銳角三角函數(shù)教案設(shè)計(jì)

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案銳角三角函數(shù)一.知識框架二、知識概念1、正弦，余弦，正切的概念a如圖，在 Rt ABC 中，(1) sinA= c ,b(2) cosA= C ,a(3) tanA = b 。2、2.坡度（坡比）的概念asin acosatan a30°1必必22345°蟲 2近2 2160°走 212V3及表示形式l的比叫做坡度（或坡比），坡度常如圖所示，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度用字母i表示.斜坡的坡度i陽坡角 的正切值有如下關(guān)系：i tanh ,即坡度是坡角的正切值.l1 .正切與梯子的傾斜程度的關(guān)系：tan A的值越大，梯子越陡.注意：梯子的傾斜程

2、度與梯子和地面的夾角的大小有關(guān)，夾角越大說明梯子越傾斜.2 .正弦、余弦與梯子的傾斜程度的關(guān)系：sin A的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.3 .解直角三角形：銳角A的正弦，余弦和正切都是/A的三角函數(shù)，直角三角形中，除直角外，共 5個元素：3條邊和2個角.除直角外只要知道其中 2個元素（至少有1個是邊），就可利用以 上關(guān)系求出另外3個元素.4 .仰角，俯角當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角，如圖所示，為仰角，俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角，如圖所示，為俯角,例題：題型一：三角函數(shù)的定義AB=13, BC=12,則下列三角函數(shù)表例 1、（20

3、15?崇左）如圖，在 RtABC中，/ C=90° ,C. tanA= D. tanB1212例2、（2015?慶陽）在 ABC中，若角A, B滿足|cosA 塔+ （ 1 - tanB ） 2=0,則/C的大小是（D ）A. 45° B, 60° C. 75° D. 105例 3、（2015?牡丹江）在 ABC中，AB=12/2, AC=13, cos/B亭,則BC邊長為（D ）A. 7B. 8C. 8 或 17 D. 7 或 17【解答】解： cos / b£2, 2/ B=45° ,當(dāng) ABC為鈍角三角形時，如圖 1,. AB=

4、12j2， B B=45° ,.AD=BD=1?.AC=13,由勾股定理得 CD=5.BC=BD- CD=12- 5=7;當(dāng) ABC為銳角三角形時，如圖 2,BC=BD+CD=12+5=1,7故選D.題型分析：（1）對于利用三角函數(shù)求線段長度的問題，一般要把這條線段放在一個直角三角形中來解決，因此必須先構(gòu)造出以該條線段為邊的直角三角形。（2）在構(gòu)造直角三角形時， 要善于聯(lián)系已知，使題目中已知的條件能盡量轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中。并且盡量構(gòu)造出含特殊角的直角三角形。另外還需注意基本的幾何模型，補(bǔ)全基本的幾何模型，也是我們作輔助線的一個常用策略。（3）對于一個直角三角形， 如果知道除直角的

5、另外兩個元素 （至少含一邊），則可以求出 其他三個元素。題型二：坡度的實(shí)際應(yīng)用例1、（2014?德州）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2,則斜坡AB的長為（ B ）A. 4代米B. 6亞米C. 12米 D. 24米例2、（2015?巴彥淖爾）如圖，一漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)40海里到達(dá)B點(diǎn)，此時，測得海島 C位于北偏東30。的方向，則海里 C到航線AB的距離CD是（C ）A.B DA. 20海里 B. 40海里 C. 2s用海里D. 4O/l海里【解答】解：根據(jù)題意可知/ CAD=30 , / CBD=60 , /

6、 CBDh CAD吆 ACBCAD=30 =/ACB .AB=BC=4(W 里，在 RtACBD, / BDC=90 , / DBC=60 , sin Z DBC=BC sin60 ° 旦!,BC.CD=40X sin60=40X-=20 :;(海里).故選：C.題型三：利用三角函數(shù)求高3一例1、如圖，小山崗的斜坡 AC的坡度是tan 一,在與山腳C距離200m的點(diǎn)D處測得4山頂A的仰角為26.6°,求小山崗的高 AB (結(jié)果取整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin 26.6°0.45,cos26.6o 0.89,tan26.60.50). AB 3分析：設(shè)小山崗的高AB為x(m

7、) .則tan 任 ' ,又在Rt ABD中，BC 4° ABtan26.6，而BD BC 200,所以可得關(guān)于x的方程，解之即可求得 AB.BD解：設(shè)小山崗的高 AB為x(m),在Rt ABC中，tanAB xBC BCBCBD DC BC4200 x.3ABBD在Rt ABD中,tan ADB tan 26.6而 tan26.6 ° =0.50- 0.50 ,解得 x 300.200 4x3答：小山崗的高AB為300m.點(diǎn)撥：在直角三角形中根據(jù)已知的邊、角求未知的邊、角時，一般要借助銳角三角函數(shù)，本 題中正確理解坡度，仰角的概念是關(guān)鍵.課堂小測1. （2015?

