2016-2017學(xué)年上海市上外附中高一上期末

1、2016-2017 學(xué)年上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1（3分）已知集合 A=1，t，2t，B=1，t2，若B?A，則實(shí)數(shù) t= 2（3 分）不等式的解集是 3（ 3 分）函數(shù)的定義域?yàn)?4（3 分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 5（3 分）下列四個(gè)函數(shù)中偶函數(shù)的序號(hào)為f（x）=x2+x26（3 分）函數(shù)的值域 7（3分）拋物線形拱橋，橋頂離水面 2米時(shí)，水面寬 4米，當(dāng)水面下降了 1.125 米時(shí)，水面寬為 8（3 分）若，則 x2+y2的取值范圍是9（3分）若 2x+2y=5，則 2x+2y的最小值為10（3分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?R+，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x，y都有

2、 f（x+y）=f（x） +f（ y），若 f（ 8） =3，則= 11（3 分）函數(shù) y=f（ x）是定義在 R上的增函數(shù)， y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1）和點(diǎn) B時(shí)，能確定不等式 |f（x+1）|<1的解集恰好為 x|1<x<2，則 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為12（3 分）已知函數(shù) f（x）=ax2+bx+c（a0），設(shè)函數(shù) y= f（x） 2+p?f（x）+q 的零點(diǎn)所組成的集合為 A，則以下集合不可能是 A 集合的序號(hào)為 2，3，8 4，1，0，2 1，3，5，7二、選擇題（每題滿分 16 分，滿分 16 分）13（4 分）關(guān)于冪函數(shù) y=xk及其圖象，有下列四個(gè)命

3、題： 其圖象一定不通過(guò)第四象限； 當(dāng) k<0 時(shí)，其圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱(chēng)； 當(dāng) k>0 時(shí)，函數(shù) y=xk是增函數(shù)； y=xk的圖象與 y=x k 的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）A0 個(gè) B1 個(gè) C2 個(gè) D3 個(gè)14（4分）若a，bR且ab0，則成立的一個(gè)充分非必要條件是 （ ）Aa>b>0 Bb>a Ca<b<0 Dab（ a b）< 015（4 分）若存在實(shí)數(shù) a，使得函數(shù)在（ 0，）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）Aa<0 Ba 1 C 2a 1 D2a<016（4 分）用計(jì)算器演算函數(shù) y=f

4、（x）=xx，x（0，1）的若干值，可以猜想下 列命題中真命題只能是（ ）Ay=f（x）在區(qū)間（ 0 ，0.4）上遞減 By=f（ x）在區(qū)間（ 0.35，1）上遞減Cy=f（x）的最小值為 f（0.4） Dy=f（x）在（ 0.3，0.4）上有最小值三、解答題（滿分為 48 分）x 0 時(shí)， f （x）=x2x；17（8 分）已知 f（x）是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng)1）求函數(shù) f（ x）的解析式；2）求不等式 f（x）0 的解集18（8分）關(guān)于 x 的不等式組的解集為 A，若集合 A中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍19（ 8 分）為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無(wú)色玻璃的密封

5、保護(hù)罩 內(nèi)充入保護(hù)氣體 假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成： 罩內(nèi)該種氣體 的體積比保護(hù)罩的容積少 0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用 1 千元；需支付一 定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為 2 立方米時(shí)， 支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為 8 千元（1）求博物館支付總費(fèi)用 y 與保護(hù)罩容積 V 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求博物館支付總費(fèi)用的最小值20（10 分）已知函數(shù)（1）若 f（x）2x 在（1，+）上恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；（2）若函數(shù) y=f（x）在m，n上的值域是 m，n，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 21（14 分）已知定義在（ 0，+）上的函數(shù) f（x）滿足下列條件： f

6、（x）不 恒為 0；對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x 和任意的實(shí)數(shù) y都有 f（xy）=y?f（x）（1）求證：方程 f（x）=0 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)a為大于 1的常數(shù)，且f（a）0，試判斷 f（x）的單調(diào)性，并予以證明；（3）若 abc1，且 2b=a+c，求證： f（a）?f（c） f（b） 22016-2017 學(xué)年上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1（3分）已知集合 A=1，t，2t，B=1，t2，若B? A，則實(shí)數(shù) t= 2 【解答】解：集合 A=1，t，2t，B=1，t2，若B? A，可知 t2=t或t2=2t t=2（t=0或 1舍去）故

