多元分布函數(shù)的性質(zhì)

1、目 錄引 言4第一章 分布函數(shù)的定義及性質(zhì)51.1分布函數(shù)的定義51.2 分布函數(shù)的基本性質(zhì)61.3 隨機(jī)變量分布函數(shù)的可導(dǎo)性101.4分布函數(shù)的其他應(yīng)用10第二章 多元隨機(jī)變量的分布函數(shù)142.1多元分布函數(shù)的定義142.2多元分布函數(shù)的性質(zhì)15結(jié)束語23致 謝24參考文獻(xiàn)25多元分布函數(shù)的性質(zhì)摘要 隨機(jī)變量的分布函數(shù)是的一個(gè)普通實(shí)函數(shù)，它完整描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，通過它人們就可以利用數(shù)學(xué)分析的方法來全面研究隨機(jī)變量。了解掌握了分布函數(shù)就能研究出隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況。分布函數(shù)具有相當(dāng)好的性質(zhì)，有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。在多數(shù)教科書中對于多元分布函數(shù)的性質(zhì)只是簡單的列出，針對于此

2、現(xiàn)象，本文對多元分布函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)證明，同時(shí)舉了相應(yīng)的例子以便于更好得理解。關(guān)鍵詞 隨機(jī)變量；分布函數(shù)；多元分布函數(shù)；性質(zhì)；證明The properties of the multivariate distribution functionAbstract Random variable distribution function is a common real function, it completely describe the statistical regularity of a random variable, through which people can make u

3、se of the mathematical analysis method to comprehensive study of random variables.Understanding of the random variable distribution function can be figured out in a certain interval probability values. Distribution function has fairly good property, beneficial to mathematic processing. Distribution

4、function has fairly good property, beneficial to mathematic processing. In most of the textbooks for the properties of the multivariate distribution function is simply to list, for this phenomenon, this paper deals with the properties of the multivariate distribution function in detail to prove, at

5、the same time the corresponding examples in order to better understand.Key words A random variable; Distribution function; Multivariate distribution functions; Properties; Prove it.引 言對于離散型的隨機(jī)變量，其取值的概率分布情況可用分布列來描述，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，其取值的概率分布情況則由密度函數(shù)的積分來描述，還有連續(xù)取值而非連續(xù)型（即密度函數(shù)不存在）或混合型，則用分布函數(shù)來描述隨機(jī)變量取值的概率分布情況，從而便于

6、理論的研究。 在生產(chǎn)實(shí)際和理論研究中，都常常會(huì)遇到這種情況：需要同時(shí)用幾個(gè)隨機(jī)變量才能較好地描繪某一試驗(yàn)或現(xiàn)象，就需要多元分布函數(shù)。 分布函數(shù)能全面地表示函數(shù)的分布，用分布函數(shù)能方便地計(jì)算出各種事件的概率，概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為對分布函數(shù)的運(yùn)算。分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并且分布函數(shù)具有良好的性質(zhì)，它使得許多概率論問題得以簡化而歸結(jié)為函數(shù)的運(yùn)算，因此掌握好分布函數(shù)是研究隨機(jī)變量的有效方法所以我們要對性質(zhì)進(jìn)行深入地分析證明，以便進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。 第一章 分布函數(shù)的定義及性質(zhì)1.1分布函數(shù)的定義 定義1.1.1 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，令=，則稱為的分布函數(shù).也可定義為 定義1.1

7、.2 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，令=，則稱為的分布函數(shù).由定義1立即可以得到：當(dāng)時(shí)， 事實(shí)上，因?yàn)?，且 故 定義1.1.3 對于離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為,其中求和是對所有滿足不等式的指標(biāo)進(jìn)行的 定義1.1.4 對于連續(xù)性隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ，.1.2 分布函數(shù)的基本性質(zhì) 定理1.2.1 設(shè)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)(按定義1)，則 （1）單調(diào)性 為單調(diào)不降； （2）連續(xù)性 為左連續(xù)； （3）極限性 證：（1）設(shè)，由（即左邊事件發(fā)生，右邊必發(fā)生） 得 因而證明了為單調(diào)不降；（2）對任意 ，由于單調(diào)不降，要證左連續(xù)性，只需證： 事實(shí)上，由于 ，且 ，故利用概率的連續(xù)性定理（定義證明見下面）