8、余姚市模擬）如圖， ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos/ABC等于延長 RTA ABC斜邊AB至IJ點(diǎn)D,使BD=AB連接CD若tan / BCD=2. （2015?大慶模擬）如圖,D.【解答】解：過B 作 BE/ AC交 CD于 E.-. AC± BC,BEX BC, / CBE=90.BE/ AC.AB=BD.AC=2BE又 tan / BCD=,設(shè) BE=x,貝U AC=2x,3BC=3k=3AC 2r 2tanA=3、（2015?濱海縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是/ 1的邊OA上一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)A.B.4C.D.E4. （2015?貴港一模） 的正切值為（C

9、 ）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1:2:3,那么這個三角形最小角A.B-C.為（3, 4）,則sin / 1的值為（C ）5. （2015?荊門）如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 點(diǎn) D為邊 AC的中點(diǎn)，DE! BC 于點(diǎn)E,連接BD,則tan / DBC勺值為（）A 7；B. h/2-1C. 2-V3D. 434【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰直角三角形.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC鍍AC, DE=EC=pDC,然后通過解直角 DBE來求tan / DBC勺值.【解答】 解：二.在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC Z ABC4 C=

10、45° , BC= =AC.又.點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)， .AD=DC= AC.2. DE，BC于點(diǎn) E, / CDEh C=45° , DE=EC= 'dc= Ac24V2.r-AC .tan / DBC=beac-ac3故選：A.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì).通過解直角三角形，可 求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值.6. （2014?衡陽）如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1 : 1.5,則壩底AD的長度為（ D ）A. 26 米 B. 28 米 C. 30 米 D. 46 米7. （2

11、015?衡陽）如圖，為了測得電視塔的高度 AB,在D處用高為1米的測角儀CD測得 電視塔頂端A的仰角為30° ,再向電視塔方向前進(jìn) 100米達(dá)到F處，又測得電視塔頂端 A的仰角為60° ,則這個電視塔的高度 AB （單位：米）為（A. 50出 51C. 50 , ：；+1D. 101【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題. 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題.【分析】設(shè)AG=x分別在RtAAEGD RtACG表示出C陰口 GE的長度，然后根據(jù)DF=100m 求出x的值，繼而可求出電視塔的高度AH【解答】解：設(shè)AG=x 在 Rt AEG中，. tan / AEG3,EG. EG

12、阜=x,V3 3在 RtMCG4. tan / ACGMCG'，CG= tanSO.,.|>/3x-?x=100,3解得：x=50、后.貝U AB=50j3+1 （米）.故選C.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利用兩個直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的常用方法.8. (2016?寶山區(qū)一模)計(jì)算:tan45"3tan30" _ 2sin450CQtSO"【考點(diǎn)】 特殊角的三角函數(shù)值.【分析】 將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.=/3/2 -呼 4【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的

13、關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.9. (2016?重慶模擬)如圖，在銳角三角形ABC中，AB=10, AC=2/l3, sinB= .(1)求 tanC;(2)求線段BC的長.【考點(diǎn)】 解直角三角形；勾股定理.【分析】（1）過點(diǎn)A作AD，BC于D,根據(jù)已知條件可得出 AD,再利用勾股定理得出 CD進(jìn) 而得出tanC;（2）在RtABD中，利用勾股定理求出 BD=88結(jié)合CD的長度，即可得出 BC的長.【解答】 解：（1）如圖，過點(diǎn) A作AD! BC于D,在 RtABD中,AB=10, sinB=里 AB同AD-3.= ,10 5c6=Ad - AD2, .AD=6,在RtAACD,由勾股定理

14、得 CE2= (271S)2-62=16, .CD=4,tanC=CD 4 2(2)在 RtMBD中，AB=10, AD=6,由勾股定理得 BD=8由（1）得 CD=4BC=BD+CD=12【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系.課后小測1. （2014?杭州模擬）如圖，將寬為 1cm的紙條沿BC折疊，使/ CAB=45 ,則折疊后重疊部分的面積為（）C.2cm2D.cm22【解答】 解：如圖，由題可知 ABC是一個頂角為45°的等腰三角形,即 / A=45° , AC=AB作CDL AB,垂足為D,貝U CD=1. Saabc=-lx AB

