利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程

1、利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程格拉姆-施密特正交化 在線性代數(shù)中，如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間，那么這一組向量就稱為這個子空間的一個基。GramSchmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，并可進一步求出對應的標準正交基。這種正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）。在數(shù)值計算中，GramSchmidt正交

2、化是數(shù)值不穩(wěn)定的，計算中累積的舍入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉進行正交化。記法· ：維數(shù)為n 的內積空間· ：中的元素，可以是向量、函數(shù)，等等· ：與的內積· ：、張成的子空間· ：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。設。是上的維子空間，其標準正交基為，且不在上。由投影原理知，與其在上的投影之差是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即那么就是在上擴展的子空間的標準正交基。根據(jù)上述

3、分析，對于向量組張成的空間 ()，只要從其中一個向量（不妨設為）所張成的一維子空間開始（注意到就是的正交基），重復上述擴展構造正交基的過程，就能夠得到 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設為。Gram-Schmidt正交化的過程如下：這樣就得到上的一組正交基，以及相應的標準正交基。例考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合，歐氏空間上內積的定義為<a, b> = bTa：下面作GramSchmidt正交化，以得到一組正交向量：下面驗證向量與的正交性：將這些向量單位化：于是就是 &

4、#160;的一組標準正交基底。不同的形式隨著內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現(xiàn)出不同的形式。例如，在實向量空間上，內積定義為：在復向量空間上，內積定義為：函數(shù)之間的內積則定義為：與之對應，相應的GramSchmidt正交化就具有不同的形式。利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過程C語言程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 3 /N表示基的個數(shù)#define M 4 /M表示維數(shù)float zj(float a,float b) /這是求內積函數(shù)int i;f

5、loat k=0;for(i=0;i<M;i+)k+=ai*bi;return k;main()float pNM,bNM,kN;int i,j,m;for(i=0;i<N;i+) printf("請輸入第%d個向量：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) scanf("%f",pi+j);for(i=0;i<N*M;i+)b0i=p0i;/下面是正交化過程for(i=1;i<N;i+) /i表示第i個向量 for(m=0;m<i;m+) km=zj(bi,bm)/zj(bm,bm); /km表示正交化過程中

6、向量前的系數(shù) for(j=0;j<M;j+) /j表示每個向量中的坐標 for(m=0;m<i;m+) bij-=km*bmj; printf("正交化結果為：n"); for(i=0;i<N;i+) printf("第%d個向量是：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) printf("%g ",bij); putchar('n');/下面是單位化過程 for(i=0;i<N;i+) for(j=0;j<M;j+) pij=bij/sqrt(zj(bi,bi); prin

7、tf("n單位化結果為：n"); for(i=0;i<N;i+) printf("第%d個向量是：n",i+1); for(j=0;j<M;j+) printf("%g ",pij); putchar('n');實驗結果如下：實踐課總結： 在這次實踐課的課題討論中，我所在的這個組個個都發(fā)揮自己得能動性。都積極主動。拿到課題后，我們馬上討論分工，針對自己所分到得板塊去查閱資料，然后再次討論總結，最后每個人都提出問題共同解決。 當然，在整個過程中遇到問題也是必然的。例如，由于對C語言不熟練而導致在程序設計時遇到種種困難，多而雜得程序設計在排版上不能讓讀者一目了然，感覺有點凌亂，并且在第一次試講過程中老師和細心得同學都提出了幾個疑議。下來后我們再次討論。針對那些問題并進行機上調試。結果得出，我們得設計可能繁雜冗長了些，但沒有錯，因