7、答案為： 22（3 分）不等式的解集是解答】解：由則（3x2）（53x）0，即（ 3x2）（3x5）0，解得 ，所以不等式的解集是故答案為：解答】解：3（3 分）函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)80，可化為 213x23，即 1 3x 3，解得 x ， f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?故答案為：（， 4（3 分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 2，2【解答】 解：令 g（ x） = x2+4x+12=（ x 2） 2+16， 令 g（x） 0，解得： 2x6，而 g（ x）的對(duì)稱(chēng)軸是： x=2， 故g（x）在2，2）遞增，在（ 2，6遞減， 故函數(shù) f（x）在 2，2 遞增， 故答案為： 2，2 5（3 分）下列四個(gè)函數(shù)中偶

8、函數(shù)的序號(hào)為 f（x）=x2+x2【解答】 解：函數(shù) f （x）的定義域是 R， 因?yàn)?f（x），所以函數(shù) f（ x）是偶函數(shù)， 函數(shù) f（x）的定義域是 x| x0，因?yàn)?f（x），所以函數(shù) f （x）是奇函數(shù)， 由得1x1，則 f（x）的定義域是 1，1，因?yàn)? f（x），所以函數(shù) f（x）是奇函數(shù)，函數(shù) f（x）的定義域是 x| x0，因?yàn)?f（x）=（x）2+（ x）2=x2+x2=f（x），所以函數(shù) f（x）是偶函數(shù)， 綜上得，是偶函數(shù)的序號(hào)，故答案為：6（ 3 分）函數(shù)的值域 （， 1【解答】 解：由 12x0 解得， x ，此函數(shù)的定義域是（，令 t= ，則 x=，且 t 0，代

9、入原函數(shù)得，y=+t= t2+t+ = （t 1）2+1，t0， （t 1）20，則 y1，原函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?1 故答案為：（， 1 7（3分）拋物線形拱橋，橋頂離水面 2米時(shí)，水面寬 4米，當(dāng)水面下降了 1.125 米時(shí)，水面寬為 5m 【解答】 解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x2=my， 將 A（ 2， 2）代入 x2=my，得 m= 2x2=2y，代入 D（x0， 3.125）得 x0=2.5， 故水面寬為 5m8（3分）若，則 x2+y2的取值范圍是 1， 【解答】 解：由題意：， ，設(shè) x=cos 2， y=2sin ， 那么：x2+y2=（cos2）2+4sin2=co

10、2s4cos+4+4sin2=co2s4cos+84cos2=，當(dāng)時(shí)， x2+y2 取值最大值為 當(dāng) cos=1時(shí)， x2+y2 取值最小值為 1則 x2+y2的取值范圍是 1， 故答案為： 1， 9（3 分）若 2x+2y=5，則 2x+2y的最小值為解答】 解：若 2x+2y=5，則 25，y=5×=，當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)“=成”立，故 2x+y 則 2 x+2故答案為：10（3分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?R+，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x，y都有 f（x+y）=f（x） +f（ y），若 f（ 8） =3，則= 【解答】 解：函數(shù)的定義域?yàn)?R+，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x，y 都有 f（ x+

11、y）=f（ x） +f（y），f（2）=2f（1），f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，f（1）=，f（2）=2f（1）=，f（ ）= f（ ） =f（2）+f（ ）故答案為：11（3 分）函數(shù) y=f（ x）是定義在 R上的增函數(shù)， y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 1）和點(diǎn) B時(shí)，能確定不等式 |f（x+1）|<1的解集恰好為 x|1<x<2，則 第7頁(yè)（共 14頁(yè)）點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （3， 1） 【解答】 解：由題意不等式 | f（x+1）| <1的解集為 x| 1<x<2即 1<f（ x+1）< 1 的解集為 x|1&l