15、X CD=L& 22折疊后重疊部分的面積為故選D.2. （2016?徐匯區(qū)一模）計(jì)算： 4sin45 ° - 2tan30 ° cos30 ° +?？凇?.【解答】解：原式=4X亞-2xF!x亞+1 232 1=2 2-1+2=2-72+1 .3. （2016?奉賢區(qū)一模）計(jì)算：2L?sin45 ° +cos230°4【考點(diǎn)】 特殊角的三角函數(shù)值.12”an60”+2sin60【分析】先把各特殊角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.【點(diǎn)評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵

16、.4. (2015?湖北)如圖,(1) BC的長；AD是 ABC的中線,cosC=；，AC='：（2） sin / ADC的值.【考點(diǎn)】解直角三角形.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】(1)過點(diǎn)A作A已BC于點(diǎn)E,根據(jù),求出/ C=45° ,求出 AE=CE=1根據(jù) tanB=,求出BE的長即可;(2)根據(jù)AD是4人3儀勺中線，求出 BD的長，得到DE的長，得到答案.【解答】 解：過點(diǎn)A作A已BC于點(diǎn)E,cosC= 2/ C=45° ,在 RtMCE中,CE=AC cosC=1, .AE=CE=1在RtABE中,tanB=4，即屈弓，3 BE 3BE=3AE=3BC=BE+CE

17、=4(2) AD是 ABC的中線,.CD=BC=22DE=CD- CE=1,-. AE± BC, DE=AE / ADC=45 ,BDEC【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用.5.（中考題）如圖，在 ABC中，/ BAC=60 , / ABC=90 ,直線 I1/I2/I3, l i 與 l 2之間 距離是1, 12與13之間距離是2,且li, 12, l 3分別經(jīng)過點(diǎn) A, B, C,則邊AC的長為 阪 3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；勾股定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題.【分析】

18、過點(diǎn)B作EFL l 2,交l i于E,交l 3于F,在RtABC中運(yùn)用三角函數(shù)可得 Ad易證 AE/ BFC,運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出FC,然后在RtBFC中運(yùn)用勾股定理可求出BC,再在Rt ABC中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出 AC的值.【解答】解：如圖，過點(diǎn) B作EFL l2,交li于E,交13于F,如圖. / BAC=60 , / ABC=90 ,怕 d 1 rtan / BAC蘭=03. 直線 l 1 / l 2 / l 3,.-.EF±l i, EF± l 3, / AEB土 BFC=90° . / ABC=90 ,/ EAB=90 - / ABE=/ FBC

19、 . BFS AEBEB AB v,. EB=1, FC=在 RtBFC中,BC=/bf2+Fc2=J#+（T5）2 =在 RtABC中,sin / BAC里=?, AC 2戰(zhàn)術(shù)指導(dǎo)a解題方法（i）求三角函數(shù)時先確定合適的直角三角形，然后再根據(jù)三角函數(shù)求對應(yīng)邊的比。（2）數(shù)形結(jié)合思想。已知銳角的一個三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值， 一般要畫出圖形， 設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)定義求解。當(dāng)已知中沒有直角三角形時， 一般通過做輔助線將斜三角形轉(zhuǎn) 化為直角三角形，再求三角函數(shù)。（3）用三角函數(shù)解題時，若題中沒有直角三角形，則要先構(gòu)造直角三角形。（4）比較同名三角函數(shù)值的大小時，可以利用三角函數(shù)的增減性來比較。 （

20、當(dāng) A為銳角時，tan A隨 A的增大而增大，sinA隨 A的增大而增大，cosA隨 A的增大而減小。）1. （2015?日照）如圖，在直角 BAD中，延長斜邊BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連接AC若tanB二則 tan / CAD勺值（）3A炳B煦C D 1A.B.C.D.3535【考點(diǎn)】解直角三角形.【分析】延長AD,過點(diǎn)C作C已AD,垂足為E,由tanB=,即噌4，設(shè)AD=5x,則AB=3x,然后可證明 CD&ABD/然后相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得：四口口,進(jìn)而可AB AD BD 2得CE至x, DE至發(fā),從而可求tan/CAD區(qū).22AE 耳【解答】 解：如圖，延長 AD,過點(diǎn)C

21、作CE，AD垂足為E,tanB=, 3 設(shè) AD=5x 則 AB=3x, / CDEh BDA / CEDW BAD . CD曰 BDAAB AD BD 2.CE=x,2D哆,AE=tan / CAD=-.AE 5【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì),是基礎(chǔ)知識要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將/CAD放在直角三角形中.2. （2015?濟(jì)寧）如圖，斜面 AC的坡度（CD與AD的比）為1: 2, AC=3米，坡頂有旗桿BC旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連.若 AB=10米，則旗桿BC的高度為（）A. 5 米 B. 6 米 C. 8 米 D.

