高二第一講高中階段求變力做功(教師版)

1、第一講 高中階段求變力做功（教師版） 在高中階段求變力做功問題，既是學生學習和掌握的難點，也是教師教學的難點。本文舉例說明了在高中階段求變力做功的常用方法，比如用動能定理、功率的表達式、功能關系、平均值、圖像、微元累積法、轉換參考系等來求變力做功。對于功的定義式W，其中的F是恒力，適用于求恒力做功，其中的s是力F的作用點發(fā)生的位移，是力F與位移s的夾角。在高中階段求變力做功問題，既是學生學習和掌握的難點，也是教師教學的難點。求變力做功的方法很多，比如用動能定理、功率的表達式、功能關系、平均值、圖像、微元累積法、轉換參考系等來求變力做功。一、運用功的公式求變力做功 求某個過程中的変力做功，可以通

2、過等效法把求該変力做功轉換成求與該変力做功相同的恒力的功，此時可用功定義式W求恒力的功，從而可知該変力的功。等效轉換的關鍵是分析清楚該変力做功到底與哪個恒力的功是相同的。圖1例1：人在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質量m=50Kg的物體，如圖1所示，開始繩與水平方向夾角為，當人勻速提起重物由A點沿水平方向運動而到達B點，此時繩與水平方向成角，求人對繩的拉力做了多少功？【解析】人對繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時刻在變，而已知的位移s方向一直水平，所以無法利用W直接求拉力的功.若轉換一下研究對象則不難發(fā)現(xiàn)，人對繩的拉力的功與繩對物體的拉力的功是相同的，而繩對物體的拉力則是恒力，可利用W

3、求了！設滑輪距地面的高度為h，則：人由A走到B的過程中，重物上升的高度等于滑輪右側繩子增加的長度，即：，人對繩子做的功為：二、運用動能定理求變力做功圖2動能定理的表述：合外力對物體做功等于物體的動能的改變，或外力對物體做功的代數(shù)和等于物體動能的改變。對于一個物體在某個過程中的初動能和末動能可求，該過程其它力做功可求，那么該過程中変力做功可求。運用動能定理求變力做功關鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運動的初動能和末動能。例2：如圖2所示，原來質量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F將小球緩慢地拉到細線與豎直方向成角的位置的過程中，拉力F做功為（ ）A. B. C. D. 【解

4、析】很多同學會錯選B，原因是沒有分析運動過程，對FLcos來求功的適用范圍搞錯，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運動過程是緩慢的，因而任一時刻都可看作是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F(xiàn)做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個過程的動能改變?yōu)榱?，可用動能定理求解：所?，故D正確。三、運用求變力做功 涉及到機車的啟動、吊車吊物體等問題，如果在某個過程中保持功率P恒定，隨著機車或物體速度的改變，牽引力也改變，要求該過程中牽引力的功，可以通過求変力做功。例3：質量為5000Kg的汽車，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開始啟動，速度達到2

5、4的最大速度后，立即關閉發(fā)動機，汽車從啟動到最后停下通過的總位移為1200m.運動過程中汽車所受的阻力不變.求汽車運動的時間.【解析】牽引力是変力，該過程中保持功率P恒定，牽引力的功可以通過來求。汽車加速運動的時間為，由動能定理得：汽車達到最大速度時，牽引力和阻力大小相等，則 即可求得汽車加速運動的時間為關閉油門后，汽車在阻力作用下做勻減速直線運動至停止，由動量定理得：可求得汽車勻減速運動的時間為則汽車運動的時間為：tt1t250s48s98s四、運用功能關系求變力做功做功是能量轉化的原因，做功是能量轉化的量度，我們可以根據(jù)能量轉化的情況來判斷做功的情況，則給求変力做功提供了一條簡便的途徑。運

6、用功能關系求変力做功，關鍵是分清研究過程中有多少種形式的能轉化，即有什么能增加或減少，有多少個力做了功，列出這些量之間的關系。.F圖3例4：一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的。在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底。在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動。如圖3所示，現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動。已知圓管半徑r=0.10m，井的半徑R=2r，水的密度=1.00×103kg/m3 ，大氣壓P0=1.00×105Pa ，求活塞上升H=9.00m的過程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面

