高中數(shù)學選修2-3統(tǒng)計案例之線性回歸方程習題課

1、1 .相關關系的分類 從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角 的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我 們將它稱為正相關；點散布在從左上角到右 下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為 負相關.2 .線性相關從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致 分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間 具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線.3 .回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直 線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法.(2)回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量 的一組數(shù)據(jù)：(Xi, yi),(X2, 丫2),，(Xn, yn),其回歸方程為y=bx+a,則b, a 其中，b是回歸方程的斜率，a是在

2、y軸上 的截距.4 .樣本相關系數(shù)n _Xi x yi y(1)當r0時，表明兩個變量正相&一(2)當r0.75時，認為兩個變量有很 強的線性相關關系.5 .線性回歸模型(1)y= bx+a+e中，a、b稱為模型的未知參 數(shù)；e稱為隨機誤差.(2)相關指數(shù)用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2=, R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合 效果越好.在線性回歸模型中，R2表示解釋 變量對預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1,表示回歸效果越好.規(guī)律(1)函數(shù)關系是二種確定的關系,相關關系是. 二種非確定的關系，.事實上.函數(shù)關系是兩 個韭隨機變量的關系,而相關關系是韭隨機

3、變量與隨機變量的關系. I ! ：047 1 通 V (IM HIM 注意(1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量 進行統(tǒng)計分析的方法,只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意 義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義.(2)線性回歸方程史的截距和斜率都是通過 樣本數(shù)據(jù)估計而來的，存在誤差,這種誤差 會導致預報結果的偏差； 而且回歸方程只適 用于我們所研究的樣本總體,考向一相關關系的判斷例1.下列選項中，兩個變量具有相關關系的是()A.正方形的面積與周長B.勻速行駛車輛的行駛路程與時間C.人的身高與體重D.人的身高與視力答案：C例2.對變量x、y有觀測數(shù)據(jù)(Xi, yi)( i =

4、1,2,，10),得散點圖1;對變量u, v 有觀測數(shù)據(jù)(Ui, Vi)( i =1,2 ,，10),得 散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷()廣 302520151050ip 605040302010OA.變量B.變量x與y正相關,x與y正相關,C.變量x與y負相關， D.變量x與y負相關,1 2 3 4 5 6 7U 圖2U與V正相關u與V負相關u與V正相關u與V負相關解析：選C.由題圖1可知，各點整體呈 遞減趨勢，x與y負相關，由題圖2可知， 各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關.例3.下面哪些變量是相關關系（）.A.出租車車費與行駛的里程B.房屋面積與房屋價格C.身高與體重 D.鐵塊的大小與

5、質(zhì)量 解析 A, B, D都是函數(shù)關系，其中 A 般是分段函數(shù)，只有 C是相關關系. 答案 C例4.如圖所示，有5組（x, y）數(shù)據(jù)，去掉 組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關性最大.ty(10,12)0(3,10)C(4,5).僅2,4) )(1,3)解析：因為A B、C、E四點分布在一 條直線附近且貼近某一直線，D點離得遠.答案：D例5.對變量x, y有觀測數(shù)據(jù)（Xi, yi）（i二1,2, ，10）,得散點圖（1）;對變量 u, v 有觀測數(shù)據(jù)（Ui、Vi）（i = 1,2,，10）,得散 點圖（2）.由這兩個散點圖可以判斷（）.A.變量x與y正相關，u與v正相關 B.變量x與y正相關，u

6、與v負相關 C.變量x與y負相關，u與v正相關 D 變量 x 與 y 負相關，u 與 v 負相關解析 由題圖 (1)可知，各點整體呈遞減趨勢， x 與 y 負相關；由題圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u 與 v 正相關答案 C例 6下列關系屬于線性負相關的是()A.父母的身高與子女身高的關系B.球的體積與半徑之間的關系C.汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程D. 一個家庭的收入與支出解析：選C.A、D中的兩個變量屬于線 性正相關，B中兩個變量是函數(shù)關系.例7.魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上對某棉花新品種 進行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗，得到 如下表所示

