數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.概念與公式：等差數(shù)列：1。.定義：若數(shù)列an滿足ay-an =d(常數(shù))，則an稱等差數(shù)列；2° .通項(xiàng)公式：an = a1 +(n-1)d = ak+(n-k)d;、,n(a1 an)n(n -1)3。.前n項(xiàng)和公式：公式：Sn =U = nai+_()d.22a等比數(shù)列：1 .te乂右數(shù)列an滿足上 =q (常數(shù))，則an稱等比數(shù)列；2a n通項(xiàng)公式： an =a1qnJ1 =akqnA ；3° .前 n 項(xiàng)和公式： Sn 二史一anq = a1(1一q(q#1),1 一q1 q當(dāng) q=1 時(shí) Sn = na1.2.簡單性質(zhì)：首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列an ：

2、a1,a2,a3,，an,1 .若an是等差數(shù)列，則 a1 +an a2 +ana3 +an_2 ;2° .若an是等比數(shù)列，則 a an = a? ana3 'an_2 .中項(xiàng)及性質(zhì)：,， 八一，- A a b1。.設(shè)a, A, b成等差數(shù)列，則 A稱a、b的等差中項(xiàng)，且 A =;22。.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則 G稱a、b的等比中項(xiàng)，且 G =±v ab.設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且 p+q = r+s,1； 若an是等差數(shù)列，則ap+aq = a+as；2 .若an是等比數(shù)列，則ap aq =a凡；順次n項(xiàng)和性質(zhì)：見習(xí)題冊(cè) page28復(fù)習(xí)題B組第2題：n2

3、n3n1 。.若an是公差為d的等差數(shù)列，則£ ak,£ ak, Z ak組成公差為n2d的等差數(shù) k dk zn 1k =2n 1列；n2n3n2 .若an是公差為q的等比數(shù)列，則£ ak, Z ak, Z ak組成公差為qn的等比數(shù) k 1kH_1kRn1列.(注意：當(dāng)q=-1, n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立)若an是等比數(shù)列，2則順次n項(xiàng)的乘積：aa2an, an.蟲a2n ,a2n 4 a2n卡a3n組成公比這qn的等比 數(shù)列.學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)用基本公式，注意公差dwo的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng) n的一次函數(shù)an=an+b;公差dw0的等差

4、數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式項(xiàng)數(shù)n的沒 有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù) Sn=an2+bn;公比qw 1的等比數(shù)列的前 n項(xiàng)公式可以寫成"Sn=a(1-qn) 的形式；諸如上述這些理解對(duì)學(xué)習(xí)是很有幫助的3 .解決等差、等比數(shù)列問題要靈活運(yùn)用一些簡單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡單、明確， 絕對(duì)不能用課外的需要證明的性質(zhì)解題.4 .巧設(shè)“公差、公比”是解決問題的一種重要方法，例如：三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為"a,a+m,a+2m (或a-m,a,a+m )”三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為"a,aq,aq2(或a ,qa,aq)"四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為5 a, a +m,a +2m,

5、 a +3m(或 a -3m, a - m,a + m,a +3m); " 四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為"a,aq,aq2,aq3(或 a，士旦，aq,±aq3), " 等等； q q例題：三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,又成等比數(shù)列，求原來的三數(shù).解析設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等比數(shù)列的三項(xiàng)更簡單，設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為 a-d, a, a+d,則有2, 22 2_(a d)(a+d +32) =a d +32d32a = 0(a -4)2 =(a -d)(a +d)3a =16 + d22-826=3d -

6、 32d + 64 = 0,二. d = 8或 d = 一 /4 a = 10或一， 39，原三數(shù)為2,10,50或2空強(qiáng).9 99(n)有四個(gè)正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,這四個(gè)數(shù)的平方和等于一個(gè)偶數(shù)的平方,求此四數(shù).解析設(shè)此四數(shù)為 a-15,a 5,a +5,a +15(a >15),22222(a -152) (a -5)2 (a 5)2 (a 15)2 =(2m)2(m N )2 2,=4a 500 = 4m = (m - a)(m a) = 125,125=1 125 -5 25,: m -a與m +a均為正整數(shù)，且m - a < m + a,廣fm a=1 ma = 2