7、下的部分都足夠長，不計活塞質量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s2）?！窘馕觥看髿鈮篜0能夠支撐的水柱高度為 從開始提升到活塞至管內(nèi)外水面高度差為10m的過程中，活塞始終與水面接觸，設活塞上升，管外液面下降，則有：因液體體積不變，有：得 此過程拉力為変力，根據(jù)功能關系，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量等于除重力以外其它力做功。根據(jù)題意，則拉力做功等于水的重力勢能的增量，即： 活塞從上升到H的過程中，液面不變，拉力F是恒力，則做功為： 所求拉力所做的總功為：五、運用F-S圖像中的面積求變力做功圖4 某些求変力做功的問題，如果能夠畫出変力F與位移S的圖像，則F-S圖像中與S軸所圍的面積表示該

8、過程中変力F做的功。運用F-S圖像中的面積求變力做功的關鍵是先表示出変力F與位移S的函數(shù)關系，再在畫出F-S圖像。例5：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設阻力與釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘時錘子對釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進入木板1cm，則第二次擊釘子進入木板的深度為多少？【解析】鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F(xiàn)=kx，以F為縱坐標，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標，作出Fx圖象，如圖4，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S1=S2(面積) 即：kx12=k(x2+x1)(x2x1)得 所以第二次擊釘子進

9、入木板的深度為：六、運用平均值求變力做功 求変力做功可通過求，但只有在変力F與位移S成正比例、或一次函數(shù)關系時，即成線性關系時，才成立。用平均值求變力做功的關鍵是先判斷変力F與位移S是否成線性關系，然后求出該過程初狀態(tài)的力和末狀態(tài)的力。圖5例6：如圖5所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊，木塊的邊長為h，其密度為水的密度的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設水不會溢出，求壓力所做的功?！窘馕觥磕緣K下降同時水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總等于增加的浮力，壓力是変力，當木塊完全浸沒在水中的下降過程壓力是恒力。本題的解法

10、很多，功能關系、F-S圖像法、平均值法等均可求変力做功，現(xiàn)用平均值法求。木塊從開始到完全浸沒在水中，設木塊下降，水面上升根據(jù)水的體積不變，則： 得 所以當木塊下降時，木塊恰好完全浸沒在水中，所以木塊恰好完全浸沒在水中經(jīng)到容器底部，壓力為恒力所以故壓力所做的功為：七、運用微元法求變力做功求変力做功還可以用微元累積法，把整個過程分成極短的很多段，在極短的每一段里，力可以看成是恒力，則可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代數(shù)和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我們可以用力乘以路程來計算。用微元累積法的關鍵是如何選擇恰當?shù)奈⒃?，如何對微元作恰當?shù)奈锢砗蛿?shù)學處理，微元累積法對數(shù)學知識的要求比

11、較高。圖6例7：如圖6所示，質量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運動，已知小車與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，試求小車從軌道最低點運動到最高點的過程中，克服摩擦力做的功?！窘馕觥啃≤囇刎Q直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，由于軌道支持力是変力，故而摩擦力為一変力，本題可以用微元法來求。 如圖7，將小車運動的半個圓周均勻細分成n（）等分，在每段長的圓弧上運動時，可認為軌道對小車的支持力不變、因而小車所受的摩擦力不變，摩擦力的功可以用計算。.xyOmgmgNiANiBBA圖7 當小車運動到如圖所示的A處圓弧時，有 則 當小車運動到如圖所示的與A關于x軸對稱的B處圓弧時，有 則 由此

12、，小車關于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為：于是可知，小車沿半圓周從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做的總功為： 八、轉換參考系求變力做功在有些物理問題中，要用功能原理，其中求做功時要涉及到變力做功，但若通過轉換參照系，可化求變力做功為恒力做功，而大大簡化解題過程。例8：宇宙中某一慣性參照系中，有兩個質點A和B，質量分別為m和M，相距L，開始時A靜止，B具有A、B連線延伸方向的初速度v，由于受外力F的作用，B做勻速運動。（1） 試求A、B間距離最大時的F值；（2） 試求從開始到A、B最遠時力F做的功；【解析】此題中A在萬有引力作用下做變加速運動，要用功能原理來解。若用微元法求變