12、t;x<2 又已知函數(shù) y=f（x）是定義在 R 上的增函數(shù)故設(shè) t=x+1，根據(jù)單調(diào)性可以分析得到值域?yàn)椋?1， 1）所對(duì)應(yīng)的定義域?yàn)椋?0，3）故可以分析到 y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（ 0，1）和點(diǎn)（ 3，1），故 B（ 3， 1）， 故答案為：（3，1）12（3 分）已知函數(shù) f（x）=ax2+bx+c（a0），設(shè)函數(shù) y= f（x） 2+p?f（x）+q 的零點(diǎn)所組成的集合為 A，則以下集合不可能是 A 集合的序號(hào)為 2，3，8 4，1，0，2 1，3，5，7【解答】 解：f（x）=ax2+bx+c 的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x= ， 設(shè)函數(shù) y= f （x） 2+p?f（x） +q 的零點(diǎn)

13、為 y1，y2，則必有 y1=ax2 +bx+c，y2=ax2+bx+c，x2 要關(guān)于直線 x=對(duì)稱(chēng)，方程 y1=ax2 +bx+c 的兩個(gè)解 x1，也就是說(shuō) 2（ x1+x2）= ， 同理方程 y2=ax2+bx+c 的兩個(gè)解 x3，x4 也要關(guān)于直線 x= 對(duì)稱(chēng) 那就得到 2（ x3+x4）= ， 可以找到對(duì)稱(chēng)軸直線 x= 不能找到對(duì)稱(chēng)軸直線， 2，3，8 可以找到對(duì)稱(chēng)軸直線 x=3， 4，1，0，2 不能找到對(duì)稱(chēng)軸直線， 1，3，5，7 可以找到對(duì)稱(chēng)軸直線 x=4， 故答案為：二、選擇題（每題滿分 16 分，滿分 16 分）13（4 分）關(guān)于冪函數(shù) y=xk及其圖象，有下列四個(gè)命題： 其

14、圖象一定不通過(guò)第四象限；當(dāng) k<0 時(shí)，其圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱(chēng)；當(dāng) k>0 時(shí)，函數(shù) y=xk是增函數(shù)； y=xk的圖象與 y=xk 的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn) 其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）A0 個(gè) B1 個(gè) C2 個(gè) D3 個(gè)【解答】 解：關(guān)于冪函數(shù) y=xk 及其圖象： 其圖象一定不通過(guò)第四象限；因?yàn)?x>0 時(shí)， y=x>0，故冪函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故正確； 當(dāng) k<0 時(shí)，如冪函數(shù) y=x1其圖象不關(guān)于直線 y=x對(duì)稱(chēng)；故錯(cuò)誤； 當(dāng) k>0 時(shí)，函數(shù) y=xk 是增函數(shù)；如 k=2，不成立，故錯(cuò)誤； 如 y=x2和 y= 1 個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故

15、選： B14（4分）若a，bR且ab0，則成立的一個(gè)充分非必要條件是 （ ）Aa>b>0 Bb>a Ca<b<0 Dab（ a b）< 0 【解答】 解：a，bR且 ab0，則? | a| <| b|，因此 成立的一個(gè)充分非必要條件是 a<b<0故選： C15（4 分）若存在實(shí)數(shù) a，使得函數(shù)在（ 0，）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）Aa<0 Ba 1 C 2a 1 D2a<0【解答】 解：根據(jù)題意，若函數(shù)在（ 0，+）上為減函數(shù)，當(dāng) 0<x 1 時(shí)，f（x）=x2+2（a+1）x+4 遞減，有 a+10，當(dāng)

16、x>1 時(shí)，f （x）=xa為減函數(shù)，必有 a< 0，綜合可得： ，解可得 2a 1；故選： C16（4 分）用計(jì)算器演算函數(shù) y=f（x）=xx，x（0，1）的若干值，可以猜想下 列命題中真命題只能是（ ）Ay=f（x）在區(qū)間（ 0 ，0.4）上遞減 By=f（ x）在區(qū)間（ 0.35，1）上遞減 Cy=f（x）的最小值為 f（0.4）Dy=f（x）在（ 0.3，0.4）上有最小值【解答】 解：0.10.10.79，0.20.20.72， 0.30.3 0.70，0.350.350.6925，0.40.4 0.6931，0.50.50.71；判斷出 f（x）在區(qū)間（ 0，0.4）