22、 (3+JH)米【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.【分析】設(shè)CD=x,則AD=2x,根據(jù)勾股定理求出 AC的長，從而求出 CD AC的長，然后根據(jù) 勾股定理求出BD的長，即可求出 BC的長.【解答】解：設(shè)CD=x則AD=2x由勾股定理可得，AC*+ (取)'病，-AC=3 米，*3 !7, .x=3 米， .CD=3 米， .AD=2X 3=6 米，在Rt ABD中,BD由/ _ $2=8米,BC=8- 3=5 米.故選A.【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，找到合適的直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.3. （2014?安順）如圖，在 RtABC中，Z

23、 C=90° , Z A=30° , E為 AB上一點(diǎn)且 AE: EB=4:1, EFL AC于F,連接FB,則tan / CFB的值等于（）A S'"二。：;【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.【分析】tan / CFB的值就是直角 BCF中，BC與CF的比值，設(shè)BC=x，則BC與CF就可以用 x表示出來.就可以求解.【解答】解：根據(jù)題意：在 RHABC中，/ C=90° , / A=30° ,1 .EFXAC,2 .EF/ BC,AC3 . AE: EB=4: 1,EB二 J - =,AC 5設(shè) AB=2x,貝U BC=x, AC=/jjx

24、.在 RtCFB中有 CF=3, BC=x5貝U tan / CFB區(qū)尸GOF 3故選：C.【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊.4. （2014?深圳）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30° ,小明在坡比為 5: 12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0° ,求山高（）A. 600- 250/ B. 600J5- 250 米C. 350+350/米 D. 500s/5米【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.【專題】幾何圖形問題.【分析】 構(gòu)造兩個直角三角

25、形 ABE與BDR分別求解可得 DF與EB的值，再利用圖形關(guān) 系，進(jìn)而可求出答案.【解答】 解：: BE: AE=5: 12,一=13， .BE: AE: AB=5: 12: 13, .AB=1300 米， .AE=1200 米，BE=500 米，設(shè)EC=x米， / DBF=60 , - DF=/3x 米.又. / DAC=30 ,，AC=J fCD即：1200+x=萬（500+岳），解得 x=600 - 250 '/3. -DF=/Sx=600/3- 750,.CD=DF+CF=6003- 250 （米）.答：山高CD為（ 600行- 250）米.仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖【點(diǎn)評】本

26、題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助坡比、 形利用三角函數(shù)解直角三角形.5. （2014?綿陽）如圖，一艘海輪位于燈塔 P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處, 它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（）A. 40歷海里B. 40乃海里C. 80海里 D. 40住海里【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.【專題】幾何圖形問題.【分析】 過點(diǎn)P作垂直于AB的輔助線PC,利三角函數(shù)解三角形，即可得出答案.【解答】 解：過點(diǎn)P作PCX AB于點(diǎn)C,由題意可得出：/ A=30° , / B=45

27、° , AP=80海里，故 CP=AP=40 （海里），則PB=.以=40、丘（海里）.gin45故選：A.A【點(diǎn)評】此題主要考查了方向角問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出各角度數(shù)是解題關(guān)鍵.6. （2013?德陽）如圖，熱氣球的探測器顯示， 從熱氣球A看一棟高樓頂部 B的仰角為30° , 看這棟高樓底部 C的俯角為60° ,熱氣球A與高樓的水平距離為 120m,這棟高樓BC的高度 為（）A. 40/3IT B. 80行H C. 120V3n| d. 16c訴n【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.【分析】 過A作ADL BC,垂足為D,在直角 ABM直角

28、 ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求 得BD和CD再本據(jù)BC=BD+CDP可求解.【解答】解：過A作AD! BC,垂足為D.在 RtABD中，. / BAD=30 , AD=120mBD=AD? tan30=120X二40 ；m在 RtAACD, / CAD=60 , AD=120m .CD二AD tan60 ° =120X芯=120jlm,BC=BD+CD=40 ;+120;=160 ： ；m.故選D.C【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，難度適中.對于一般三角形的計(jì)算，常用的方法是利用作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算.7. （2013?聊城）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1:3,則AB的長為（）【分析】根據(jù)迎水坡AB的坡比為1:肥,可得兇=1：毒, 即可求得AC的長度，然后根據(jù)ACD. 6百米【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.勾股定理求得 AB的長度.【解答】 解：Rt ABCP, BC=6米