高三數(shù)學(xué)定積分與微積分的基本定理

1、定積分與微積分的基本定理定積分（1）概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長(zhǎng)度），把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式 常見求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7）（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中a

2、cb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。例1（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)數(shù)；（3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y的導(dǎo)數(shù)解析：（1）,（2）先化簡(jiǎn),（3）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。例2已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx8，則f(x)dx等于 ()A0 B4 C8 D16解析：原式f(x)

3、dxf(x)dx，原函數(shù)為偶函數(shù)，在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱，對(duì)應(yīng)的面積相等，即8×216.答案：D例3.如圖，陰影部分面積等于()A2 B2C. D.答案C例4:設(shè)f(x)則f(x)dx等于 ()A. B. C. D不存在解析：數(shù)形結(jié)合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=.答案：C例5如圖，函數(shù)yx22x1與y1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是 ()A1 B. C. D2解析：函數(shù)yx22x1與y1的兩個(gè)交點(diǎn)為(0,1)和(2,1)，所以閉合圖形的面積等于(x22x11)dx(x22x)dx.答案：B鞏固訓(xùn)練1已知函數(shù)，則的大致圖象是（ ）A BCD2=

4、（ ）A B2e C D3若，且a1，則a的值為（）A6B4C3D24由直線，及軸圍成平面圖形的面積為（ ）ABCD5已知ba，下列值：，|的大小關(guān)系為（）A|B。|C= |=D= |6將和式的極限表示成定積分（ ）A B C D7. 如圖，陰影部分的面積是（）AB8. 9. = 10 。11將和式表示為定積分 12計(jì)算以下定積分：； ； 。（5）；（6）；（7）。 (8) (2x2)dx； (9)()2dx； (10)(sinxsin2x)dx；13. 求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.14. 設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（

5、x）的表達(dá)式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.（3）若直線x=t（0t1把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.定積分的換元積分法（一）基本概念1定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，令，且滿足：（1），；（2）當(dāng)從變化到時(shí)，單調(diào)地從變化到；（3）在上連續(xù)則使用定積分換元積分法注意事項(xiàng)：1換元時(shí)可以令或；2積分限要相應(yīng)換成新變量的積分限（不定積分換元積分法不考慮積分限問題）；3不必象計(jì)算不定積分把求出的原函數(shù)換成原來變量的函數(shù)2定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則或簡(jiǎn)寫成分部積分公式的推導(dǎo)：由于求上式兩端在上的定積分，注意到即移項(xiàng)得（二）

6、基本運(yùn)算1利用湊微分法計(jì)算定積分前后形式保持一致，將新的積分變量看作被積函數(shù)的自變量例1 計(jì)算下列定積分(1) (2) (3)(4) (5) 分析將原積分寫成的形式，注意積分限不要變更2利用根式代換計(jì)算定積分被積函數(shù)含根式且根式下為一次函數(shù)，可考慮用根式代換例2 計(jì)算下列定積分(1)；(2) 分析將整個(gè)根式作為新變量，求出以及，將換為，同時(shí)變換積分限解(1)令，則，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，3利用三角代換計(jì)算定積分被積函數(shù)含根式且根式下為二次函數(shù)，可考慮用三角代換例3 計(jì)算下列定積分分析：形如，作代換，；解：令，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，4計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分（1）若在上為偶函數(shù)，則（2）若在上為奇函數(shù)，則例4 計(jì)算下列定積分(1)；(2)；(3) 分析首先判斷積分區(qū)間是否為對(duì)稱區(qū)間；再判斷被積函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，選擇相應(yīng)的化簡(jiǎn)方法；如果被積函數(shù)是非奇非偶函