17、上遞減錯(cuò)誤，在（ 0.35，1）上遞減錯(cuò)誤， f（x） 的最小值為 f （0.4）錯(cuò)誤；排除選項(xiàng) A，B，C，得出 D 正確故選 D三、解答題（滿分為 48 分）17（8 分）已知 f（x）是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f（x）=x2x；（ 1）求函數(shù) f（ x）的解析式；（2）求不等式 f（x）<0 的解集解答】 解：（1）設(shè) x<0，則 x>0，當(dāng) x0 時(shí)， f（x）=x2x，f（x）第10頁(yè)（共 14頁(yè)）=x2+x，f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)， f（x）=f（ x）=x2x， 當(dāng) x<0 時(shí)， f（x）=x2 x，綜上所述， f（ x）=；（2）當(dāng)

18、 x0 時(shí)， f（x）=x2x<0，0<x<1；當(dāng) x<0時(shí)，f（x）=x2x<0，x<1或 x>0， x< 1， 綜上所述，不等式 f（x）< 0的解集為 x| x<1或 0<x<118（8分）關(guān)于 x 的不等式組的解集為 A，若集合 A 中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍解答】 解：解不等式 x2x2>0得 x<1或 x>2解方程 2x2+（2k+5）x+5k=0 得 x1= ，x2=k1）若k即k時(shí)，不等式 2x2+（2k+5）x+5k<0的解為k<x<此時(shí)不等式組的解集為

19、 A=（ k， ）2）若 k> 即 k< 時(shí)，不等式 2x2+（2k+5）x+5k<0的解為<x< k，集合 A 中有且僅有一個(gè)整數(shù)， 4 k< 3，解得 3<k4此時(shí)不等式組的解集為 A=（ ， k）或 A=（ ， 1）或 A=（ ，1） （ 2， k），集合 A中有且僅有一個(gè)整數(shù)， 2< k 3，解得 3k<2綜上， k的取值范圍是（ 3，4 3，2）19（ 8 分）為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無(wú)色玻璃的密封保護(hù)罩 內(nèi)充入保護(hù)氣體 假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成： 罩內(nèi)該種氣體 的體積比保護(hù)罩的容積少 0.5立方米，且

20、每立方米氣體費(fèi)用 1 千元；需支付一 定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為 2 立方米時(shí)， 支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為 8 千元（1）求博物館支付總費(fèi)用 y 與保護(hù)罩容積 V 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求博物館支付總費(fèi)用的最小值【解答】 解：（1）設(shè)，把 x=2， y=8000代入，得 k=16000（3 分）（V>0.5）（8 分）（2）（11 分）當(dāng)且僅當(dāng)，即 V=4 立方米時(shí)不等式取得等號(hào)所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為 7500 元（14 分）20（10 分）已知函數(shù)（1）若 f（x）<2x 在（1，+）上恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；（2）若函數(shù) y=f（x）在

21、m，n上的值域是 m，n，求實(shí)數(shù) a的取值范圍【解答】 解：（1）若 f（x）<2x 在（ 1，+）上恒成立，得 a < 2x 即 a< +2x，記 g（x）= +2x，在（ 1，+）上是增函數(shù)，得 g（x）> g（1）=3，所以： a3（2）函數(shù) y=f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?0）（ 0，+）當(dāng) n>m>0 時(shí)， f（x）在 m，n 上是增函數(shù)，故，解得： a> 2；） 當(dāng) 0>n>m 時(shí)，f（x）在 m，n上是減函數(shù)，故，解得： a=0；所以： a 0 （ 2， +）21（14 分）已知定義在（ 0，+）上的函數(shù) f（x）滿足下列條件：

22、f（x）不 恒為 0；對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x 和任意的實(shí)數(shù) y都有 f（xy）=y?f（x） （1）求證：方程 f（x）=0 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)a為大于1的常數(shù)，且f（a）>0，試判斷 f（x）的單調(diào)性，并予以證明； （3）若 a>b>c>1，且 2b=a+c，求證： f（a）?f（c）< f（b） 2 【解答】（1）證明：令y=0，對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x和任意的實(shí)數(shù) y都有 f（xy）=y?f （x）則 f（1）=0，因此 x=1是方程 f（x）=0 一個(gè)實(shí)數(shù)根 先證明以下結(jié)論：設(shè) 0<a，a 1 時(shí)，假設(shè) x，y>0，則存在 m， n，使 x=am，y=an， 對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x 和任意的實(shí)數(shù) y 都有 f（xy）=y?f（x） f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）， f