【教育資料】第一章§1.6學(xué)習(xí)精品

1、教育資源1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.知識(shí)點(diǎn) 利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象在客觀世界中，周期現(xiàn)象廣泛存在，潮起潮落、星月運(yùn)轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換，甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化.思考現(xiàn)實(shí)世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述？ 答案 三角函數(shù)模型.梳理（1）利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟第一步：閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實(shí)際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.第二步：收集、整理數(shù)據(jù)，建

2、立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識(shí)、物理知識(shí)及相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化.第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)對(duì)得到的三角函數(shù)模型予以解答.第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案.（2）三角函數(shù)模型的建立程序如圖所示：類型一 三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1 一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，當(dāng)小球來回?cái)[動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是 S= 6sin腎疝十6）畫出它的圖象；（2）回答以下問題：小球開始擺動(dòng)（即t=0）,離開平衡位置是多少？小

3、球擺動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的最大距離是多少？小球來回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用- rr2 兀解（1）周期丁=1（s）.列表：t0165122311721兀2疝十 6兀6兀2兀3兀T2兀兀2 tt+-66sin 2 疝+ 6)360一 603描點(diǎn)畫圖:（2）小球開始擺動(dòng)（即t=0）,離開平衡位置為 3 cm.小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離是6 cm.小球來回?cái)[動(dòng)一次需要1 s（即周期）.反思與感悟此類問題的解決關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是數(shù)形結(jié)合的有效途徑.跟蹤訓(xùn)練1如圖是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是（）A

4、 .該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7 sB.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為一5 cmC.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)的振動(dòng)速度最大D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時(shí)的加速度為零考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 D解析 由圖象及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)知T=0.8 s, A=5 cm,當(dāng)t=0.1 s及t=0.5 s時(shí)，v=0,故排除選項(xiàng)A, B, C.類型二 三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2如圖所示，游樂場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心 。距離地面40.5米，半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解

5、答下列問題：（1）求出你與地面的距離 y（米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解 （1）由已知可設(shè) y=40.540cos cot, t0,由周期為12分鐘可知，當(dāng)t=6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第 1次取得最大值，.兀所以 6c0= 71,即 W= 6所以 y= 40.5 40cos 6t（t0）.（2）設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第to分鐘時(shí)距離地面 60.5米. 1由 60.5= 40.5 40cos 6to,得 cos 6t0=-2，所以靛=豹6t0=至解得t0= 4或t0= 8,所以t

6、= 8（分鐘）時(shí)，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時(shí)，用了 12+8= 20（分鐘）.反思與感悟解決三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行：（1）認(rèn)真審題，理清問題中的已知條件與所求結(jié)論；（2）建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化；（3）利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決關(guān)于三角函數(shù)的問題，求得數(shù)學(xué)模型的解；（4）根據(jù)實(shí)際問題的意義，得出實(shí)際問題的解；（5）將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，一個(gè)摩天輪半徑為 10 m,輪子的底部在距離地面 2 m處，如果此摩 天輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每 300 s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn) P處（點(diǎn)P與摩天輪中心高

7、度 相同）時(shí)開始計(jì)時(shí).（1）求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，大約有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17 m.考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解（1）設(shè)在t s時(shí)，摩天輪上某人在高 h m處.這時(shí)此人所轉(zhuǎn)過的角為 烹t=-r- t,故在t s 300150 兀時(shí)，此人相對(duì)于地面的局度為h=10sin石1+12（。0）.,兀/口兀 1(2)由 10sin麗t+1217,得 sin荷。2，則 25t125.故此人有100 s相對(duì)于地面的高度不小于17 m.1 .彈簧振子的振幅為 2 cm,在6 s內(nèi)振子通過的路程是 32 cm,由此可知該振

