2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線1截面欣賞2直線與球、平面與球的位置關(guān)系學(xué)案

1、 1 &2截面欣賞直線與球、平面與球的位置關(guān)系_LEE J對應(yīng)學(xué)生用書 P33自主學(xué)習(xí)1 直線與球的位置關(guān)系有相離、相切、相交_2. 從球外一點(diǎn)作球的切線，它們的切線長相等,有的切點(diǎn)組成一個(gè)圓.3. 平面與球的位置關(guān)系有相離、相切、相交_4. 一個(gè)平面與球面相交， 所得的交線是一個(gè)圓，且圓心與球心的連線垂直于這一平面.合作探究1.用一平面去截正方體時(shí)，其截面可能是幾邊形？提示：三角形（銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形）四邊形（長方形、正方形、梯形）五邊形、六邊形2 .直線與球的位置關(guān)系的判定與直線與圓的位置關(guān)系判定一樣嗎？ 提示：一樣.都是利用點(diǎn)到直線的距離與半徑r的關(guān)系去判定.3.

2、平面與球的位置關(guān)系如何判定？提示：平面a,球0,球心0到a的距離為0H球半徑為R若0HR則相離；若0H=R,則相切；若0HR則相交.例 1從一個(gè)底面半徑和高都是R的圓柱中，挖去一個(gè)以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐，得到如圖所示的幾何體，如果用 一個(gè)與圓柱下底面距離等于I并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面積（陰影部分）.思路點(diǎn)撥本題主要考查截面問題，解題時(shí)根據(jù)題意畫出軸截面可直觀求解.精解詳析軸截面如圖所示：被平行于下底面的平面所截的圓 柱的截面圓的半徑0C-R,圓錐的截面圓的半徑0D設(shè)為x./ 0A= AB= R,0A覗等腰直角三角形.理解嚴(yán)P33對應(yīng)學(xué)生用書截面問題2又CD/

3、 0A貝UCD= BC,故x=I.3,22=_2a,r2=a.所以S?= 4nr2= 2n al截面面積S=nRnl2=n(Rl2).方法方法 規(guī)律規(guī)律 小結(jié)小結(jié) * *解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征， 發(fā)揮自己的空間想象能力， 正確 作出幾何體的軸截面等， 把立體圖和截面圖對照分析， 找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系. 把空間幾 何問題轉(zhuǎn)化在同一平面內(nèi)利用平面幾何的知識解決，即用空間問題平面化的解題策略.解析：選 A 因?yàn)锳B MN兩條交線所在平面（側(cè)面）互相平行，故AB MN無公共點(diǎn)；又AB MN在平面EFGH內(nèi)，故AB/ MN同理易知，AN/ BM又ABL CD所以截面必為矩形.L

4、 -1平面、直線與球的位置關(guān)系例 2有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三 個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.思路點(diǎn)撥本題主要考查平面、直線與球的位置關(guān)系的應(yīng)用.解此題時(shí)分別作出三種 情況的截面圖，可求解.精解詳析設(shè)正方體的棱長為a.（1）正方形的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面正方形的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)a22及球心作截面如圖，所以有2r1=a,ri= ?,所以S= 4nri=na.球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面得截面，女口圖1. 一長方體木料，沿如圖所示平面EFGH截長方體，若ABL CD那么F列四個(gè)圖形中是

5、截面的是（）:C IZfl DAD34解析：選 C 由題意結(jié)合圖形分析知：截面過球心，點(diǎn)， 則E為AB的中點(diǎn)， 即可得厶ECD為等腰三角形， 又 =DE=3,可求得SAECD=/2.例 3 如圖，球0的半徑為 2,圓0是一小圓，OC=/2,A, B是圓0上兩點(diǎn).若/nAOB=2，則A,B兩點(diǎn)間的球面距離為 _ .精解詳析如圖，OB= OA=2,00=2, 0A=,2, AB= 2,0人囲人囲正三角形，（3）正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如 圖，所以有 2r3=：3a,3=-a,所以9=4nr3= 3na.綜上可得 Si: S ： S= 1 : 2 : 3.方法方法 規(guī)

6、律規(guī)律 小結(jié)小結(jié)與球有關(guān)的截面問題，為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫一個(gè)截面圓起襯托作用.k2棱長為 2 的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是A.B.且交AB于ECD=2,CE235/ A0B=n.6A B兩點(diǎn)間的球面距離為專x2= n方法方法- -規(guī)律規(guī)律n結(jié)結(jié)-若一平面與球面相交所得交線是一個(gè)圓，且圓心與球心的連線垂直于這一平面，該圓心 與球心距離為d,圓半徑為r,球半徑為R則d2+r2=氏.本例條件變?yōu)椤叭鐖D，球O的半徑為2，圓O是一小圓，0C=/2, A, B是圓0上兩點(diǎn).若A,B兩點(diǎn)間的球面距離為 ?！保瑒t/A0B