7、的一組數(shù)據(jù)(單位：kg):施化肥量x15202530354045棉花33343640444545r#y0555505(1)畫出散點圖；(2)判斷是否具有相關關系.審題視點(1)用x軸表示化肥施用量，y軸 表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點.(2)根據(jù)散點圖，分析兩個變量是否存在相關關系解 (1)散點圖如圖所示(2)由散點圖知，各組數(shù)據(jù)對應點大致都在一條直線附近，所以施化肥量x 與產(chǎn)量 y 具有線性相關關系利用散點圖判斷兩個變量是否有相關關系是比較簡便的方法 在散點圖中如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系即變量之間具有函數(shù)關系如果所有的樣本點落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間

8、就有相關關系；如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系例8.根據(jù)兩個變量x, y之間的觀測數(shù)據(jù)畫成散點圖如圖所示，這兩個變量是否具有線性相關關系（填“是”與“否”）解析 從散點圖看，散點圖的分布成團狀， 無任何規(guī)律，所以兩個變量不具有線性相關 關系.答案否考向二線性回歸方程例9.對有線性相關關系的兩個變量建人立的回歸直線方程y=a+bx中，回歸系數(shù)b()A.不能小于0 B .不能大于0C.不能等于0 D .只能小于0解析：選C. v b=0時，r = 0,這時不 具有線性相關關系，但b能大于0也能小于 0.人例10.已知回歸方程y=4.4x+838.19 , 則可估計x與y

9、的增長速度之比約為解析：x與y的增長速度之比即為回歸方程的斜率的倒數(shù)11054.4答案:= 44=22, 522例11.某商品銷售量y（件）與銷售價格x（元/件）負相關，則其回歸方程可能是（）.A.y= 10x+200B.y= 10x+200C;= 10x200D.y=10x 200解析因為銷量與價格負相關，由函數(shù)關系 考慮為減函數(shù)，又因為 x, y不能為負數(shù)， 再排除C,故選A. 答案 A例12.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小

10、二乘法求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90 噸標準煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預測生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數(shù)值：3X 2.5+4X 3+5X4+6X4.5 =66.5)審題視點(2)問利用公式求M b,即可求出線性回歸方程問將x= 100代入回歸直線方程即可.解(1)由題設所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示4由對照數(shù)據(jù)，計算得：x2 = 86,i = 13+4+5+644.5（噸）,y2.5+3 + 4 + 4.5 4= 3.5（噸）.4已知xiyi = 66.5,1 = 1所以，由最小二乘法確定的

11、回歸方程的系數(shù)為：4xiyi 4x y._ ij 66.54X4.5X 3.5 _b= 4_ = 86 4X4.52 二x2 4 x 2i = 10.7,a= ybx =3.50.7X4.5=0.35.因此，所求的線性回歸方程為y = o.7x+0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.7X 100+0.35)= 19.65(噸標準煤).在解決具體問題時， 要先進行相關性檢驗，通過檢驗確認兩個變 量是否具有線性相關關系，若它們之間有線 性相關關系，再求回歸直線方程.例13.為了解兒子身高與其父親身高的關 系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)

12、如下：父親身高 x/cm174176176176178兒子身高 y/cm175175176177177則y對x的線性回歸方程為（）.A y=x 1B y=x+ 11C. y=88+2xD. y = 176解析由題意得x =174+176+176+ 176+178-=176(cm),5175 175 176 177 177y =c= 176(cm),5由于7)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗證知選C.答案 C例14.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的 回歸直