8、子振動(dòng)的()A.頻率為1.5 HzB.周期為1.5 sC.周期為6 sD.頻率為6 Hz考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 B解析 振幅為2 cm,振子在一個(gè)周期內(nèi)通過的路程為8 cm,易知在6 s內(nèi)振動(dòng)了 4個(gè)周期，所以 T= 1.5 s.教育資源2 .電流強(qiáng)度I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系式是I = 5sin；00擊+ 9，則當(dāng)t=T1r s時(shí)，電流強(qiáng)度 3，200I為()A. 5 A B. 2.5 A C. 2 A D. 5 A考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 B解析 當(dāng)t= 肅時(shí)，I = 5$所1。7tx 21j0+ 3；=5

9、sin5cos兀5-=2= 2.5(A).3.一根長(zhǎng)l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球， 小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移 s(cm) 與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s=3cosbJ|t+3j,其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是 1 s時(shí),線長(zhǎng) l =cm.考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案生4兀解析1=東=G2=言.4.下圖表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天024時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為 .考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用，、TT答案 h=- 6sin gt, tC 0,24解析 根據(jù)題圖

10、設(shè)h= Asin( 3訃昉，則 A=6, T=12, = 12 ,.36點(diǎn)(6,0)為“五點(diǎn)”作圖法中的第一點(diǎn)，-X6+ j= 0, j= 一 兀，6h = 6sin 悟一兀6sin 6、tC 0,24.5.某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度 (單位：C )隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)=10 2sinj2t+3 j 討0,24).(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11C,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解 (1)因?yàn)?f(t) = 102sin 啰t+3 !,又 0wt24,所以當(dāng)3兀t+ t11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降

11、溫.由(1)得 f(t)= 10 2sin+3)，t兀兀,2t+3 11,即sin吟 1+3尸2.=,-7. 7 7t 兀 11又0u24,因此或石+3丁, 即 10VtQ, 30,聲懷兀和半個(gè)周期的圖象，則該天 8 h的溫度大約為()A. 16 C B. 15 C C. 14 C D. 13 C考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用答案 D解析 由題意得A = % (3010)=10,1b = 2X (30+ 10) = 20,2X(146)=16, -2jr= 16,co=-f,co8，y= 105小腎 十以20,將 x=6, y=10 代入得 10sin5X 6+4升

12、 20=10,即sin1二十兀._rzt43兀由于2懷兀，可得（）=了,y= 10sin gx+xC 6,14.當(dāng) x=8 時(shí),y=10sin3 8+3f）+ 20=20 5成=13,即該天8 h的溫度大約為13 C ,故選D.5.一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中 O為輪軸的中心，距地面 32 m（即OM長(zhǎng)），巨輪的 半徑長(zhǎng)為30 m,AM = BP=2 m,巨輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)且每 12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若點(diǎn)M為吊艙P(yáng)的 初始位置，經(jīng)過t分鐘，該吊艙P(yáng)距離地面的高度為 h（t） m,則h等于（）A . 30sin 應(yīng)2. 30B. 30sin 52;+ 30C. 30sin R 2卜 32D. 30

13、sin 總2j考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用答案 B解析 過點(diǎn)O作地面的平行線作為 x軸，過點(diǎn)。作x軸的垂線作為y軸，過點(diǎn)B作x軸的垂、. 27r TT 一一 線BN交x軸于N點(diǎn)，如圖，點(diǎn) A在圓O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度是 石=6,所以t分鐘轉(zhuǎn)過.兀的弧度數(shù)為6t.設(shè)（=6t,當(dāng) 嗎時(shí)，/BON= 0-2t, h=OA+BN=30+30sin 戶2 !, 當(dāng)0長(zhǎng)刻，上述關(guān)系式也適合.故 h = 30+30sin Q2 尸 30sin 6t-2）+ 30.6.如圖所示，有一廣告氣球，直徑為 6 cm,放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角/BAC=30時(shí)，測(cè)得氣球的視角

14、為3= 1,當(dāng)0很小時(shí)，可取sin。，試估算氣球的高BC的值約為()A. 70 m B. 86 m C. 102 m D. 118 m考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用答案 B解析 ac = CD-= _33 X 180 = 172(m), sin 3. 兀 兀sin 180又/BAC=30。，BC=2aC = 86 m.7. (2019襄陽高一檢測(cè))設(shè)y=f是某港口水的深度 y(m)關(guān)于時(shí)間t(h)的函數(shù)，其中0wtw24.卜表是該港口某一天從 0到24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.