8、，可得 得證.（3）由于 ，故知 再由于 （必然事件），且 ，故知 若按定義2，則（2）為右連續(xù)，其他兩個(gè)性質(zhì)相同。證：對任意 ，由于單調(diào)不降，要證右連續(xù)性，只需證： 事實(shí)上，由于 ，且 ，故利用概率的連續(xù)性定理，可得 得證。注：定義左連續(xù)或右連續(xù)只是一種習(xí)慣。有的書籍定義分布函數(shù)左連續(xù)，但大多數(shù)書籍定義分布函數(shù)為右連續(xù). 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算時(shí)，點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi).對于連續(xù)型隨機(jī)變量，由于，故定義左連續(xù)或右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對于離散型隨機(jī)變量，由于，則定義左連續(xù)或右連續(xù)時(shí)值就不相同，這時(shí)，就要注意對定義左連續(xù)還是右連續(xù).定義1.2.1 設(shè)是從測度空間到可測空間的可測變換，即 對，定

9、義 可以驗(yàn)證，是上的測度。事實(shí)上：因而是測度空間，稱為導(dǎo)出測度。特別若是隨機(jī)變量，：，為代數(shù)，則可產(chǎn)生一個(gè)新的概率空間， 稱為的分布函數(shù)。注：也具有以上分布函數(shù)的性質(zhì)。定理1.2.2 如果與是隨機(jī)向量，具有相同的分布函數(shù)，即=，是上的函數(shù)，則與具有相同的分布函數(shù)。推論1.2.1 如果與是隨機(jī)向量，具有相同的分布函數(shù)，是上的函數(shù)，及線性集，則=例1.2.1 分析下列函數(shù)是否是分布函數(shù).若是分布函數(shù)，判斷是哪類隨機(jī)變量的分布函數(shù).（1） （2） （3） 分析：可根據(jù)分布函數(shù)的定義及性質(zhì)進(jìn)行判斷.解：(1)在上單調(diào)不減且右連續(xù).同時(shí)，故是隨機(jī)變量的分布函數(shù).由的圖形可知是階梯形曲線，故是離散型隨機(jī)變

10、量的分布函數(shù)； （2）由于在上單調(diào)下降，故不是隨機(jī)變量的分布函數(shù).但只要將中的改為，就滿足單調(diào)不減右連續(xù)，且這時(shí)就是隨機(jī)變量的分布函數(shù).由可求得 顯然，是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)；在上單調(diào)不減且右連續(xù)，且，是隨機(jī)變量的分布函數(shù).但在和處不可導(dǎo)，故不存在密度函數(shù)，使得。同時(shí)，的圖形也不是階梯形曲線，因而既非連續(xù)型也非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).1.3 隨機(jī)變量分布函數(shù)的可導(dǎo)性由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義: 可知, 連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的變上限積分, 是連續(xù)函數(shù)。許多人根據(jù)積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系, 認(rèn)為分布函數(shù)一定是可導(dǎo)的。實(shí)際上, 對于密度的連續(xù)點(diǎn)而言, 才有。故除 的間斷點(diǎn)外, ,

11、即概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。因此連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)是連續(xù)的, 但不可導(dǎo)。1.4分布函數(shù)的其他應(yīng)用 例1.4.1 盒中裝有大小相等的球10個(gè)，編號分別為0、1、2、9.從中任取1個(gè)，觀察號碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情況.試定義一個(gè)隨機(jī)變量，求其分布律和分布函數(shù).分析：“任取1球的號碼”是隨機(jī)變量，它隨著試驗(yàn)的不同結(jié)果而取不同的值.根據(jù)號碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三種情況，可定義該隨機(jī)變量的取值.進(jìn)一步，可由隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù).解:分別用表示試驗(yàn)的三種結(jié)果“小于5”、“等于5”、“大于5”，這時(shí)試驗(yàn)的樣本空間為，定義隨機(jī)

