是厶 ABC 的邊 AC 上的一點，CD=2AD , AE 丄BC 于 E,若 BD = 8, sin/ CBD=,4求AE的長.11 .若 0 a 45，且 sin a con a =，貝V sin a =.12. 已知關(guān)于x的方程3x2 4x sin 2(1 cos )0有兩個不相等的實數(shù)根，a

8、為銳角，那么a的取值范圍是 .13. 已知是厶 ABC 的三邊，a、b、c滿足等式(2b)24(c a)(c a)，且有5a 3c 0,則sin A+si nB+s inC14 .設(shè)a為銳角，1A .-6的值為_且滿足1B .5sin a =3cos a,C .-915 .如圖，若兩條寬度為( )的帶子相交成貝y sin a cos a 等于()D . 21030的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是D.-A . 2 B . C . 2帰16題)則AB的長是()1316 .如圖，在 ABC 中，/ A = 30 , tanB= , AC= 2 3 ,9D .-22又方程2x(10sinA)x

9、 5sin A 0的兩實17 .己在 ABC中，a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊，且 c= 5. 3，若關(guān)于x的方程 (5 .3 b)x2 2ax (5 .3 b) 0有兩個相等的實根,根的平方和為6，求 ABC的面積.18 .如圖，已知 AB=CD=1，/ ABC = 90。，/ CBD =30 ,求 AC 的長.19 .設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷 an bn與cn的關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.20 .如圖，已知邊長為 2的正三角形 ABC沿直線I滾動.(1)當厶ABC滾動一周到 A 1B1C1的位置，此時A點所運動的路程為 ，約為 (精確到 0.1

10、,n =3.14)設(shè) ABC滾動240 , C點的位置為C /, ABC滾動480時，A點的位置在 A ,請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(a + 3 )=(tan a +tan 3 )* (1-tanatan B ),求出/CAC / +Z CAA /的度數(shù).參考答案【例題求解】割EA-號=尋)ft, ii/AC Cty = 0由此i*特Q 體 F飭刖 “M 氓矯得IX 0*fiO*13. y.FhffWZC=WJoJ1.4- Il lazier= 3IS. A 陰峯部份圧芟殆1. c17. Lb A-UaP Syr+*）（3/3齡.博屮屮護i=75.上亡疋馳+由書達室I?再xinfgnA-會古）靈“V出yrii=18r*過 f-FCTAR 曳 ED 于 ErftAC=,JV CB-心 一 1 I 當zr| 屆 /