13、力做功，會因數(shù)學知識的限制而不易找出F作用的位移和A、B間的距離的對應關系而很難求解。而本題可通過變換參照系，在同樣滿足機械能守恒的條件下，避開求變力做功，從而簡化了解題過程。將原來的慣性參照系記為S，相對B靜止的參照系記為S，在S系中，B沒有位移，所以力F做功為零，計算得以簡化。在S系中，A開始以v背離B運動，最后在萬有引力的作用下減速到零，此時A、B間的距離最大，記為Lm。在S系中，據(jù)機械能守恒，有 所以 此時A、B的萬有引力為 回到S系中，當A、B的間距達到Lm時，A、B都以v速度，根據(jù)功能原理，F(xiàn)力所做的功 由中知 因此 求変力做功的方法很多，上述不同方法各有優(yōu)點，同一道題目可用的方法

14、不止一種，比如用平均值法的問題，必可用圖像法解決，用動能定理求解的問題亦可用功能關系解決等等?？傊?，要正確快速的求解変力做功問題，需要掌握求解変力做功的基本方法，并將這些方法融會貫通，做到舉一反三。課后作業(yè)圖17-151一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ，提升井中質量為m的物體，如圖17-15。繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上。設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計，開始時，車在A點，左右兩側繩都已繃緊，并且是豎直的，左側繩長為H。提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C。設A到B的距離也為H，車過B點時的速度為vB。求在車由A移到B地過程中，繩Q

15、端的拉力對物體做的功。解：如圖17-16，當小車運動到B時，將其速度分解為沿繩方向v/和垂直干繩的方向，有由題意知B圖17-16。，因此物體速度為那么B端拉力對物體所做功為2如圖17-31所示，一粗細均勻的鐵桿AB長為L，橫截圖17-31面積為S，將桿的全長分為n段，豎直落入水中，求第n段浸沒于水的過程中，浮力所做的功的大小。分析：浮力，式中為水的密度，x為浸入水中的深度，為常數(shù)，設=k，則F=kx，浮力大小隨浸入水中的深度x的改變而改變，所以不能用恒力做功的公式。圖17-32解法一：第一段浸入水中時所受的浮力 第(n-1)段浸入水中時所受的浮力 第n段浸入水中時所受的浮力為由于F=kx，而F

16、是x的正比例函數(shù)，可以求出F在(n-1)段至n段浮力的平均值 由此可求出第n段浸入水中的過程中浮力做的功解法二：圖17-32為浮力做功的示意圖。第一段入水過程中浮力做的功記作，第二段記作，則 所以相鄰兩段桿入水過程中浮力做功的差值為一常數(shù)d，即d就是等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的通項公式：可得 點評：若F是一個正比函數(shù)，可用得平均值求功；還可以用示功圖求變力功。對線性變力來說，用平均力的功表達變力功和用示功圖表達變力功是一樣的，但對于非線性力來說，示功圖上標出的面積就是變力所做的功。3一個邊長為b的立方體容器內(nèi)盛有密度為2的某種液體，一個邊長為a(a<b)、密度為圖17-51(1<2

17、)的立方體A浮于液面上，如圖17-5所示。今欲將立方體A全部壓入液體中，并且假設液體沒有溢出。問壓力F至少要做多少功？解：對于此題用功的定義求解即 其中為變力F的平均力，S為力F下壓的距離。 求 式中變量隨木塊露出水面高度的減小而增大，屬線性變化，則F也屬線性變化 求S，由題中所含條件可知圖17-7則 4如圖17-7所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)，豎直地浮著一塊圓柱形木塊，木塊體積為V，高為h其密度為水密度的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，用力緩慢將木塊壓到容器底部，設水不會溢出，求系統(tǒng)重力勢能的增量。解：利用等效法求解最易。如圖17-8，題述過程可等效地認為是將木塊露出水面部分的二分之一切下（沿AB切下）并將切下的確部分移至木塊底部（由于木塊底面積為水容器底面積的一半，那么木塊的底面積便與圖示以上水的底部面積圖17-8相等），然后外圍水將升高與新的木塊頂部相平， 即將切下木塊所擠出的那部分水填到原水面上，新的水面與新的木塊截面相平。則 5用錘子把鐵釘打入木塊中，設每次打擊時，錘子給鐵釘?shù)膭幽芏枷嗤?，鐵釘進入木塊所受的阻力跟釘入的深度成正比。如果釘子第一次被擊入木塊的深度為2cm，求第二