12、變量為： 取每個(gè)值的概率為：，；故的分布律為(表1)： 表1：012當(dāng)；當(dāng) ;當(dāng);當(dāng) 由此求得分布函數(shù)為： 例1.4.2 在中, 任取一個(gè)點(diǎn)P, P到AB的距離為X, 求X 的分布函數(shù)及概率密度.解:作AB 邊上的高CD, 設(shè)CD= 當(dāng)?shù)? 作EF/AB,使EF 與AB 間的距離為, 故當(dāng)時(shí)梯形EFBA 的面積/的面積 例1.4.3 點(diǎn)隨機(jī)地落在以原點(diǎn)為中心, 半徑為R的圓周上, 并且對弧長是均勻的, 求落點(diǎn)的橫坐標(biāo)的概率密度。解：設(shè)落點(diǎn)為,與 軸的夾角為, 服從上的均勻分布, 其密度函數(shù)為其他設(shè)落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 則,先，當(dāng)時(shí)當(dāng)當(dāng) 其他第二章 多元隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.1多元分布函數(shù)的定義 定

13、義2.1.1（二維聯(lián)合分布函數(shù)）設(shè) 為定義在同一個(gè)概率空間 上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則（）稱為二維隨機(jī)變量。對任意或簡寫為 稱為的聯(lián)合分布函數(shù)，或簡稱為二維分布函數(shù)。定義2.1.2（n維聯(lián)合分布函數(shù)）設(shè)是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱元函數(shù)是維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，也簡稱為聯(lián)合分布或分布。聯(lián)合分布函數(shù)描述了多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.2多元分布函數(shù)的性質(zhì) 定理2.2.1設(shè) 為隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)，則（1）分別對 和 單調(diào)下降，即 ，當(dāng) ；（2）對每個(gè)變元左連續(xù)（3） （4）對任意四個(gè)實(shí)數(shù) ，有 1.先證性質(zhì)（2）證：令 顯然由概率的下連續(xù)性知，因?yàn)樗裕煌?。得證.2.證明性質(zhì)（3）證

14、：令顯然，且由概率的上連續(xù)性知，所以 同理可證： 下證令顯然由概率的下連續(xù)性，即得證.3.證明性質(zhì)（4）證：任意=顯然=即得證4.由性質(zhì)3 和性質(zhì)4 證明性質(zhì)1（性質(zhì)1 也可以由定義直接證明）證：固定x，任意，所以關(guān)于單調(diào)不減；同理，固定，關(guān)于單調(diào)不減.5.以反例說明性質(zhì)4 無法由其它性質(zhì)導(dǎo)出以=為例（1）驗(yàn)證滿足性質(zhì)1.固定x，任意若，則，所以若則若，則，從而，關(guān)于單調(diào)不減同理，固定，關(guān)于x單調(diào)不減, 滿足性質(zhì)1.（2）驗(yàn)證滿足性質(zhì)2.固定，取，令顯然，關(guān)于 左連續(xù)，即關(guān)于左連續(xù).同理，固定，關(guān)于左連續(xù).（3）顯然，滿足性質(zhì)3.（4）不滿足性質(zhì)4.取= (4,5)- (4,3)- (1,5)

15、+ (1,3)=1-1-1+0=-10.不能作為任何一個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).例2.2.1 設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為其他求的分布函數(shù).分析：根據(jù)密度函數(shù)的定義可以看出分布函數(shù)與所在的區(qū)域有關(guān)，可分區(qū)域分別進(jìn)行討論.解：當(dāng) 時(shí)，,于是；當(dāng)時(shí) = =；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；所以 定理2.2.2 設(shè)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，分布密度為，設(shè)D是平面上的區(qū)域，則。證： 首先 設(shè) 其中是的內(nèi)部開矩形， 由實(shí)變函數(shù)知 ，可以表示為可列個(gè)開矩形的和即，為開矩形 例2.2.2 設(shè)是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為A，令其他， 則是一個(gè)密度函數(shù)，以為密度的二維聯(lián)合分布稱為區(qū)域上的均勻分布。 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