15、912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，函數(shù)y= f(x)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=Asin(co計(jì)昉+k的圖象.下面的函數(shù)中，最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()兀A. y= 12 + 3sin 6t, A 0,24B. y=12+3sin 悟+。t 0,24兀C. y= 12+3sin 談 C 0,24D. y=12 + 3sin 后t + 2j, tC0,24考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在航海、氣象學(xué)中的應(yīng)用答案 A解析 由已知數(shù)據(jù)，可得 y=f(t)的周期T= 12,2兀 兀所以 3= 丁 = Q.T 6由已知可得振幅 A=3, k= 12.又當(dāng)t=0時(shí)，y=12,所以令6x 0+ 0得

16、 0,立兀故 y=12+3sin 6t, tC 0,24.二、填空題8 .設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t) = 115+25sin(160擊)，其中p(t)為血壓(mmHg) , t為時(shí)間(min), 則此人每分鐘心跳的次數(shù)是 .考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用答案 80解析T=W!（分），占T=8o（次/分）9 .已知某種交流電電流I（A）隨時(shí)間t（s）的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)I = 56sin1100擊一2tC0, +8）,則這種交流電在0.5 s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為 .考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 25Mr Lr- 1.、，上 1 CO

17、IO。兀斛析 因?yàn)閒= -= = = 50,T 2兀 2兀所以0.5 s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為0.5X 50= 25.10 .如圖所示，彈簧下掛著的小球做上下振動(dòng). 開始時(shí)小球在平衡位置上方 2 cm處，然后小 球向上運(yùn)動(dòng)，小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離都是4cm,每經(jīng)過 兀s小球往復(fù)振動(dòng)一次，則小球離開平衡位置的位移 y與振動(dòng)時(shí)間x的關(guān)系式可以是.考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 y=4sin&x+6j解析 不妨設(shè)y=Asin（cox+機(jī),一一,一 ，2 兀由題息知 A = 4, T= ti,所以 w= T= 2.當(dāng)x=0時(shí)，y=2,且小球開始向上運(yùn)動(dòng)，.兀.

18、、一兀所以有（f）= 2k兀+ kCZ,不妨?。ǎ?6,故所求關(guān)系式可以為 y= 4sin 2x+6 .11 .一個(gè)單擺的平面圖如圖.設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為&rad),并規(guī)定當(dāng)小球在鉛錘方向右側(cè)時(shí)a為正角，左側(cè)時(shí) a為負(fù)角.a作為時(shí)間t(s)的函數(shù)，近似滿足關(guān)系式a= Asin 13計(jì)2其中30.已知小球在初始位置(即t=0)時(shí)，a=3,且每經(jīng)過Tts小球回到初始位置，那么A=； a關(guān)于t的函數(shù)解析式是 .考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)在天文、物理學(xué)方面的應(yīng)用答案 3 a=3sin 2t+2 i tC0, + ) 一一.兀解析 .當(dāng)t=0時(shí)，a=-,3. 兀 A 兀A 兀一 -=Asin-, . - A = .323 2 兀 =又周期T=5 一= n,解得3=2.故所求的函數(shù)解析式是a=3Sin8t+2j, tC0, +8).三、解答題12 .如圖，一個(gè)水輪的半徑為4 m,水輪圓心。距離水面2 m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng) 1圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)Po)開始計(jì)算時(shí)間.(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？考點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用題點(diǎn) 三角函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用解 如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)角20, 0, 2 1, x為月