7、=.2解析：由A,B間的球面距離為 亍知/A0=，所以A0囲等邊三角形，AB=2;又由球0的半徑為 2,00=2 知0A=0B= 2，所以A0B為等腰直角三角7t形，/A0B=本節(jié)熱點(diǎn)命題美注本課時(shí)常考查截面問題，是每年命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一屬中檔題.考題印證平面a截球0的球面所得圓的半徑為 1,球心0到平面a的距離為* 2,則此球的體積為（）A.：.：6nB. 4;.：3nC. 4 詁 6nD. 6 3n命題立意本題主要通過截面問題考查球的性質(zhì)及球的體積公式.自主嘗試設(shè)球的半徑為R由球的截面性質(zhì)得 R= .22+ 12=, 3，所以球的體積V=3nR=4 3n.答案B答案2nT71 在一個(gè)錐體中

8、，作平行于底面的截面，若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1 : 3,則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）A. 1 ： 3B. 1 : 9C. 1 : 3 3D. 1 : （3 3- 1）解析：選 D 由面積比等于邊長比的平方，體積比為邊長比的立方可求得D 正確.2.過半徑為 2 的球0表面上一點(diǎn)A作球0的截面，若0A與該截面所成的角是 60, 則該截面的面積是（ ）A.nB. 2nC. 3nD. 2;3 n解析：選 A設(shè)截面的圓心為O，由題意得：/OAO= 60,OA=1,S=n I=n.3.如圖，在正三棱柱AB（- ABC中，D為棱AA的中點(diǎn)，若截面BGD是面積為 6 的直角三角形，則此三

9、棱柱的體積為（）A.43B. 3 3C.83D. 6 3cC=BC得a+b= 24,可得a=2 .：2,b= 4,4.正方體ABC-ABCD中，P,Q R分別是AB AD BC的中點(diǎn)，則正方體的過P, QR的截面圖形是（）解析：選 C由題意，設(shè)AB= a,AA=b,再由BD- DC= 6 可得a2+號號=12.又由BC+ V=j(22)2X4=8 3.、選擇題A8A.矩形B.正五邊形C.正六邊形解析：選 C 如圖，禾 U 用空間圖形的公理作出截面，可知截面為正六邊形.D.菱形9二、填空題5._已知0A為球O的半徑， 過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為 3n，則球O的表

10、面積等于.解析：記球O的半徑為R圓M的半徑為r,則依題意得r2= 3,氏=r2+R2,故R2= 4, 球O的表面積等于 4nR= 16n.答案：16n6.直三棱柱ABC- ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB= AC=AA= 2, /BA(= 120,則此球的表面積等于_ .解析：在厶ABC中AB= AC= 2，/BAC= 120,可得BC= 2 3，由正弦定理，可得ABC外接圓半徑r= 2，設(shè)此圓圓心為O，球心為O,在 RtOO B中，易得球半徑R=5,故 此球的表面積為 4n氏=20n.答案：20n7.已知點(diǎn)A B,C在球心為O的球面上，ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊長分別為a,b,c,

11、且a2=b2+c2-bc,a=3，球心O到截面ABC的距離為.2，則該球的表面積為 _.解析：由a2=b2+c2-bc可得A=n3，再由正弦定理可得球的小圓半徑為r= 1,進(jìn)而可3得球的半徑為R=，該球的表面積為 12n.答案：12n2n&在丁的二面角內(nèi)，放一個(gè)半徑為 5 的球切兩半平面于 A,B兩點(diǎn)，那么這兩個(gè)切點(diǎn)在球面上最短距離是_解析：兩切點(diǎn)對球心的張角為713,球面距5n可.P B10答案:三、解答題9.已知棱長為a的正方體ABC-A B C D中，M N分別是CD AD的中點(diǎn)，求證:11MNA C是梯形.證明：如圖，連接AC/ M N分別為CD AD的中點(diǎn)，1 MN綊 qAC

12、由正方體性質(zhì)可知AC綊A C,1MN綊2A C,四邊形MNA C是梯形.10.在北緯 45的緯度圈上有A,B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng) 上，設(shè)地球半徑為R求A,B兩點(diǎn)間的球面距離.解： 如圖， 設(shè)北緯 45圈的圓心為O,地球中心為Q則/AOB= 160 70= 90,/OBO45,OB= R, OB=OA=R, AB= R.連接AO AB,則AO= BO= AB= R,/ AOB=60, | AB =- 2 nR=nR.631故A,B兩點(diǎn)間的球面距離為nR11.如圖所示,三棱錐V ABC中 ,VAX底面ABC/ABC=90(1) 求證：V,A B,C四點(diǎn)在同一球面上.(2) 過球心作一平面與底面內(nèi)直線AB垂直.求證：此平面截三棱錐 所得的截面是矩形.證明：(1)取VC的中點(diǎn)M/ VAL底面ABC/ABC=90 ,BCLVB在 RtVBC中，M為斜邊VC的中點(diǎn)，MB= MC= MV