13、線方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地 2012年的糧食需求量.解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之 間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預處理如下：年份-2006一4一2024需求量 257一21一1101929對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算得,x = 0)y = 3.2) b= 40= 6.5) a=ybx=3.2.由上述計算結果，知所求回歸直線方程為257=b(x2 006)+a=6.5(x 2 006H3.2，即夕=6.5(x 2 006) + 260.2.(2)利用直線方程，可預測 2012年的糧食需求量為6. 5(2 0122 006) + 26

14、0.2=6.5X6+260.2 = 299.2(萬噸).例15 .下列有關回歸直線方程y=bx+a 的敘述正確的是()a反映y與x之間的函數(shù)關系；反映 y 與 x 之間的函數(shù)關系； a表示y與x之間的不確定關系；表示最接近y 與 x 之間真實關系的一條直線A B C D 解析：選D.y= bx+a表示y與x之間的 y 與 x 之間的函數(shù)關系；但它反映的關系最接近 y與x之間的真實關 系，故選D. 人例16.設有一個回歸方程y=35x,變量x增加一個單位時()A. y平均增加3個單位B. y平均減少5個單位C. y平均增加5個單位D. y平均減少3個單位解析：選B一 5是斜率的估計值，說明x每增

15、加一個單位，y平均減少5個單位.例17.對兩個變量y和x進行回歸分析， 得到一組樣本數(shù)據(jù)：(xi, yi), (x2, y2),， (xn, yn),則下列說法中不正確的是()A AA.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程 y= bx+ A一 一a必過樣本中心(x, y)B.殘差平方和越小的模型，擬合的效 果越好C.用相關指數(shù) R2來刻畫回歸效果，R2 越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量y和x之間的相關系數(shù)為r= 0.9362 ,則變量y和x之間具有線性相 關關系解析：選C.C中應為R2越大擬合效果越好.例18.已知回歸方程y=2x+1,而試驗 得到一組數(shù)據(jù)是(2,4.9), (3,7.1),(4,9

16、.(1) 殘差平方和是()A. 0.01 1 B. 0.02C 0.03 D.0.04a 解析：選C.當x=2時，y=5, a當 x=3 時)y = 7) a當 x = 4 時)y = 9. e1 = 4.9 -5 = - 0.1 , e2=7.1 -7 = 0.1 , ae3=9.1 9 = 0.1.3 a2 e ii =10.1) 2+(0.1) 2+(0.1)0.03.例19.下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每 個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變； a一 一回歸方程y= bx+a必過點（x , y）;曲線上的點與該點的坐標之間具有 相關關系；在一個2X2列聯(lián)表中，由計算得 K2 = 13

17、.079 ,則其兩個變量間有關系的可能性 是 90%.其中錯誤的是.解析：正確.由回歸方程的定義及最 小二乘法思想，知正確.不正確.答案：例20.在2009年H一國慶8天黃金周 期間，某市物價部門，對本市五個商場銷售 的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查， 五個商場的售價x元和銷售量y件之間的一 組數(shù)據(jù)如下表所示：價格 x99 .51010 .511銷售 量y1110865通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對商品的價格 x具有線性相關關系，則銷售量 y對商品的 價格x的回歸直線方程為二解析：由數(shù)據(jù)表可得x = 10, y = 8,離差 xx： 1, .0.5,0 , 0.5,1 ；離差 y-y : 3,2

18、,0 , 2, - 3.八 一1X30.5 X2-0.5 X2-1X3b =1 + 0.25 +0+0.25 +13.2 ,a= y bx = 40,回歸直線方程為y = - 3.2 x+ 40. a答案：y = -3.2x+40例21.在某地區(qū)的1230歲居民中隨機抽取了 10個人的身高和體重的統(tǒng)計資料的身高和體重之間是否有相關關系.解：以x軸表示身高，y軸表示體重, 可得到相應的散點圖如圖所示：體重（kg）90807060504030 ,-100110 120 130 140 150 16() 170 180 190 身高(cm)由散點圖可知，兩者之間具有相關關系，且為正相關.12.某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某 反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進 行分析研究，他們分別記錄了