7、、m + a = 125、m + a = 25解得a =62或a =12(不合)，二所求四數(shù)為47, 57, 67, 77復(fù)習(xí)試卷一、選擇題1 、 如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列 ()(A)為常數(shù)數(shù)列(B)為非零的常數(shù)數(shù)列(C)存在且唯一(D)不存在2 .、在等差數(shù)列an中，a1= 4，且a1,a5,a13成等比數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式為()(A)an=3n+1(B)an=n+3(C)an=3n+1或an=4(D)an = n+3或 an =4 一 a c3、已知a, b, c成等比數(shù)列，且x, y分別為a與b、b與c的等差中項(xiàng)，則一 十 一的值為 x y()1(A)(B) -

8、2(C) 2(D)不確定22. 24、互不相等的三個(gè)正數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，x是a,b的等比中項(xiàng)，y是b,c的等比中項(xiàng)，那么 x , b ,2y三個(gè)數(shù)()(A)成等差數(shù)列不成等比數(shù)列(C)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列(B)成等比數(shù)列不成等差數(shù)列(D)既不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列5、已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn , S2n由=4n2 + 2n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ()一 .- n -1, 一 .2(A)an=2n-2(B)an=8n-2(c)an=2(D)an=n-n26、已知(zx) = 4(x y)( y z),則 ()一.111,、1 1 1(A) x,y,z成等差數(shù)列(B) x,y

9、,z成等比數(shù)列(C) 一，一，一成AP (D) ，一，一成GP''xyzxyz7、數(shù)列an 的前n項(xiàng)和Sn = an - 1 ,則關(guān)于數(shù)列an的下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有()一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列(A) 4(B) 3(C) 2(D) 111118、數(shù)列1 ,3 ,5 ,7 ，前n項(xiàng)和為2 4 8 16(A) n22n2+ 1(B)n2n 12(C)2n(D) n2_ n - tn?n 19、若兩個(gè)等差數(shù)列 fen> bn的前n項(xiàng)和分別

10、為An、Bn ，且滿足An4n 2a5 . a13,貝 u _513值為,8(B)719(C)20,7 (D) 810、已知數(shù)An 的前項(xiàng)和為SnBn5n -5b5bi35n+2，則數(shù)列Qn )前10項(xiàng)和(A) 56(B) 58(C) 62(D) 6011、已知數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an=n+5為，從Gn 中依次取出第3,9,27, 項(xiàng)，按原來的順(A) n(3n +13)(B) 3n +5(C)3n 10n -3(D)3n 110n -312下列命題中是真命題的是A.數(shù)列 右口 是等差數(shù)列的充要條件是b.已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn = an2 +bn + a，如果此數(shù)列是等差數(shù)列，那么此

11、數(shù)列也是等比數(shù)列C.數(shù)列an 是等比數(shù)列的充要條件 an = abn/D.如果一個(gè)數(shù)列an卜勺前n項(xiàng)和Sn =abn+c(a/0,b¥0,b#1),則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是a , c = 0二、填空題13、各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列&nL公比q #1 a5,a7,a8,成等差數(shù)列，則公比 q=14、已知等差數(shù)列an)，公差d #0,a1,a5,a17成等比數(shù)列，則 a1 *a5 +a17 =a2 a6 ' a1815、已知數(shù)列aj滿足Sn =1+1an,則an=416、在2和30之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的這兩個(gè)數(shù)的等 比中項(xiàng)

12、為二、解答題17、已知數(shù)列an 是公差d不為零的等差數(shù)列，數(shù)列abn )是公比為q的等比數(shù)列，b1 =l,b2 =10,b3 =46 ,求公比 q 及bn18、已知等差數(shù)列an的公差與等比數(shù)列 &n的公比相等，且都等于 d (d >0,d #1) ,a1 =D ,a3 =3b3，a5 =5b5，an,bno19、有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為36,求這四個(gè)數(shù)。22020、已知an為等比數(shù)列，a3=2,a2 +a4 =，求an的通項(xiàng)式。321、數(shù)列an的前 n項(xiàng)和記為 Sn,a =1,an+ = 2Sn+1(n1)(I)求an )的通項(xiàng)公式；(口)等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn,且T3 =15 ,又a1+n,a2+0 ,S3 +b成等比數(shù)列，求Tn22、已知數(shù)列 以滿足a =14書=