16、是區(qū)域上的均勻分布，密度函數(shù)為上面的，則對中的任一（有面積的）子區(qū)域，有 （其中為的面積）例2.2.3 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù)其他試求（1）常數(shù)；（2）分布函數(shù)；（3）求落在下圖中區(qū)域內(nèi)的概率。0解：（1） 故 （2）其他 由此可得其他 （3） 下面是我對連續(xù)和離散隨機(jī)變量的一點(diǎn)認(rèn)識和體會(huì)： 設(shè)是定義在概率空間上的連續(xù)隨機(jī)變量，且為取值在實(shí)數(shù)集的密度函數(shù)。 用表示實(shí)數(shù)集上的域，令 ，則是上的測度，我們稱為在上的導(dǎo)出分布或分布。 用表示上的測度，結(jié)合定理，我們說是關(guān)于上的測度的導(dǎo)數(shù)。 事實(shí)上，任給，有 。 再設(shè)是定義在概率空間上的離散隨機(jī)變量，且在中取值，分布律。 用表示的冪集，令 ，則是上

17、的測度，就是上的導(dǎo)出分布。定義上的計(jì)數(shù)測度：.我們說是關(guān)于上的計(jì)數(shù)測度的導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上，任給,有 基于以上的事實(shí)的考慮，我們可以把計(jì)數(shù)測度和測度統(tǒng)一用表示，稱為參考測度，這樣我們就可以粗略的說隨機(jī)變量的分布密度或分布律均是由其導(dǎo)出分布關(guān)于參考測度的導(dǎo)數(shù)。對于這個(gè)事實(shí)的認(rèn)識與理解會(huì)加深我們初學(xué)者對隨機(jī)變量的分布等相關(guān)概念的認(rèn)識。結(jié)束語一個(gè)隨機(jī)變量的概率規(guī)律, 稱為該隨機(jī)變量的分布, 描述隨機(jī)變量的分布的重要方法之一是分布函數(shù)。隨機(jī)變量的分布函數(shù)完全描述了隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律, 因此研究分布函數(shù)的性質(zhì)具有十分重要的意義。我的論文就是對分布函數(shù)的定義及其基本定理進(jìn)行了總結(jié)歸納并證明，詳細(xì)證明了二元分

18、布函數(shù)的性質(zhì)，便于更好地使用分布函數(shù)。 致 謝本論文在楊老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下已完成。畢業(yè)設(shè)計(jì)，也許是我大學(xué)生涯交上的最后一個(gè)作業(yè)了。想借此次機(jī)會(huì)感謝四年以來給我?guī)椭乃欣蠋煛⑼瑢W(xué)，你們的友誼是我人生的財(cái)富，是我生命中不可或缺的一部分。我的論文指導(dǎo)老師楊衛(wèi)國老師，雖然我們是在開始畢業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)才認(rèn)識，但他卻能以一位長輩的風(fēng)范來容諒我的無知和沖動(dòng)，給我不厭其煩的指導(dǎo)。從課題選擇、命題證明到具體的格式，無不凝聚著楊老師的心血和汗水，他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。在此，特向他道聲謝謝。即將結(jié)束再次學(xué)習(xí)的生活，相信等待我的是一片充滿機(jī)遇、風(fēng)險(xiǎn)與快樂的土地；也相信我和同仁們的事業(yè)必將如涅磐之鳳、浴火之凰；更加相信，不朽的民族精神終將引領(lǐng)我們創(chuàng)造新的奇跡！參考文獻(xiàn)1汪嘉